2021-2022学年海南省海口市九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号，填写在下表相应题号的方格内. 1．化简（﹣A．﹣5
）2的结果是（ ）
B．5
C．±5
D．25
2．下列算式中，计算正确的是（ ） A．3．若二次根式A．x≤4
＝﹣3
B．
×
＝15
C．
÷
＝3
D．
+
＝2
在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） B．x＜4
C．x≤﹣4
D．x≥4
4．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0时，原方程变形为（ ） A．（x﹣2）2＝7
B．（x+2）2＝7
C．（x﹣2）2＝4
D．（x+2）2＝1
5．若关于x的方程x2﹣x+k＝0（k为常数）有两个相等的实数根，则k的值为（ ） A．﹣4
B．4
C．﹣
D．
6．用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．若窗框的面积为1.5m2，则窗框AB的长为（ ）
A．1m B．1.5m C．1.6m D．1.8m
7．如图，l1∥l2∥l3，若2AB＝3BC，DF＝6，则DE等于（ ）
A．3 B．3.2 C．3.6 D．4
8．已知：如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点A、B、C都在边长为1的正方形格点上，连接AB、BC，则cos∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．1
，坝高BC＝6m，则坡面
10．一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡度为i＝1：AB的长度（ ）
A．12m B．18m C．6 D．12
11．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，O为矩形ABCD的中心，∠MON＝90°，∠MON绕点O旋转，它的两边分与AB、BC交于E、F．若AB＝4，AD＝6，OE＝y，OF＝x，则y与x的关系是（ ）
A．y＝x B．y＝ C．y＝x D．y＝x
二、填空题（每小题4分，共16分） 13．当x＜1时，
＝ ．
14．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式：x2+bx+c＝ ．
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（﹣1，0），（5，0），E分别是AB、AC的中点，2）E的坐标分别是 ． 点D、点D的坐标为（1，，则点A、
16．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，与BD交于点F，若sin∠ABC＝，则△AFD和△BFE的面积比为 ．
三、解答题（共68分） 17．计算： （1）（2）
×﹣； ；
．
（3）（1﹣2sin60°）2+
18．某商场今年1月份的营业额为1250万元，2月份的营业额比1月份增加20%，4月份
的营业额达到1815万元．求： （1）该商场2月份的营业额；
（2）该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，﹣2）、B（4，﹣1），C（3，﹣3）．
（1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2：1，并写出点B1的对应点B2的坐标；
（3）若△A1B1C1内部任意一点P1的坐标为（a﹣5，b+3），直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．
20．一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字外其他都相同．甲先从袋中随机取出1个小球，记下数字后放回；乙再从袋中随机取出1个小球记下数字．
（1）用画树形图或列表的方法，求取出的两个小球上的数字之和为3的概率； （2）求取出的两个小球的数字之和大于4的概率．
21．如图，九年级数学兴趣小组要测量嵌在某大楼前面的电子屏高度CD．在该大楼正前方的A处测得电子屏CD顶端C的仰角为45°，底端D的仰角为30°．从A处沿水平地面向正前方走18米到达B处，测得顶端C的仰角为68.2°．求电子屏的高度CD．（结果保留整数）
参考数据：sin68.2°≈0.93，
≈1.41，cos68.2°≈0.37，
≈1.73，tan68.2°≈2.50
22．如图1，2，3，将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB1C1D1，连接BD．
（1）探究：
①如图1，当α＝90°时，点C1恰好在DB的延长线上，若AB＝1，求BC的长； ②如图2，连接AC1，过点D1作D1M∥AC1交BD于点M，线段D1M与DM相等吗？请说明理由．
（2）在探究（1）②的条件下，射线DB分别交AD1、AC1于点P、N（如图3）． 求证：①MN＝AN；②MN2＝PN•DN．
参
一、选择题（每小题3分，共36分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号，填写在下表相应题号的方格内. 1．化简（﹣A．﹣5
）2的结果是（ ）
B．5
C．±5
D．25
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 解：（﹣故选：B．
