第七章 假设检验

一、教材说明

本章主要介绍统计假设检验的基本概念和基本思想、正态总体参数的统计假设的显著性检验方法。。

1、本章的教学目的与要求

（1)使学生了解假设检验的基本概念； （2)使学生了解假设检验的基本思想； （3）使学生掌握假设检验的基本步骤；

(4)使学生会计算检验的两类错误,搞清楚两类错误的关系; (5）使学生掌握正态总体参数的假设检验,主要是检验统计量及其分布,检验拒绝域的确定； （6）使学生灵活运用所学知识解决实际问题。 2、本章的重点与难点

本章的重点是正态总体参数的各种假设检验中的检验统计量及其分布,难点是假设检验拒绝域的确定。

二、教学内容

下面主要分3节来讲解本章的主要内容.

§7。1 假设检验的基本概念

对总体分布或分布中的某些参数作出假设,然后利用样本的观测值所提供的信息,运用数理统计的分析方法,检验这种假设是否成立，从而决定接受或拒绝“假设”，这一统计推断过程，称为假设检验。

1。引例

我们先举一个简单的实例来说明假设检验的基本思想及推理方法。

例1：某车间用一台包装机包装葡萄糖， 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.且知标准差为0.015千克.当机器正常时， 其均值为0.5千克，某日开工后为检验包装机是否正常， 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为（千克)：

0。497 0。506 0。518 0.524 0.498 0。511 0。520 0.515 0.512, 问机器是否正常？

分析：用和分别表示这一天袋装糖重总体X的均值和标准差，则X~N(,0.015),其中未知。 问题： 已知总体X2N(,2)，且00.015,根据样本值判断0.5还是

0.5.

提出两个对立假设H0:00.5(原假设或零假设）和 H1:0(备择假设)。再利用已知样本作出判断是接受假设H0( 拒绝假设H1） , 还是拒绝假设H0 （接受假设

H1)。 如果作出的判断是接受H0, 则0即认为机器工作是正常的， 否则, 认为是

不正常的。

因为X是的无偏估计量，所以,若H0为真，则x0不应太大，X00/n~N(0,1)，

衡量x0的大小可归结为衡量X00/n的大小。于是可以选定一个适当的正数k，当观

察值x满足X00/nk时,拒绝假设H0；反之,当观察值x满足

X0X0/nk时，接受假设

H0。因为当H0为真时，U0/n~N(0,1)，由标准正态分布分位点的定义得:

x0ku/2, 当x00/nu/2时,拒绝H0, 0/nu/2时, 接受H0.

假设检验过程如下： 在实例中,

(1）若取定 0.05, 则 ku/2u0.0251.96,我们有

P(|U|1.96)P(|X0|0/n1.96)0.05.

x0又已知 n9, 00.015, 由样本算得 x0.511, 即有 |u| =0/n2.21.96, 于是根据小概率事件实际不可能性原理,拒绝假设H0， 认为包装机工作不正常. (2)若取定 0.01, 则 ku/2u0.0052.58, |u|=受假设H0, 认为包装机工作正常。

注：上述称为显著性水平.此例表明假设检验的结论与选取的显著性水平有密切的关系.所以，必须说明假设检验的结论是在怎样的显著水平下作出的。 2。假设检验的基本思想及推理方法 1）假设检验基本思想

