2017年高数专升本真题及其参.doc

2012年河南省普通高等学校

选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试

题号 分值

一 60 二 20 三 50 高等数学

四 五 12 8 总分 150 注意事项：

答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效. 一、选择题 （每小题2 分，共60 分）

在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

11．函数 y4xarctan的定义域是 （ ）

xA．[4,+） B．(4,+) C．[4, 0）(0,+) D．（4, 0）(0,+) 【答案】C.

1【解析】 4x要求4x0，即x4；arctan要求x0.

x取二者之交集，得x [4, 0）(0,+) 应选C.

2．下列函数为偶函数的是（ ）

A．yx2log31x B．yxsinx C． ln1xx D. yex

【答案】B.

【解析】 显然A，D中的函数都是非奇非偶，应被排除；至于C， 记 fxlnx21x

则 fxlnx21xlnx21x

 ln1x1x2lnx21xfx.

所以fx为奇函数，C也被排除.应选B.

3．当x0时，下列无穷小量中与ln(12x)等价的是（ ）

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A． x B．【答案】D.

1x C．x2 D．2x 2ln(12x)1，所以应选D.

x02x14．设函数fxsin2， 则x0是fx的（ ）

xA．连续点 B．可去间断点 C．跳跃间断点 D．第二类间断点 【答案】D．

【解析】因为lim【解析】 因为fx在x0处无定义，且无左、右极限，故x0是fx的第二类间断点.选D． 5．函数y3x在x0处

A．极限不存在 B．间断 C．连续但不可导 D．连续且可导 【答案】C.

【解析】因为y3x是初等函数，且在x0处有定义，故fx在x0处连续；

11又y.，故fx在x0处不可导.综上，应选 C.

233x 6．设函数fxxx ，其中x在x0处连续且的00，则f0（ ） A．不存在 B．等于0 C．存在且等于0 D．存在且等于0 【答案】A.

【解析】

fxf0xx0limx0； f0limlimx0x0x0x0xfxf0xx0limx0； f0limlimx0x0x0x0x因为f0f0，所以f0不存在，选A. 7．若函数yfu可导，uex，则dy（ ）

A．fexdx B．fexdex

C．fx.exdx D．fexdex

精品资料，欢迎下载

【答案】D B.

【解析】根据一阶微分形式的不变性知 dyfudufexdex，故选B. 8．过曲线y1有水平渐进线的充分条件是（ ） fxxA．limfx0 B．limfx

xC．limfx0 D．limfx

x0x0【答案】B.

【解析】根据水平渐进线的定义： 如果limfxC存在，则称yC为曲线

xyfx的一条水平渐进线，易判断出应选B.

1dx9．设函数yxsinx，则（ ）

2dy11A． 1cosy B．1cosx

22C．

22 D．

2cosx2cosy【答案】D.

dy11xsinx1cosx，所以， 【解析】因为

dx22

dx112，选D. dy1dyx1cosx2cosdx2x1,x0,10．曲线fx在点0,1处的切线斜率是（ ）

1sinx,x0,A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B.

1sinx1limsinx1fxf0lim【解析】 因为f0lim； x0x0x0x0xxx111fxf0lim f0lim，故f01存在.

x0x0x0xx1,x0,所以，曲线fx在点0,1处的切线斜率是f01，选B.

1sinx,x0,精品资料，欢迎下载

11． 方程x33xc0（其中c为任意实数）在区间0,1内实根最多有（ ） A．4个 B．3 个 C．2个 D．1个 【答案】D．

【解析】 令yx33xc.则y3x230，因此曲线yx33xc在0,1内是上升的，它至多与x轴有一个交点，即方程x33xc0在区间0,1内至多有一个实根.选D．

12．若fx连续，则下列等式正确的是（ ）

fxdxfx B．fxdxfx C．dfxfx D．dfxdxfx

A．

【答案】A．

13．如果fx的一个原函数为xarcsinx，则fxdx 在（ ） A．1111C C B．221x1x11x2C．xarcsinxC D．1C

【答案】C.

【解析】根据原函数及不定积分的定义，立知fxdxxarcsinxC，选C. 14．设fx1，且f01，则fxdx（ ）

1A．xC B．x2xC

21C．x2xC D．x2C

2【答案】B.

