北京市中考数学练习——三角形综合题

三角形综合题（北京习题集）

一．填空题（共2小题）

1．（2018春•西城区期末）已知三角形纸片ABC的面积为48，BC的长为8．按下列步骤将三角形纸片ABC进行裁剪和拼图：

第一步：如图1，沿三角形ABC的中位线DE将纸片剪成两部分．在线段DE上任意取一点F，在线段BC上任意取一点H，沿FH将四边形纸片DBCE剪成两部分；

第二步：如图2，将FH左侧纸片绕点D旋转180，使线段DB与DA重合；将FH右侧纸片绕点E旋转180，使线段EC与EA重合，再与三角形纸片ADE拼成一个与三角形纸片ABC面积相等的四边形纸片． （1）当点F，H在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形； （2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为 ．

2．（2016春•房山区期末）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，城墙CD长 9 里，城墙BC长 7 里，东门所在的点E，南门所在的点F分别是CD，BC 的中点，EGCD，EG15里，FHBC，点C在HG上，问FH等于多少里？答案是FH 里．

二．解答题（共7小题）

3．（2019秋•朝阳区期末）如图，ABC是等边三角形，ADC与ABC关于直线AC对称，AE与CD垂直交BC的延长线于点E，EAF45，且AF与AB在AE的两侧，EFAF． （1）依题意补全图形．

（2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短； ②求证：点D到AF，EF的距离相等．

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4．（2019秋•东城区期末）对于ABC及其边上的点P，给出如下定义：如果点M1，M2，M3，，Mn都在ABC的边上，且PM1PM2PM3PMn，那么称点M1，M2，M3，，Mn为ABC关于点P的等距点，线段PM1，PM2，PM3，，PMn为ABC关于点P的等距线段．

（1）如图1，ABC中，A90，ABAC，点P是BC的中点．

①点B，C ABC关于点P的等距点，线段PA，PB ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是” )

②ABC关于点P的两个等距点M1，M2分别在边AB，AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段PM1，PM2；

（2）ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是ABC关于点P的等距点，且PC1，求线段DC的长；

（3）如图2，在RtABC中，C90，B30．点P在BC上，ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．若BCa，直接写出PC长的取值范围．（用含a的式子表示）

5．（2019秋•大兴区期末）已知：在ABC中，ABAC，D是BC的中点，动点E在边AB上（点E不与点A，B重合），动点F在射线AC上，连结DE，DF．

（1）如图1，当DEBDFC90时，直接写出DE与DF的数量关系；

（2）如图2，当DEBDFC180(DEBDFC)时，猜想DE与DF的数量关系，并证明； （3）当点E，D，F在同一条直线上时， ①依题意补全图3；

②在点E运动的过程中，是否存在EBFC？

（填“存在”或“不存在”

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)．

6．（2020•东城区校级模拟）如图，在平面内给定ABC，ABAC，点O到ABC的三个顶点的距离均等于c(c为常数），到点O的距离等于c的所有点组成图形G，过点A作AB的垂线交BC于点E，交图形G于点D，延长DA，在DA的延长线上存在一点F，使得ABFABC． （1）依题意补全图形；

（2）判断直线BF与图形G交点的个数并证明； （3）若AD4，cosABF4，求DE的长． 5

7．（2019秋•大兴区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知P(a,b)，R(c,d)两点，且ac，bd，若过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两平行线交于一点S，连接PR，则称PRS为点P，R，S的“坐标轴三角形”．若过点R作x轴的平行线，过点P作y轴的平行线，两平行线交于一点S，连接PR，则称RPS为点R，P，S的“坐标轴三角形”．右图为点P，R，S的“坐标轴三角形”的示意图．

（1）已知点A(0,4)，点B(3,0)，若ABC是点A，B，C的“坐标轴三角形”，则点C的坐标为 ； （2）已知点D(2,1)，点E(e,4)，若点D，E，F的“坐标轴三角形”的面积为3，求e的值． （3）若

O的半径为32，点M(m,4)．若在2O上存在一点N，使得点N，M，G的“坐标轴三角形”为等腰

三角形，求m的取值范围．

8．（2019秋•延庆区期末）如图，点A在直线l上，点B在直线l外，点B关于直线l的对称点为C，连接AC，过点

B作BDAC于点D，延长BD至E使BEAB，连接AE并延长与BC的延长线交于点F．

（1）补全图形；

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（2）若BAC2，求出AEB的大小（用含的式子表示）； （3）用等式表示线段EF与BC的数量关系，并证明．

