将军饮马模型
一、背景知识： 【传说】
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，
名叫海伦 ．一天，一
位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营 A 出发，先到河边饮马， 然后再去河岸同侧的军营
才能使路程最短？这个问题的答案并不难，
B 开会，应该怎样走
从此以后， 这个
据说海伦略加思索就解决了它．
被称为“ 将军饮马 ”的问题便流传至今．
【问题原型】将军饮马 造桥选址 费马点
【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；
三角形两边三边关系；
【解题思路】找对称点，实现折转直
轴对称 ；平移；
二、将军饮马问题常见模型
1. 两定一动型： 两定点到一动点的距离和最小
例 1：在定直线
最小 .
l 上找一个动点 P，使动点 P 到两个定点
A 与 B 的距离之和最小，即 PA+PB
作法 ：连接 AB，与直线 l 的交点 Q， Q即为所要寻找的点，即当动点
P 跑到了点 Q处， PA+PB最小，且最小值等于 AB. 原理： 两点之间线段最短。
证明：连接 AB，与直线 l 的交点 Q，P 为 直线 l 上任意一点， 在⊿ PAB 中，由三角形三边关系可知：
AP+PB≧AB(当且仅当 PQ重合时取﹦ )
例 2：在定直线 l 上找一个动点 P，使动点 P 到两个定点 A 与 B 的距离之和最小，
即 PA+PB的和最小 .
关键：找对称点
作法： 作定点 B 关于定直线
l 的对称点 C，连接 AC，与直线 l 的交点 Q即为所要寻找的点， 即当动点 P 跑到了点 Q处， PA+PB和最小，且最小值等于 AC.
原理： 两点之间，线段最短
证明：连接 AC，与直线 l 的交点 Q，P 为 直线 l 上任意一点，
在⊿ PAC 中，由三角形三边关系可知：
AP+PC≧ AC(当且仅当 PQ重合时取﹦ )
2. 两动一定型
例 3：在∠ MON的内部有一点 A，在 OM上找一点 B，在 ON上找一点 C，使得△ BAC周长最短．
作法： 作点 A 关于 OM的对称点 A’，作点 A 关于 ON的对称点 A’’ ?，连接 A’ A’’，与OM交于点 B，与 ON交于点 C，连接 AB，AC，△ ABC即为所求．
原理： 两点之间，线段最短
例 4：在∠ MON的内部有点 A 和点 B，在 OM上找一点 C，在 ON上找一点 D，使得四边形 ABCD 周长最短．
作法： 作点 A 关于 OM的对称点A’，作点 B 关于 ON的对称点 B’ ?，连接 A’ B ’，与 OM 交于点 C，与 ON交于点 D，连接原理： 两点之间，线段最短
AC， BD， AB，四边形 ABCD即为所求．
3. 两定两动型最值
例 5：已知 A、 B 是两个定点，在定直线 l 上找两个动点 M与 N，且 MN长度等于定长 d（动点 M
位于动点 N左侧），使 AM+MN+NB的值最小 .
提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移
作法一：将点 A向右平移长度
d 得到点 A’， 作 A’关于直线 l 的对称点 A’’，连接 A’’ B，
d，得到点 M。
交直线 l 于点 N，将点 N向左平移长度
作法二 ：作点 A 关于直线
l 的对称点 A1，将点 A1 向右平移长度 d 得到点 A2，连接 A2 B ，
d，得到点 Q。
交直线 l 于点 Q，将点 Q向左平移长度
原理： 两点之间，线段最短，最小值为
A’’ B+MN
例 6： （ 造桥选址 ）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的了望台观察敌情，已知
河流的宽度为 30 米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？
例 6：直线 l 1∥ l 2，在直线 l 1 上找一个点 C，直线 l 2 上找一个点 D，使得 CD⊥ l 2, 且AC＋
BD＋ CD最短．
作法： 将点 A 沿 CD方向向下平移 CD长度 d 至点 A’，连接 A’B，交 l 2 于点 D，过点 D 作
DC⊥ l 2 于点 C，连接 AC．则桥 CD即为所求．此时最小值为 A’B+CD
原理： 两点之间，线段最短，
4. 垂线段最短型
例 7：在∠ MON的内部有一点 A，在 OM上找一点 B，在 ON上找一点 C，使得 AB＋ BC最短．
原理： 垂线段最短
点 A 是定点， OM， ON是定线，
点 B、点 C是 OM、 ON上要找的点，是动点．
作法： 作点 A 关于 OM的对称点 A’，过点 A’作 A’C⊥ON，
交 OM于点 B， B、 C 即为所求。
例 8：在定直线 l 上找一个动点 P，使动点 P 到两个定点 A 与 B 的距离之差最小，即 PA-PB 最小 .
作法： 连接 AB，作 AB的中垂线与
l 的交点，即为所求点
P
此时 | PA-PB |=0
原理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
例 9：在定直线 l 上找一个动点 C，使动点 C 到两个定点 A 与 B 的距离之差最大，即
| PA-PB
| 最大
作法 ：延长 BA交 l 于点 C，点 C 即为所求，
即点 B、 A、C 三点共线时，最大值为
AB的长度。 原理： 三角形任意两边之差小于第三边
例 10：在定直线
l 上找一个动点 C，使动点 C 到两个定点 A与 B 的距离之差最大， 即| PA-PB|
最大
作法 ：作点 B 关于 l 的对称点
B，连接 AB，
交交 l 于点 P 即为所求，最大值为
AB的长度。
原理： 三角形任意两边之差小于第三边
典型例题
三角形
1． 如图，在等边△ ABC 中， AB = 6，AD⊥BC， E 是 AC上的一点， M是 AD上的一点，且 AE =
2，求 EM+EC的最小值
A
A
E M
M
E H
B
D
C
B
D
C
解：点 C 关于直线 AD的对称点是
点
过点 B 作 BH⊥AC 于点 H，
B，连接 BE，交 AD于点 M，则 ME+MD最小，
2
2
2
2
则 EH = AH – AE = 3 在直角△ BHE 中， BE =
– 2 = 1 ， BH = BC - CH
2
2
2
= 6 - 3
= 3 3
2
BH + HE =(3 3) + 1 = 2 7