【解析】因为fx1，故 fx1dxxC .又f01，故C1. 即 fxx1.所以，fxdxd2012(cost2)dt（ ） 15． dxsinx12x1dxxxC.选B. 2A．cosx2 B．cossinx.cosx

2精品资料，欢迎下载

C． xcoxs2 D． cosinx2

【答案】B.

d20122【解析】 (cost2)dtcossinx.sinxcossinx2.cosx，选B.

dxsinx16．

102x3exdx（ ）

2A．1 B．0 C．12e1 D．e11 【答案】C. 【解析】

102x3exdxx2d(ex)（分部）

02212 x2ex11x2e |00dx21 eex21|012e1.选 C.

17．下列广义积分收敛的是（ ）

1011A． lnxdx B.dx 30x0xx11lnxdx D．e5xdx C．13x【答案】D. 【解析】

111lnxdxlimlnxdlnx 因为 lim00x0 lim010101211lnx|，所以，dx发散； 302xx因为 lim01xx30xdx dxlim01043 3lim301|x10，所以，1lnxdx发散； 0x1111lnxdxlnxdlnxln2x|，所以，lnxdx发散；

1111x2x15x15x11155x15ed5xe0ee收敛。 edx|3335555综上分析，应选 D.

因为d2ydy1是（ ） 18．微分方程2ydxdxA． 二阶非线性微分方程 B. 二阶线性微分方程

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C．一阶非线性微分方程 D．一阶线性微分方程 【答案】A. 19.微分方程

dysinxcosx的通解为（ ） dxy A． y2co2sxC B. y2sin2xC C．ysin2xC D．ycos2xC 【答案】B.

【解析】原方程可化为 ydy sinx.coxsdx两边积分得 即

121C2ysinx 222化简得通解为

s) ydysinx.cosxdxsinxd(cox

2 y2sinxC

所以，选B.

20.在空间直角坐标系中，若向量a与ox轴和oz轴正向的夹角分别为450和600，则a与oy轴正向的夹角为（ ）

A． 300 B. 600 C．450 D．600或1200 【答案】D.

【解析】设a与oy轴正向的夹角为，则由于 cos2cos2450cos26001 得 cos21cos2450cos26001 41，所以600或1200，选D. 故 cos2xy1z221.直线L:与平面:2xy0的位置关系是（ ） 123A．直线L在平面内 B．平行

C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】B.

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【解析】直线L:xy1z2的方向s1,2,3；平面:2xy0的法向123量n2,1,0.因为s.n0，所以直线与平面平行. 选B．

22．下列方程在空间直角坐标系中表示的图形为旋转曲面的是（ ）

x2z2A．1 B．zx2y2

32C．y2xz2 D．z2x22y2 【答案】C.

【解析】 由C：y2xz2，得 xy2z2，所以选 C. 23．limx,y1,1xy1（ ） xy111 C． D．2 23A． 0 B. 【答案】B. 【解析】

x,y1,1limxy1 xy1x,y1,1limxy1xy1xy1

lim1xy1x,y1,11.选B . 2zz和存xy24．函数zfx,y在点x0,y0处可微是fx,y在该点处两个偏导数

在的（ ）

A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A.

2z25．已知zxysinxy，则（ ）

xyA. sinxy B. sinxy1xy C. cosxyxysinxy D. xycosxy 【答案】C.

z2z1ycosxy，cosxyxysinxy， 所以选C. 【解析】xxy精品资料，欢迎下载

2nxn26．幂级数(1)的和函数sx为（ ）

n!n1n A．ex B．e2x C．ex D．2e2x 【答案】B．

2nxn2xe2x，所以选B.

【解析】(1)n!n!n1n1n2n27．下列级数发散的是（ ）

34n21A．(1) B．(1)n

n1(n1)(n2)n1n1nC．(1)n1n111 D． 3n3n12n12【答案】A.