9．（2019秋•东城区期末）在ABC中，BAC45，CDAB于点D，AEBC于点E，连接DE． （1）如图1，当ABC为锐角三角形时，

①依题意补全图形，猜想BAE与BCD之间的数量关系并证明； ②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明；

（2）如图2，当ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．

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三角形综合题（北京习题集）（教师版）

参与试题解析

一．填空题（共2小题）

1．（2018春•西城区期末）已知三角形纸片ABC的面积为48，BC的长为8．按下列步骤将三角形纸片ABC进行裁剪和拼图：

第一步：如图1，沿三角形ABC的中位线DE将纸片剪成两部分．在线段DE上任意取一点F，在线段BC上任意取一点H，沿FH将四边形纸片DBCE剪成两部分；

第二步：如图2，将FH左侧纸片绕点D旋转180，使线段DB与DA重合；将FH右侧纸片绕点E旋转180，使线段EC与EA重合，再与三角形纸片ADE拼成一个与三角形纸片ABC面积相等的四边形纸片． （1）当点F，H在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形； （2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为 28 ．

【分析】（1）利用旋转的旋转即可作出图形；

（2）先求出ABC的边长边上的高为12，进而求出DE与BC间的距离为6，再判断出FH最小时，拼成的四边形的周长最小，即可得出结论． 【解答】解：（1）DEDE是ABC的中位线，

1BC4，ADBD，AECE， 2四边形BDFH绕点D顺时针旋转，点B和点A重合，

四边形CEFH绕点E逆时针旋转，点C和点A重合， 补全图形如图1所示，

（2）ABC的面积是48，BC8， 点A到BC的距离为12，

DE是ABC的中位线，

平行线DE与BC间的距离为6，

由旋转知，DAHB，CAHC，

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DAHBACCAH180，

点H，A，H在同一条直线上，

由旋转知，AEFCEF，

AEFCEFCEFCEF180，

点F，E，F在同一条直线上，

同理：点F，D，F在同一条直线上， 即：点F，F在直线DE上，

由旋转知，AHBH，AHCH，DFDF，EFEF，FHFHFH，

FF2DEBCHH，

四边形FHHF是平行四边形，

FHHF的周长为2FF2FH4DE2FH2BC2FH162FH，

拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小时，FH最小， 即：FHBC，

FH6，

周长的最小值为162628，

故答案为28．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了旋转的旋转和作图，判断三点共线的方法，平行四边形的判断和性质，判断出四边形FHHF是平行四边形是解本题的关键．

2．（2016春•房山区期末）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，城墙CD长 9 里，城墙BC长 7 里，东门所在的点E，南门所在的点F分别是CD，BC 的中点，EGCD，EG15里，FHBC，点C在HG上，问FH等于多少里？答案是FH 1.05 里．

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【分析】首先根据题意得到GEA∽AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可． 【解答】解：EGAB，FHAD，HG经过A点，

FA//EG，EA//FH，

HFAAEG90，FHAEAG， GEA∽AFH， EG:FAEA:FH，

AB9里，DA7里，EG15里， FA3.5里，EA4.5里， 15:3.54.5:FH，

解得：FH1.05里． 故答案为：1.05．

【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难度不大． 二．解答题（共7小题）

3．（2019秋•朝阳区期末）如图，ABC是等边三角形，ADC与ABC关于直线AC对称，AE与CD垂直交BC的延长线于点E，EAF45，且AF与AB在AE的两侧，EFAF． （1）依题意补全图形．

（2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短； ②求证：点D到AF，EF的距离相等．

【分析】（1）依题意补全图形即可；

（2）①连接BD，P为BD与AE的交点．点P即为所求；

②证出CD垂直平分AE．得出DADE．证明FADFED(SAS)．得出AFDEFD．即可得出结论． 【解答】（1）解：补全图形，如图1所示：

（2）①解：如图2，连接BD，P为BD与AE的交点．

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点P即为所求；

②证明：连接DE，DF．如图3所示：

ABC，ADC是等边三角形， ACAD，ACBCAD60． AECD，

1CAECAD30．

2CEAACBCAE30． CAECEA． CACE． CD垂直平分AE．

DADE． DAEDEA， EFAF，EAF45，

FEA45．

FEAEAF．

FAFE，FADFED，

FAFE在FAD和FED中，FADFED，

ADEDFADFED(SAS)．

AFDEFD．

点D到AF，EF的距离相等．

【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、

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线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．

