对数与对数函数—讲义

一．【教学目标】

1．理解对数的概念，掌握对数的运算性质；

2．掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题．

二．【教学重点】

运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题

三．【命题规律】

b主要考察指数式aN与对数式logaNb的互化，对数函数的图像和性质或由对数函数

复合成的函数,主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等,主要以填空为主.

四．【知识回顾】 1.对数的概念

如果 ,那么数b叫做以a为底N的对数，记作 ，其中a叫做对数的 ，N叫做对数的 。 即指数式与对数式的互化:abNblogaN

2。常用对数:通常将以10为底的对数log10N叫做常用对数，记作lgN.

自然对数：通常将以无理数e2.71828为底的对数叫做自然对数,记作lnN。

3。对数的性质及对数恒等式、换底公式

（1)对数恒等式：①alogaN= (a0且a1,N0)②logaaN= (a0且a1,N0)

(2）换底公式：logaNlogbN

logba(3)对数的性质：①负数和零没有对数 ② 1的对数是零,即loga10

③底的对数等于1，即logaa1 ④logablogbclologad

4.对数的运算性质

如果a0且a1,M0,N0，那么

(1）loga(MN) ； (2）logan（3）logaM ; （4)logM ； NamMn .

1

logba

（5）logablogba ； （6)logab5。对数函数

第1页 共7页 对数与对数函数

函数ylogax(a0且a1)做对数函数,其定义域为(0，+∞），值域为（-∞，+∞).、

6.对数函数图像与性质

注：对数函数ylogax与ylog1x(a0且a1)的图像关于x轴对称。

a7.同真数的对数值大小关系如图

在第一象限内,图像从左到右相应的底逐渐增大， 即0cd1ab

8。对数式、对数函数的理解

① 应重视指数式与对数式的互化关系,它体现了数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”问题的关键.

② 在理解对数函数的概念时，应抓住定义的“形式\"，像ylogx2,ylog22x,y3lnx等函

数均不符合形式ylogax(a0且a1)，因此，它们都不是对数函数 ③ 画对数函数ylogax的图像,应抓住三个关键点(a,1),(1.0),(,1)

1a【例题精讲】 考点一：对数式的运算

例1。计算 （1)2lg22lg2lg5lg232lg21 （2）lg5lg8lg1000lg2

21lglg0.06

6第2页 共7页 对数与对数函数

【反思归纳】运用对数的运算法则时，要注意各字母的取值范围，只有所得结果中的对数和所给出的数的对数都存在时才成立，同时不要将积商幂的对数与对数的积商幂混淆起来。 【举一反三】 1。求值： （1）log2271log212log2421 482(2）lg2lg2lg50lg25 （3）log32log92log43log83

考点二:对数值的大小比较

比较大小常用的方法有:①做差比较法 ②做商比较法 ③函数单调性法 ④中间值法， 在比较两个幂的大小时，除上述一般方法外，还应注意以下情况:

1) 对于底数相同,真数不同的两个对数的大小比较，直接利用对数函数的单调性来判断。 2) 对于底数不同，真数相同的两个对数的大小比较，可利用对数函数的图像来判断。 3) 对于底数和真数均不同的两个对数的大小比较，可以利用中间值来比较 4) 对于三个及以上的数进行大小比较，则应先根据值的大小，（特别是0和1)进行分组，再比

较各组的大小。

5) 对于含有参数的两个对数进行大小比较时，要注意对底数进行讨论. 例2。比较大小

(1）log23.4与log28.5 （2）log23与log33

（3）log76与log67 （4）logabb1bR与loga21 2

【举一反三】

2。（08年北京卷改编）若a2,blog3,clog2sin

第3页 共7页 对数与对数函数

0.52，则a,b,c的大小关系是 。 5考点三：与对数函数有关的定义域问题

求与对数函数有关的复合函数的定义域的方法与前面所讲到的求定义域解法一样，但应注意真数大于0且不等于1，若遇到底数含有参数，则应对参数进行讨论. 例3. 求下列函数的定义域

x24(1）y （2）ylogax2 2lgx2x3

考点四：与对数函数有关的值域问题

（1） 型如yf(logax)：采用换元法，令tlogax，根据定义域先求tlogax值域,再求

yf(t)的值域。

（2） 型如ylogaf(x):由真数f(x)0求出定义域，再求出yf(x)的值域,再根据a的值确定复合函数的值域. 例4。求下列函数的值域 （1）yloga3x1

1log2x1,x0,1 （2）ylog(aax)

a2考点五：定义域或值域为R的问题

（1） 若yloga(x)的定义域为R,则对任意实数x，恒有(x)0.

特别地,当(x)axbxc(a0)时，要使定义域为R，则必须a0且0 （2） 若yloga(x)的值域为R，则(x)必需取遍0，内所有的数。

特别地，当(x)axbxc(a0)时，要使值域为R，则必须a0且0 例5.已知函数f(x)logamx(m1)x

42221（1） 若定义域是R，求m的取值范围； （2） 若值域是R，求m的取值范围.

第4页 共7页 对数与对数函数

考点六:对数函数的综合问题

例6。已知函数f(x)loga3ax

（1）当x0,2时，函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围.

（2）是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值，如果不存在，请说明理由.

【反思归纳】这是一道探索性问题,注意函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题的处理，一般是先假设存在，再结合已知条件进行转化求解,如推出矛盾，则不存在，反之，存在性成立. 【举一反三】

3。已知f(x)logaax2x(a0且a1)在区间2，4上是增函数，求实数a的取值范围。

第5页 共7页 对数与对数函数



【练习】

x1. 函数f(x)alogax在区间1，2上的最大值与最小值之和为1，最大值与最小值之积为43，则a等于 。 82a,a2. （08年天津卷改编)设a1，若对于任意的xa,2a,都有y满足方程

logaxlogay3，这时a的取值的集合为 。

x83. （08年高考山东卷）已知f(3)4xlog23233,则f(2)f(4)f(8)f(2)的值等

于 。 4. 设a0，a1，函数

f(x)alg(x22x3)有最大值,则不等式loga(x25x7)0的解

集是 。

5. 若log2log3log4log3log4log2log4log2log30，则xyz 。 6. 已知log1a,185，则log35 。（用a,b表示）。

7. 已知等比数列an满足an0,n1,2,,且a5a2n52(n3)，则n1时，log2a1

2nxyzblog2a2log2a2n1 。

8. 已知f(x)log2(xax3a),对于任意x2，当x0时,恒有f(xx)f(x)，则实数a的取值范围为 。 9. 不等式log2(x216)3的解集为 。 x第6页 共7页 对数与对数函数

10. 若f(x)lg(5x4m)的值域为R，则m的取值范围是 。 x511. 设A,B为函数ylog2x的图像上两点，其横坐标分别为a和a4,直线xa2与函数

ylog2x的图像交于点C，与直线AB交于点D.

（1） 求D的坐标 （2）当ABC的面积大于1时，求实数a的取值范围。

第7页 共7页 对数与对数函数