（1） 在假设检验中，提出要求检验的假设,称为原假设或零假设，记为H0，原假设如

果不成立，就要接受另一个假设,这另一个假设称为备择假设或对立假设，记为H1。

（2） 假设检验的依据——小概率原理：小概率事件在一次试验中实际上不会发生。

（3） 假设检验的思路是概率性质的反证法。即首先假设成立，然后根据一次抽样所得的

1

x00/n2.22.58, 于是接

样本值得信息，若导致小概率事件发生，则拒绝原假设，否则接受原假设。

（4） 假设检验可能犯的两类错误：

① 第一类错误（弃真错误)：即假设H0为真而被拒绝，记为,即

P{拒绝H0|H0为真}。

② 第二类错误（存伪错误）：假设H0不真而被接受,记为,即

P{接受H0|H0不真}。

③ 当样本容量n一定时，,不可能同时减少，在实际工作中总是控制适当的小。 2）假设检验的程序

对任何实际问题进行假设检验，其程序一般为五步,即： ⑴根据题意提出零假设H0(或相应备选假设H1）。

⑵构造样本统计量并确定其分布；

⑶给定显著性水平，查表确定临界值，从而得出接受域和拒绝域； ⑷由样本观测值计算出统计量的值；

⑸作出判断:若统计量的值落入拒绝域则拒绝H0，若统计量的值落入接受域则接受H0. 3)假设检验的主要方法

U检验法、t检验法、2检验法、F检验法。

例2 已知某产品使用寿命X服从正态分布，要求平均使用寿命不低于1000小时,现从一批这种产品中随机抽出25只,测得平均使用寿命为950小时，样本方差为100小时.则可用( )

① t——检验法 ②-—检验法 ③Z--检验法 ④F—-检验法 解 选①

例3 假设检验时，只减少样本容量，犯两类错误的概率（ ) ①都增大 ②都减少

③不变 ④一个增大，一个减少 解 选①

21n例4 正态总体X~N,,X1,X2,,Xn为样本，XXi,假设检验

ni12H0:0为已知数，在显著性水平α下，则当2202xxii1n220（ ）时拒绝H0

①22n1; ②122n1

2

③2n1 ④2n1

解 由于当H0成立时,

(n1)S*220(n1)S*22,而

(n1)S*222(n1)，故

P(

(n1)S*220(n1))P(2(n1)S*222(n1))，于是选④

§7。2 单个正态总体的假设检验

22⑴X:N(μ,σ),σ已知，检验假设H0：μ=μ0

U检验法：

①H0：=0 （H1：0或0或0）

②统计量Ux00/n2N(0,1)(H0成立时).

③给出，P{Uu}，查正表定u.

2（x1，x2，④ 由样本值，xn） 计算u的值

⑤ 判断：若|u|u/2，则拒绝H0

（这是对双侧检验提出的U检验法步骤,若是单侧可仿比）

22（2）X∼N(μ,σ),σ未知，检验假设H0：μ=μ0

t检验法：

①H0：=0 （H1：0或0或0）

②Tx0S/n*t(n1)(H0成立时)。

③给出，P{Tt(n1)}，查t分布表定t(n1).

22④由样本值计算T的值。

⑤判断:若tt(n1),则拒绝H0，否则接受H（若是单侧可查t表定t(n1), 022同样得出拒绝域）.

（3）X2N(,2),2未知，检验假设H0：2=0

22220）①H0：=（ 0H1： 3

②2(n1)S20*2（X-X）2ii120n-2(n1)(H0成立时).

222，查分布表定(n1)③给出，P{及222122(n1)}P{(n1)}22212(n1).

2④由样本值计算的值 ⑥ 判断：若22(n1)或22(n1)，则拒绝H0，反之则接受H0. 212（一）已知方差

例5 设某产品的某项质量指标服从正态分布,已知它的标准差150，现从一批产品中随机地抽取26个，测得该项指标的平均值为1637。问能否认为这批产品的该项指标值为1600(0.05) ？

解 （1)提出原假设： H0：μ=1600，H1:μ≠1600； （2)选取统计量UX00n

（3)对于给定的显著性水平0.05 ，查标准正态分布表

uu0.0251.96

2(4）计算统计量观察值

ux00n163716001502611.258

（5)结论 u1.258u21.96接受原假设H0

即不能否定这批产品该项指标为1600。 （二）未知方差，检验H0：0

例6某厂生产乐器用合金弦线，其抗拉强度服从均值为10560（kg/cm）的正态分布。现从一批产品中抽取10根测得其抗拉强度（单位：kg/cm）为: 10512 10623 10668 10554 10776 10707 10557 10581 10666 10670