4．（2019秋•东城区期末）对于ABC及其边上的点P，给出如下定义：如果点M1，M2，M3，，Mn都在ABC的边上，且PM1PM2PM3PMn，那么称点M1，M2，M3，，Mn为ABC关于点P的等距点，线段PM1，PM2，PM3，，PMn为ABC关于点P的等距线段．

（1）如图1，ABC中，A90，ABAC，点P是BC的中点．

①点B，C 是 ABC关于点P的等距点，线段PA，PB ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是” )

②ABC关于点P的两个等距点M1，M2分别在边AB，AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段PM1，PM2；

（2）ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是ABC关于点P的等距点，且PC1，求线段DC的长；

（3）如图2，在RtABC中，C90，B30．点P在BC上，ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．若BCa，直接写出PC长的取值范围．（用含a的式子表示） 【分析】（1）①由新定义“ABC关于点P的等距线段”即可得出答案； ②作PM1AB于M1，PM2AC于M2，由垂线段最短即可得出答案：

（2）以P为圆心，PC长为半径作圆P，交AC于D，交BC于D，连接PD，则PDPCPD1，得出

CDPCPD2；证出PCD是等边三角形，得出CDPC1即可；

1111（3）分别求出当PCBCa时、当PCBCa时，ABC关于点P的等距点，即可得出答案．

2233【解答】解：（1）①点P是BC的中点，

PBPC，

点B，C是ABC关于点P的等距点；

ABAC，

PABC，PAPB，

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线段PA，PB不是ABC关于点P的等距线段；

故答案为：是，不是；

②作PM1AB于M1，PM2AC于M2，连接PA，如图11所示：

ABAC，点P是BC的中点，

PA平分BAC，

PM1PM2；

由垂线段最短可知：PM1，PM2是ABC关于点P等距线段最短的线段；

（2）如图12，以P为圆心，PC长为半径作圆P，交AC于D，交BC于D，连接PD， 则PDPCPD1，

CDPCPD2； ABC是等边三角形， BCAC4，C60， PCD是等边三角形， CDPC1；

即线段DC的长为2或1； 11（3）当PCBCa时，

22当P为BC的中点，则PBPC，

B、C是，ABC关于点P的等距点，

作PEAB于E，截取EFEB，连接PF，如图2所示： 1则PFPBa，

2B30，

11PEBPa，

24AB边上存在2个ABC关于点P的等距点，

ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．

PC1aBC，即PC； 2211211当PCBCa时，PBa，PEBPa，

33323则ABC关于点P的等距点有2个在BC上，有1个在AB上，

ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．

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1PCBC，

3PC长的取值范围是

aaPC． 32

【点评】本题是三角形综合题目，考查了新定义“ABC关于点P的等距线段”，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、含30角的直角三角形的性质、圆的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质和直角三角形的性质，理解新定义“ABC关于点P的等距线段”是解题的关键．

5．（2019秋•大兴区期末）已知：在ABC中，ABAC，D是BC的中点，动点E在边AB上（点E不与点A，B重合），动点F在射线AC上，连结DE，DF．

（1）如图1，当DEBDFC90时，直接写出DE与DF的数量关系；

（2）如图2，当DEBDFC180(DEBDFC)时，猜想DE与DF的数量关系，并证明； （3）当点E，D，F在同一条直线上时， ①依题意补全图3；

②在点E运动的过程中，是否存在EBFC？ 不存在 （填“存在”或“不存在”

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)．

【分析】（1）由“AAS”可证BDECDF，可得DEDF；

（2）连结AD，作DGAB于点G，DHAC于点H，由补角的性质可得GEDDFC，由等腰三角形的性质可得BADCAD，由角平分线的性质可得DGDH，可证EGDFHD，可得DEDF； （3）①依照题意画出图形；②由“ASA”可证BDECDH，可得DEDHDF，即可得结论． 【解答】解：（1）DEDF， 理由如下：

ABAC，D是BC的中点，

BC，BDCD，且DEBDFC90，

BDECDF(AAS)