2．下列算式中，计算正确的是（ ） A．
＝﹣3
B．
×
＝15
C．
÷
＝3
D．
+
＝2
）2＝5．
【分析】根据二次根式的性质进行化简判断A，根据二次根式乘除法运算法则判断B和C，根据二次根式加法运算法则判断D． 解：A、原式＝3，故此选项不符合题意； B、原式＝C、原式＝D、
与
＝
，故此选项不符合题意；
＝3，故此选项符合题意；
不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
故选：C． 3．若二次根式A．x≤4 【分析】根据解：由题意得： 8﹣2x≥0， ∴x≤4， 故选：A．
4．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0时，原方程变形为（ ） A．（x﹣2）2＝7
B．（x+2）2＝7
C．（x﹣2）2＝4
D．（x+2）2＝1
在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） B．x＜4
（a≥0）进行计算即可．
C．x≤﹣4
D．x≥4
【分析】方程常数项移到右边，两边加上4配方得到结果即可．
解：方程x2﹣4x﹣3＝0， 移项得：x2﹣4x＝3，
配方得：x2﹣4x+4＝7，即（x﹣2）2＝7， 故选：A．
5．若关于x的方程x2﹣x+k＝0（k为常数）有两个相等的实数根，则k的值为（ ） A．﹣4
B．4
C．﹣
D．
【分析】方程x2﹣x+k＝0有两相等根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于k的等式，求出k的值．
解：∵方程有两相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4k＝0， 解得：k＝， 故选：D．
6．用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．若窗框的面积为1.5m2，则窗框AB的长为（ ）
A．1m B．1.5m C．1.6m D．1.8m
m，根据窗框的面积为1.5m2，
【分析】设窗框AB的长为xm，则AB的邻边长为
即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出窗框AB的长． 解：设窗框AB的长为xm，则AB的邻边长为依题意得：x•
＝1.5，
m，
整理得：4x2﹣12x+9＝0， 解得：x1＝x2＝1.5． 故选：B．
7．如图，l1∥l2∥l3，若2AB＝3BC，DF＝6，则DE等于（ ）
A．3 B．3.2 C．3.6 D．4
【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可． 解：∵l1∥l2∥l3，2AB＝3BC， ∴∴
＝
＝，
＝，
∵DF＝6， ∴DE＝
＝3.6，
故选：C．
8．已知：如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】在△ADE和△ACB中，由∠AED＝∠B，可得出△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质，得
＝
＝
，从而可选出答案．
解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴
＝
＝
．
故选：C．
9．如图，点A、B、C都在边长为1的正方形格点上，连接AB、BC，则cos∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】要求cos∠ABC的值，想到构造直角三角形，所以连接AC，证明△ABC是直角三角形即可解答． 解：连接AC，
由题意得： AB2＝32+12＝10， AC2＝12+32＝10， BC2＝22+42＝20， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， ∴cos∠ABC＝故选：B．
10．一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡度为i＝1：AB的长度（ ）
，坝高BC＝6m，则坡面
，
A．12m B．18m C．6 D．12
【分析】根据迎水坡AB的坡度为i＝1：得到AB的长度，本题得以解决． 解：∵迎水坡AB的坡度为i＝1：∴即
，
＝
，坝高BC＝6m，可以求得AC的长度，从而
，坝高BC＝6m，
解得AC＝6∴AB＝故选：A．
m，
11．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理求出△ABP∽△PCD，再根据相似三角形对应边的比等于相似比解答．
解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠APB＝∠PAC+∠C，∠PDC＝∠PAC+∠APD， ∵∠APD＝60°，
∴∠APB＝∠PAC+60°，∠PDC＝∠PAC+60°， ∴∠APB＝∠PDC， 又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABP∽△PCD， ∴
＝
，即＝
，
∴CD＝． 故选：B．
12．如图，O为矩形ABCD的中心，∠MON＝90°，∠MON绕点O旋转，它的两边分与AB、BC交于E、F．若AB＝4，AD＝6，OE＝y，OF＝x，则y与x的关系是（ ）
A．y＝x B．y＝ C．y＝x D．y＝x
【分析】如图，过点O作OT⊥AB于点T，OR⊥BC于点R．证明△OTE∽△ORF，推出＝
，可得结论．