⑴对显著性水平α=0。05，问这批产品的抗拉强度有无显著变化? ⑵对显著性水平α=0.01,结果如何？(已知

22t0.0591.833,t0.02592.262,t0.0192.821,t0.00593.250）

4

解 ①假设检验H0:10560,对H1：10560 ②方差未知时，检验数学期望选用统计量

X0TS*n,在H0成立时，T~Tn1其中S*21n(xix)2 n1i11n110152106231067010631.4 ③对给定样本值，计算得xxini1101n2122s*xnx10512in1i1921067021010631.4259044 9所以,统计量的样本值tx010631.4105602.788 s*59044n910④当显著性水平α=0.05时，拒绝域为

Tt0.02592.262,

这里t2.7882.262,落入拒绝域，所以在0.05不应接受H0,即认为抗拉强度

有显著变化。

当显著性水平α=0.01时，拒绝域为 |T|t0.005(9)3.250,即认为这批产品的抗拉强度无显著性变化。

例7已知某种元件的寿命服从正态分布，要求该元件的平均寿命不低于1000 小时，现从这批元件中随机抽取25 只,测得平均寿命 X980小时 标准差s65小时 试在显著水平0.05 下，确定这批元件是否合格

(附表t0.90(24)1.138,t0.95(24)1.171,t0.975(24)2.0)

分析 元件是否合格,应通过寿命低于1000 小时来判断（1000小时都合格)，这里对总体均值的单测检验， 未知,用 t检验法

解 ①提出检验假设H0:01000,H1:01000

②选取统计量 T2

X0,当 H0成立时T~t(n1) *Sn*③由样本观测值,计算统计量所取的值。这里x980,s65 得

5

t98010001.538

6525④对显著水平0.05 拒绝域（临界域)tt1(n1)t0.95(24)1.711 因为tt0.95(24)1.711 ，未落入拒绝域，应接受H0，否定H1：即认为这批元

件合格。

22（三)未知均值，检验H0:0

例5 某工厂生产的铜丝折断力（单位:斤)服从正态分布N,82,某日随机抽取了10根进行折断力检验,测得平均折断力为57.5斤，样本方差为68。16，在0.05下，检验

22H0:282对H1:282,0.975919.023,0.02592.7

解 用检验法，检验统计量为对n10,0.05拒绝域为：

222nSn20

22122n10.0975919.023或

222xn120.097592.7

有样本观察值，计算得21068.1610.65 28222因为10.650.0259,0.97592.7,19.023所以接受H0。

例6 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005（欧姆）。今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007（欧姆），设总体为正态分布，问在水平0.05下能认为这种导线的标准差显著地偏大吗?(0.95815.507,0.975817.5)

22 分析 凡方差“大于”、“不低于”、“偏大”、“偏小”等问题，均属于方差的单侧检验问题，

22其假设的提出有两种方式：有的书提出原假设H0:0和备择假设

原假设H0：或22022或202,H0与H1是对立假设；有的书只提出H1:2020（注意原假设含有等

号),本教材按前者讲述。 解 用——检验法

222222①检验假设H0：H0:00.005，H1:00.005

2②选用统计量

2n1s2,当H成立时，2~2n1。

206

(91)*0.0072③由样本观察值，计算统计量所取值为==15。68 20.0052④对a= 0.05，由已知220.95(8)=15。507，拒绝域221a9(n1)20.95(8)=15。

507。这里15.68〉15。507故拒绝H0，接受H1：即认为这批导线的标准差显著的偏大。

§7。3 两个正态总体的假设检验

22（1）1，2已知，检验假设H0：12

U检验法：

①H0：1（ 2H1：12）②UXY21n122N(0,1),(H0成立时)。

n22③给出，查正态表定u

（x1，x2，④由样本值

2，xn），（y1，y2，，yn） 计算U的值

⑤作出判断：若uu则拒绝H0，反之接受H0。

2222（2）1，2未知，但1=2，检验假设H0：12

t检验法：

①H0：1=2 （H1：1=2或12或12） ②TXY（n1-1）S（n2-1）S*21*22n1n2(n1n22)n1n2t(n1n22)(H0成立时)。

③④⑤同前

2222（3)1,2，未知，检验假设H0：1=2(H1:12)