DEDF；

（2）猜想：DEDF，

理由如下：连结AD，作DGAB于点G，DHAC于点H，

EGDFHD90 DEBGED180

DEBDFC180 GEDDFC， ABAC，D是BC的中点

BADCAD DGDH，

在EGD和FHD中， GEDDFCEGDFHD DGDHEGDFHD．(AAS)

DEDF；

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（3）①如图所示；

②过点C作CH//AB，

ABCDCH，且BDCD，EDBCDH，

BDECDH(ASA)

BECH，且CFCH CFBE，

故答案为：不存在．

【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

6．（2020•东城区校级模拟）如图，在平面内给定ABC，ABAC，点O到ABC的三个顶点的距离均等于c(c为常数），到点O的距离等于c的所有点组成图形G，过点A作AB的垂线交BC于点E，交图形G于点D，延长DA，在DA的延长线上存在一点F，使得ABFABC． （1）依题意补全图形；

（2）判断直线BF与图形G交点的个数并证明； （3）若AD4，cosABF4，求DE的长． 5

【分析】（1）由题意补全图形；

（2）通过证明BF是O的切线可得结论；

（3）由锐角三角函数可求BD的长，由勾股定理可求AB的长，通过证明ABE∽ADB，可求AE的长，即可求解． 【解答】解：（1）如图，作AB，AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OB长为半径作圆，O为图形G；

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（2）直线BF与图形G交点只有一个， 理由如下：

ADAB，

BAD90，

BD是直径，ADBABD90，

ABAC， ACBABC，

ACBADB，ABFABC，

ABFADB，

ABFABD90， DBF90，

BDBF，且OB是半径， BF是圆O的切线，

直线BF与图形G交点的只有一个；

（3）cosABFcosADB4AD5DB，BD5，

ABBD2AD225163，

ABEADB，BAEBAD90，ABE∽ADB，

ABAEADAB， 3AE43 AE94， DEADAE74．

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【点评】本题是三角形综合题，考查了圆的有关知识，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

7．（2019秋•大兴区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知P(a,b)，R(c,d)两点，且ac，bd，若过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两平行线交于一点S，连接PR，则称PRS为点P，R，S的“坐标轴三角形”．若过点R作x轴的平行线，过点P作y轴的平行线，两平行线交于一点S，连接PR，则称RPS为点R，P，S的“坐标轴三角形”．右图为点P，R，S的“坐标轴三角形”的示意图．

（1）已知点A(0,4)，点B(3,0)，若ABC是点A，B，C的“坐标轴三角形”，则点C的坐标为 (3,4) ； （2）已知点D(2,1)，点E(e,4)，若点D，E，F的“坐标轴三角形”的面积为3，求e的值． （3）若

O的半径为32，点M(m,4)．若在2O上存在一点N，使得点N，M，G的“坐标轴三角形”为等腰

三角形，求m的取值范围．

【分析】（1）由“坐标轴三角形”的定义可得出答案； （2）由条件可得SDEF1|e2|33，解方程即可得出e的值； 2（3）可得直线MN为yxb或yxb，①当直线MN为yxb时，当直线MN平移至与O相切，且切点在第四象限时，b取得最小值，求出b的最小值为3，m的最大值为m4b7，当直线MN平移至与O相切，且切点在第二象限时，b取得最大值，b的最大值为3，m的最小值为m4b1，可求出范围，②当直线MN为yxb时．同理可得，mb4，当b3时，m1，当b3时，m7，可求出m的取值范围是7m1．

【解答】解：（1）点A(0,4)，点B(3,0)，

OA4，OB3，

ABC是点A，B，C的“坐标轴三角形”，

C(3,4)，

故答案为：(3,4)．

（2）点D(2,1)，点E(e,4)，

点D，E，F的“坐标三角形”的面积为3， SDEF1|e2|33， 2|e2|2，

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e4或e0，

（3）由点N，M，G的“坐标轴三角形”为等腰三角形可得直线MN为yxb或yxb， ①当直线MN为yxb时，由于点M的坐标为(m,4)， 可得m4b，

由图可知，当直线MN平移至与O相切，且切点在第四象限时，b取得最小值．

此时直线MN记为M1 N1，其中N1为切点， T1为直线M1 N1与y轴的交点．

△O N1T1为等腰直角三角形， ON132， 2332)2(2)23 22OT1(b的最小值为3，

m的最大值为m4b7．

当直线MN平移至与O相切，且切点在第二象限时，b取得最大值． 此时直线MN记为M2 N2，其中N2为切点，T2为直线M2 N2与y轴的交点． △ON2T2为等腰直角三角形， ON232 2332)2(2)23． 22OT2(b的最大值为3，

m的最小值为m4b1， m的取值范围是1m7，

②当直线MN为yxb时．

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同理可得，mb4， 当b3时，m1， 当b3时，m7，

m的取值范围是7m1．

综上所述，m的取值范围是1m7或7m1．

【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形面积，直线与圆相切，等腰直角三角形的性质，勾股定理，“坐标轴三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用数形结合思想解决问题．