解：如图，过点O作OT⊥AB于点T，OR⊥BC于点R．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，AB＝CD＝4， ∵∠OTB＝∠A＝90°，∠ORB＝∠C＝90°， ∴OT∥AD，OR∥CD， ∵OB＝OD，
∴BT＝AT，BR＝CR，
∴OT＝AD＝3，OR＝CD＝2，
∵∠OTB＝∠TBR＝∠ORB＝90°， ∴∠TOR＝90°，
∵∠MON＝∠TOR＝90°， ∴∠EOT＝∠FOR， ∵∠OTE＝∠ORF＝90°， ∴△OTE∽△ORF， ∴
＝
，
∴＝， ∴y＝x． 故选：D．
二、填空题（每小题4分，共16分） 13．当x＜1时，
＝ 1﹣x ．
【分析】利用二次根式的性质化简求出即可． 解：∵x＜1， ∴
＝1﹣x．
故答案为：1﹣x．
14．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式：x2+bx+c＝ （x﹣2）（x+3） ．
【分析】本题考查了对一元二次方程的解和分解因式的关系的理解和运用，当x1、x2是 方程x2+ax+b＝0的两个根，则x2+ax+b分解因式为（x﹣x1）（x﹣x2），代入求出即可．解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3， ∴x2+bx+c＝（x﹣2）（x+3）， 故答案为：（x﹣2）（x+3）．
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（﹣1，0），（5，0），E分别是AB、AC的中点，2）E的坐标分别是 （3，点D、点D的坐标为（1，，则点A、4）、（4，2） ．
【分析】由点B、C的坐标求得线段BC＝6；然后根据三角形中位线定理推知DE∥BC，且DE＝BC，易得点E的坐标；最后利用直线AB与直线AC交点的求法得到点A的坐标．
解：∵点B、C的坐标分别是（﹣1，0），（5，0）， ∴BC＝6．
∵点D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC，且DE＝BC＝3． 又∵点D的坐标为（1，2）， ∴点E的坐标为（4，2）．
设直线AB表达式为：y＝kx+b（k≠0）， 把点B、D的坐标分别代入，得解得
．
．
故直线AB的表达式为y＝x+1． 同理，直线AC的表达为：y＝﹣2x+10． 所以解得
．
．
故A（3，4）．
故答案是：（3，4）、（4，2）．
16．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，与BD交于点F，若sin∠ABC＝，则△AFD和△BFE的面积比为
．
【分析】由题意，sin∠ABC＝角形的性质求解即可． 解：∵AE⊥BC于E， ∴∠AEB＝90°， ∵sin∠ABC＝
＝，
＝，假设AE＝4k，AB＝5k，则BE＝3k，利用相似三
∴可以假设AE＝4k，AB＝5k，则BE＝3k， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC＝AB＝5k，AD∥BC， ∵AD∥BE， ∴△ADF∽△EBF， ∴
＝（
）2＝（）2＝
，
故答案为：．
三、解答题（共68分） 17．计算： （1）（2）
×﹣； ；
．
（3）（1﹣2sin60°）2+
【分析】（1）利用二次根式乘法运算法则进行计算； （2）化简二次根式，然后先进行分母有理化计算，再算加减；
（3）代入特殊角三角函数值，然后先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的． 解：（1）原式＝
＝＝
；
﹣﹣﹣
；
）2+
（2）原式＝＝＝＝2﹣＝2﹣
（3）原式＝（1﹣2×＝（1﹣＝1﹣2＝4﹣
）2++3+．
18．某商场今年1月份的营业额为1250万元，2月份的营业额比1月份增加20%，4月份的营业额达到1815万元．求： （1）该商场2月份的营业额；
（2）该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率．
【分析】（1）利用该商场2月份的营业额＝该商场1月份的营业额×（1+20%），即可求出该商场2月份的营业额；
（2）设该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率为x，利用该商场4月份的营业额＝该商场2月份的营业额×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 解：（1）1250×（1+20%） ＝1250×1.2 ＝1500（万元）．
答：该商场2月份的营业额为1500万元．
（2）设该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率为x， 依题意得：1500（1+x）2＝1815，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率为10%．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，﹣2）、B（4，﹣1），C（3，﹣3）．
（1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2：1，并写出点B1的对应点B2的坐标；
（3）若△A1B1C1内部任意一点P1的坐标为（a﹣5，b+3），直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．
【分析】（1）利用平移的性质得出对应点坐标位置进而得出答案；