F检验法：

2222①H0：1=2(H1:12) *2*2②FS1/S2F(n11,n21)(H0成立时)

（一） 已知1及2,检验假设H0:12

22 7

例1 由累积资料知道甲，乙两矿的含灰率服从X~N（1,7.5），Y～N(2,2.6）。现从两矿中各取几个试件，分析其含灰率为：

甲矿：24。3 20.8 23。7 21.3 17.4（％） 乙矿：18。2 16.9 20。2 16。7（%） 问：甲乙两矿所采煤的含灰率的数学期望1和a=0。10）.（Z0.901.28,Z0.951.)

解 已知1及2,假设检验H0:12,用Z～检验法。 ①提出零假设H0:12,对H1:12 ②选取统计量Z222有无显著性水平差异？（显著性水平

xy(12)21n122，当H0成立时，Z～N（0.1)

n21a2③对显著性水平a=0。10,由Z0.951.=1。，确定临界域ZZ④计算统计量Z的 观察值。X21.5,Y18于是

1.

Zxy21n12221.5187.52.6542.39

n2由于Z=2。39> 1.,故拒绝H0,即可以认为1和2有显著性差异. （二） 未知，但12，假设检验H0:12

例2 某物品在处理前与处理后抽样分析含脂率(％）如下：

处理前x：0.19 0。18 0.21 0。30 0。41 0。12 0。17

处理后y：0。13 0。15 0。07 0。24 0.19 0。06 0.08 0。12

设含脂率分别服从正态分布N(1,1)，N(2,2），对显著性水平a=0.05,试问：处理前后的平均含脂率有无显著性差异?（t0.975(13)2.160,t0.975(14)2.145）

分析 首先需要F—检验法验证二总体方差是否有显著性差异，在无显著性差异(视为相等)的条件下，然后利用T-检验法在检验二总体均值是否有显著性差异。 解（1)利用F—检验法检验二总体方差有无显著性差异。

①检验假设H0:12,H1:12

22222222 8

S1212②选用统计量F2,当H0:成立时，F~F(n11,n21)

S222③对给定显著性水平a=0。05,有F-分布表得临界值,F1a(6,7)5.12,Fa(6,7)22110.175

Fa(6,7)5.702④计算统计量F的样本观察值

1n11XXi0.24,Yn1i1n22Yi1n2i0.13

1n12S1(XiX)7.58*103 n11i11n2S(YiY)23.9*103 n21i122S12故F21.93(0.175,5.12)，接受H0,认为二总体方差无显著性差异。

S2(2）利用T—检验法检验二总体均值有无显著性差异。

①检验假设H0:12,H1:22 ②选取统计量

T(xy)(12)Sw11mn~t(mn2)TXY(12)2(n11)S12(n21)S2n1n2(n1n22)

n1n2H0成立时，T~(n1n22)

③对给定显著性水平a=0。05，得拒绝域Tt0.975(13)2.160 ④计算统计量T的观测值

t

XY(n11)S12(n21)S22n1n2(n1n22)0.240.13n1n26*7.5*1037*3.9*1037*8*130.11*6.9672.849780.269由于t2.849t0.975(13)2.160。故拒绝H0,接受H1。即处理后含脂率有显著差异。

9

22（三） 均值未知，检验假设H0:12

例3 某一橡胶配方中，原用氧化锌5g,现减为1g ，若分别用两种配方做一批实验，5g配方测9个值，得橡胶伸长率的样本差是S163.86；1g配方测3个值，橡胶伸长率的样本差是S2236.8。设橡胶伸长率遵从正态分布,问两种配方的伸长率的总体标准差有无显著差异？（a=0.10)（F0.95(8,9)3.23,F0.95(9,8)3.39）

分析 两种配方的伸长率的总体标准差有无显著差异,是通过样本值去判断12是否成立，是均值未知的两个总体方差是否相等的检验，5g配方和1g配方记为

2X~N(1,12),Y~N(2,2)

2222解 ①检验假设H0:12,H1:12

2222S1212S12②选取统计量F2,当H0成立时F2~F(n11,n21)

S2S222③对显著性水平a=0.10由题设F0.95(8,9)3.23,F0.05(8,9)故拒绝域为0,0.2953.23, ④计算统计量F的样本观察值

110.295。

F0.95(9,8)3.39S1263.86F20.2697

S2236.8由于F=0.2697(0.295,3.23)，即F 落入拒绝域，应拒绝H0，接受H1,即在=0。10下认为两个总体的方差是不等的.