8．（2019秋•延庆区期末）如图，点A在直线l上，点B在直线l外，点B关于直线l的对称点为C，连接AC，过点

B作BDAC于点D，延长BD至E使BEAB，连接AE并延长与BC的延长线交于点F．

（1）补全图形；

（2）若BAC2，求出AEB的大小（用含的式子表示）； （3）用等式表示线段EF与BC的数量关系，并证明．

【分析】（1）依据点B关于直线l的对称点为C，连接AC，过点B作BDAC于点D，延长BD至E使BEAB，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，即可作图；

（2）利用轴对称的性质以及等腰三角形的性质，即可得到AEB的大小；

（3）依据全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到线段EF与BC的数量关系． 【解答】解：（1）如图所示：

（2）AEB45．

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理由如下：设BC与直线l交于点H， 点B与点C关于直线l对称，

ABHACH，

ABAC，BAHCAH1BAC， 2BHACHA90，BHHC， BDAC， BDA90， ABE902，

ABBE，

1AEBBAE[180(902)]45；

2（3）线段EF与BC之间的数量关系：BC2EF． 理由如下：如图，过点E做EMBF于M，

BME90，

BHACHA90（已证）， BMEAHC，

ABAC（已证），ABBE（已知）， ABACBE，

在BHO和ADO中，

12，BDABHA90，

HBOCAH，

在AHC和BME中， HBOCAHBMEAHC， ACBE第18页（共21页）

AHCBME(AAS)，

MEHC1BC， 2BEA45，HBO， F45，

MEF是等腰直角三角形，

ME2EF， 212BCEF， 22BC2EF．

【点评】本题属于三角形综合题，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质是解决问题的关键，难点在于作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形．

9．（2019秋•东城区期末）在ABC中，BAC45，CDAB于点D，AEBC于点E，连接DE． （1）如图1，当ABC为锐角三角形时，

①依题意补全图形，猜想BAE与BCD之间的数量关系并证明； ②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明；

（2）如图2，当ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．

【分析】（1）①依题意补全图形，由直角三角形的性质得出BBAEBBCD90，即可得出BAEBCD ②作DGDE，交AE于G，则EDG90CDA，得出ADGCDE，证出ACD是等腰直角三角形，得出

ADCD，由①得出DAGDCE，证明ADGCDE(ASA)，得出AGCE，DGDE，证出DEG是等腰

直角三角形，得出EG2DE，即可得出结论；

（2）作DGDE，交AE的延长线于G，则EDG90CDA，证出ACD是等腰直角三角形，得出ADCD，证明ADGCDE(ASA)，得出AGCE，DGDE，得出DEG是等腰直角三角形，证出EG2DE，即可得出结论．

【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1所示：

第19页（共21页）

猜想BAEBCD，理由如下：

CDAB于点D，AEBC于点E， CDBCDAAEB90， BBAEBBCD90， BAEBCD；

②AECE2DE，理由如下：

作DGDE，交AE于G，如图11所示： 则EDG90CDA，

ADGCDE， BAC45，

ACD是等腰直角三角形， ADCD，

由①得：DAGDCE，

ADGCDE在ADG和CDE中，ADCD，

DAGDCEADGCDE(ASA)，

AGCE，DGDE， DEG是等腰直角三角形，

EG2DE，

AEAGEG，

AECE2DE；

（2）依题意补全图形如图2所示：CEAE2DE，理由如下： 作DGDE，交AE的延长线于G， 则EDG90CDA，

ADGCDE， BAC45，

ACD是等腰直角三角形， ADCD，

同①得：DAGDCE，

第20页（共21页）

ADGCDE在ADG和CDE中，ADCD，

DAGDCEADGCDE(ASA)，

AGCE，DGDE， DEG是等腰直角三角形，

EG2DE，

AGAGEG，

CEAE2DE．

【点评】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．

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