（2）画出一个以点O为位似中心的△A2B2C2，使得△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2即可；
（3）根据相似比即可求得．
解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求三角形．B1（﹣1，2）； （2）如图所示，△A2B2C2为所求三角形．B2（﹣2，4）； （3）P2（2a﹣10，2b+6）．
20．一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字外其他都相同．甲先从袋中随机取出1个小球，记下数字后放回；乙再从袋中随机取出1个小球记下数字．
（1）用画树形图或列表的方法，求取出的两个小球上的数字之和为3的概率； （2）求取出的两个小球的数字之和大于4的概率．
【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可． 解：（1）
或
甲 和 乙 1 2 3
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5 6
∴P（和为3）＝；
（2）因为共有9种等可能的情况，和大于4的有3种， 所以P（和大于4）＝．
21．如图，九年级数学兴趣小组要测量嵌在某大楼前面的电子屏高度CD．在该大楼正前方的A处测得电子屏CD顶端C的仰角为45°，底端D的仰角为30°．从A处沿水平地面向正前方走18米到达B处，测得顶端C的仰角为68.2°．求电子屏的高度CD．（结果保留整数）
参考数据：sin68.2°≈0.93，
≈1.41，cos68.2°≈0.37，
≈1.73，tan68.2°≈2.50
【分析】设楼高CE为x米，得到BE＝（x﹣18）米，然后解直角三角形求出x≈30，即可解决问题．
解：设楼高CE为x米， 在Rt△AEC中，∠CAE＝45°， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴AE＝CE＝x米，
∴BE＝AE﹣AB＝（x﹣18）米，
在Rt△CEB中，CE＝BE•tan68.2°≈2.50（x﹣18）（米）， ∴2.50（x﹣18）≈x， 解得：x≈30， ∴AE＝CE≈30米，
在Rt△DAE中，DE＝AEtan30°≈30×∴CD＝CE﹣DE≈30﹣17.3≈13（米）， 答：电子屏的高度CD约为13米．
22．如图1，2，3，将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB1C1D1，连接BD．
＝10
≈17.3（米），
（1）探究：
①如图1，当α＝90°时，点C1恰好在DB的延长线上，若AB＝1，求BC的长； ②如图2，连接AC1，过点D1作D1M∥AC1交BD于点M，线段D1M与DM相等吗？请
说明理由．
（2）在探究（1）②的条件下，射线DB分别交AD1、AC1于点P、N（如图3）． 求证：①MN＝AN；②MN2＝PN•DN．
【分析】（1）①先根据矩形的性质和旋转的性质证明点A、B、D1在同一条直线上，再证明△D1BC1∽△∠ABD，设BC＝DA＝D1A＝x，则D1B＝x﹣1，由相似三角形的对应边成比例列方程求出x的值即可；
②连结DD1，由AD1＝AD得∠AD1D＝∠ADD1，由D1M∥AC1得∠AD1M＝∠D1AC1，再证明∠AD1M＝∠ADB，则∠AD1D﹣∠AD1M＝∠ADD1﹣∠ADB，得∠MD1D＝∠MDD1，即可得到D1M＝DM；
（2）①先证明△AD1M≌△ADM，得∠MAD1＝∠MAD，再证明∠NAD1＝∠ADM，则∠NAD1+∠MAD1＝∠ADM+∠MAD，由此可证得∠NAM＝∠NMA，则MN＝AN； ②由∠NAP＝∠NDA，∠ANP＝∠DNA，证明△ANP∽△DNA，则•DN，则MN2＝PN•DN．
【解答】（1）解：①如图1，∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB，BC＝DA，∠BAD＝90°，
∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB1C1D1， ∴∠D1AD＝∠BAD＝90°，C1D1＝CD＝AB＝1， ∴AB与AD1重合，即点A、B、D1在同一条直线上， 设BC＝DA＝D1A＝x，则D1B＝x﹣1， ∵∠D1＝∠BAD＝90°，∠D1BC1＝∠ABD， ∴△D1BC1∽△∠ABD， ∴∴
＝＝，
，x2＝．
（不符合题意，舍去），
，
＝
，得AN2＝PN
解得x1＝∴BC＝
②D1M＝DM，理由如下： 如图2，连结DD1， ∵AD1＝AD，
∴∠AD1D＝∠ADD1，
∵D1C1＝AB，∠C1D1A＝∠BAD＝90°，AD1＝DA， ∴△C1D1A≌△BAD（SAS）， ∴∠D1AC1＝∠ADB， ∵D1M∥AC1， ∴∠AD1M＝∠D1AC1， ∴∠AD1M＝∠ADB，
∴∠AD1D﹣∠AD1M＝∠ADD1﹣∠ADB， ∴∠MD1D＝∠MDD1， ∴D1M＝DM．
（2）证明：如图3，连结AM， ①∵AD1＝AD，D1M＝DM，AM＝AM， ∴△AD1M≌△ADM（SSS），
∴∠AD1M＝∠ADM，∠MAD1＝∠MAD， ∵∠AD1M＝∠NAD1， ∴∠NAD1＝∠ADM，
∴∠NAD1+∠MAD1＝∠ADM+∠MAD，
∵∠NAM＝∠NAD1+∠MAD1，∠NMA＝∠ADM+∠MAD， ∴∠NAM＝∠NMA， ∴MN＝AN．
②∵∠NAD1＝∠ADM， ∴∠NAP＝∠NDA， ∵∠ANP＝∠DNA， ∴△ANP∽△DNA， ∴
＝
，
∴AN2＝PN•DN， ∴MN2＝PN•DN．