注:若将显著性水平改为a=0。02,此时

F1a2(8,9)F0.99(8,9)5.47,F1a2(9,8)F0.99(9,8)5.91

此时拒绝域

110,F(8,9)F(8,9),0,F,0,5.47,0,0.1695.47,a1a0.99F(9,8)5.91220.99

样本观察值F=0。2697未落入拒绝域，故接受H0，即认为两种配方总体方差无显著差异，说明显著性水平越小，否定零假设越困难.

10

22（四） 均值未知，检验假设H0:12

例4 有甲乙两车床生产同一型号的滚珠，根据已有经验可以认为，这两台车床生产的滚珠都服从正态分布，问题是要比较台车床生产的滚珠的直径的方差。现在从这两台车床的产品中分别抽取8个和9个,经计算得X甲=15.01，X乙=14。99，S甲=0。0955，S乙=0。0261,对显著性水平a=0。05,试问:乙车床产品的方差是否比甲车床的小？

（f0.95(7,8)3.50,f0.95(8,7)3.73,f0.975(7,8)4.53,f0.975(8,7)4.90）

22分析 由题意,是验证甲乙是否成立，而单边检验所提假设含等号，故此题可假设为22H0:甲乙

22解 利用F—检验法检验两总体方差比。

2222①检验假设H0:甲乙,H1:甲乙

②选取统计量F2S甲S2乙，第一自由度是7，第二自由度是8的F-分布

③由题知f0.95(7,8)=3.50,故拒绝域为3.50, ④统计量F的样本观察值

F2S甲2S乙0.09553.694

0.0261由于f=3。659 >3.50，故应拒绝H0，接受H1。即乙车床产品的直径的方差比甲车床的小。

二、两个正态总体均值差的检验

设x1,x2,,xm是来自总体X服从N(1,1)的样本，y1,y2,,yn是来自总体Y服从N(2,2)的样本,且两样本相互，考虑如下的三种检验:

22H0:120vs H0:120H1:120 （１) H1:120 （２) H1:120 （３）

vsH0:120vs主要分两种情况讨论。

1、1,2已知时的两样本的检验

11

此时12的估计xy的分布完全已知，xy~N(12,采用U检验法，检验统计量为

12m22n)，由此可

Uxy21m在12时，U22

nxy21m22~N(0,1)。检验的拒绝域取决于备择假设的形式。上述三

nW{U;UU1} W{U;UU}

对假设检验的拒绝域分布为：

W{U;UU12}

2、12但未知时的两样本t—检验

22未知时,类似于单个正态总体方差未知时均值的检验，在122我们仍用的

2无偏估计代替，而此时可以证明的无偏估计为：

22mn(m1)Sx(n1)Sy122 S[(xix)(yiy)]mn2i1mn2i12w22于是有

T(xy)(12)Sw11mnxySw~t(mn2)

从而检验统计量为

T11mn

在120时，TxySw11mn~t(mn2)。上述三对假设检验的拒绝域分布为：

W{T;Tt1(mn2)}

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W{T;Tt(mn2)}

W{T;Tt12(mn2)}

例7。２。3 某厂铸造车间为提高铸件的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代铜合金铸件，从两种铸件中各抽取一个容量分别为8和9的样本，测得其硬度（一种耐磨性指标)为:

镍合金 76.43 76。21 73。58 69.69 65.29 70。83 82.75 72.34

铜合金 73.66 。27 69.34 71。37 69。77 68.12 67。27 68。07 62.61

根据专业经验，硬度服从正态分布，且方差保持不变,试在显著性水平0。05下判断镍合金的硬度是否有明显提高？ 解 略。

综上，关于两个正态总体均值差的假设检验问题可汇总成如下的表： 条 件 原假设H0 备择假设检验统计量 及其分布 拒绝域 H1 12 已 知 12 12UU1 12 12Uxy21m22~N(0,1) UU n0 0 UU 12 12 未 知 12 12 Tt1(mn2) TxySw11mn~t(mn2)Tt(mn2) 12 12 12 12 Tt12(mn2)一、 正态总体方差的检验

设总体X~N(,)，x1,x2,,xn是来自该总体的样本，对方差考虑如下的三

22种检验：

2H0:2022 H0:0vsvs2H1:20 (１) 2H1:20 （２）

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2H0:20vs2H1:20 （３）

1、均值未知时方差的检验

1n2222(xx)由于未知，S是的无偏估计，且0in1i12有

2(n1)S220~2(n1)

对于显著性水平，对应上述三种假设检验的拒绝域分布为:

W{;2(n1)S22021(n1)}

W{;(n1)S22(n1)S2202(n1)}

(n1)S2W{;220212(n1)或

202(n1)}

2例7。2。4 某类钢板每块的重量X服从正态分布，其一项质量指标是钢板重量的方差不得超过0。016kg.现从某天生产的钢板中随机抽取25块，得其样本方差S=0.025kg。问该天生产的钢板重量的方差是否满足要求？0.05。 解 略。

2222、均值已知时方差的检验

此时，检验统计量取为2(xi1nn2i)22，且0时

022i2(xi1)~2(n)

202故对均值已知时方差的三种检验，我们只需将均值未知时方差的三种检验中-分布的自由度变一下就可得到检验的拒绝域.

综上，关于单个正态总体方差的假设检验问题可汇总成如下的表： 条 件 原假设H0 备择假设H1 检验统计量 及其分布 拒绝域 14

22 0 202 已 知 22022(xi1n2i)20221(n) ~2(n)   20 22(n) 202 2 22 0221(n) 2 或22(n) 2 22 002 221(n1) 2 未 知 22 0 (n1)S220~2(n1) 202 22(n1) 22 0202

221(n1)2 或22(n1) 2四、两个正态总体方差比的检验

设x1,x2,,xm是来自总体X服从N(1,1)的样本，y1,y2,,yn是来自总体Y服从N(2,2)的样本，且两样本相互，考虑如下的三种检验：

2H0:122 H0:122H0:122222222 (１） vsH1:122 （２) vsH1:1222 (３） vsH1:12222此处1,2均未知,Sx,Sy分别表示总体X、Y的样本方差,易知

222ESx12，ESy 2从而建立检验统计量

2SxF2

Sy2SxF2~F(m1,n1)，此时，上述三个检验的拒绝域分别为：

Sy当1222时，

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W{F;FF1(m1,n1)} W{F:FF(m1,n1)}

W{F:FF12(m1,n1)或FF(m1,n1)}

2例7。2。5 甲、乙两台机床加工零件，零件的直径服从正态分布，总体方差反映了加工的精度，为比较两台机床的加工精度有无区别，现从各自加工的零件中分别抽取7件产品和8件产品，测得直径为：

X（机床甲) 16.2 16。4 15。8 15。5 16。7 15。6 15。8

Y(机床乙） 15。9 16。0 16。4 16。1 16。5 15.8 15。7 15.0 取 0。05。

解 略。

综上，关于两个正态总体方差比的假设检验问题可汇总成如下的表: 条 件 原假设H0 21222120备择假设H1 22 12检验统计量 及其分布 拒绝域 FF1(m,n) 1 2 已 知 2 122 2122 22 12F n(xi1)2m(yi2)2i1i1nmFF(m,n) FF12(m,n) 或FF(m,n) 2212222 12 1 2 未 知 2120 FF1(m1,n1) 2 122 2122FF(m1,n1) 2SxF2~F(m1,n1) SyFF(m1,n1) 12 2122 或FF(m1,n1) 2

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