34n234n2n【解析】因为lim40，从而lim10，因此

n(n1)(n2)n(n1)(n2)34n2发散，故选A. (1)(n1)(n2)n1n28．若级数an(x2)n在点x0处条件收敛，则在x1，x2，x3，x4，

n0x5中使该级数收敛的点有（ ）

A．0个 B．1 个 C．2个 D．3个 【答案】C．

【解析】令tx2，则原级数化为标准幂级数ant。因为原级数an(x2)nnn0n0在点x0处条件收敛，故antn在t2处条件收敛。由Abel收敛定理，一方

n0面，由于级数ant在t2处收敛，所以antn在t22的点t处均绝对

nn0n0收敛，即当0x4时，原级数an(x2)n绝对收敛，因此x2，x3是原

n0级数an(x2)的收敛点；另一方面，由于antn在t2处仅是条件收敛，

nn0n0精品资料，欢迎下载

因此，ant在t2的点t处必定发散，否则antn在点t2处应该是绝对

nn0n0收敛的，即当x4或x0时，原级数an(x2)n发散，所以x1，x5是

n0原级数an(x2)n的发散点.

n029.若L是曲线yx3上从点A1,1到点B1,1的一条连续曲线段，则曲线积分

eLyy2dxxeyx3ydy的值为（ ）

A．e1e4 B．e1e4 C．e1e4 D．0 【答案】C．

xeyx3yeyy2ey1，所以积分与路径无关. 【解析】因为

xy故改沿连接A,B两点的直线段积之.由格林公式得

eLyy2dxxeyx3ydy

3111其中

1ex2xex3x.3xdx（利用奇、偶性）

e13x2dxedx3exdx4 ①

x3x332x331x31x3311 3exx3dxxdex（分部）

111313 xex3|1|1exdx e1eexdx ②

111313

将②代入①得

eLyy2dxxeyx3ydy

 e1e4.选C． 30.设Idxfx,ydydx0011x222x20fx,ydy，则交换积分次序后，I可化为

20A．dy012yyfx,ydx B．dy2fx,ydx

x2x精品资料，欢迎下载

C．dyfx,ydx D．dy2fx,ydx

000x1212x【答案】A．

二、填空题 （每小题 2分，共 20分） 31．已知 fx1x2x ①，则f【答案】填xx.

【解析】由①，得 fx1x12x1，故fxx2x.

所以fx________．

xxt2xxx.

2x32．设fxlim1x0①，则fln2________．

tt【答案】填4.

【解析】由①，得

t2xlim12x2xfxlim1ttttt2xe2x，

所以，fln2e2ln2eln22224.

33．如果函数fx在点a处可导，且fa为fx的极大值，则fa________． 【答案】填0.

【解析】这是极值的必要条件. 34.曲线yxex的拐点是_______．

2【答案】填2,2.

e【解析】yex1x，yexx2.令y0，解得x2.因当x,2时，

2y0，而当x2,时，y0，故yxex 的的拐点是2,2.

e35．不定积分xx211dx_______．

1【答案】填lnx21lnxC.

2【解析】

x11xdxdx dxdx2xx212xx1x1x1精品资料，欢迎下载

11dx21lnx 22x11 lnx21lnxC.

22dy36．微分方程 2xyex①满足y00的特解为________．

dx 【答案】填yxex.

2

【解析】①为一阶线性非齐次微分方程，由公式其通解为

222xdx2xdx yeexedxCex(xC)②

将y00代入②式，可得 C0. 所以，特解为yxex.

37．向量a1,1,2在b0,3,4上的投影为________． 【答案】填1.

【解析】aba.cosa,b2a.bb51. 5z x0________．|xy138.设方程xyxzyz0 ①所确定的隐函数是zzx,y，则【答案】填1.

【解析】 当x0,y1时，由①式可求得 z0. 令Fx,y,zxyxzyz，则

Fz10zyz1. x.所以，|x0y1x01xFzxy39．设积分区域D为x2y24y，则dxdy________．

D【答案】填4.

【解析】dxdyD之面积= 4.

D40． 若limnunk(k0)①，则正项级数un的敛、散性为________．

nn1【答案】填发散.

【解析】 由①式得

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limunlimnunk nn1n11故由比较判别法的极限形式知，un与同敛、散，又已知调和级数是

n1n1nn1n发散的，所以un也发散.

n1三. 计算题（每小题5分，共50分）

tanxsinx41. lim

x3x0e1sinx.1cosxtanxsinxlim解： lim （等价替换） x3x3x0x0cosx.e1e1x2x.111. lim23limx0cos2x0cosx2x.xxa1sint,d2y42.已知参数方程（t为参数），求2.

dxya1cost,解：

dxdyacost；asint，故 dtdtdydydxtant；所以 dxdtdtd2yddydddt . tant(tant).2dxdxdxdtdxdx d111(tant).sec2t.sec3t.

dxdtacostadt43.求不定积分ex1dx

解：令tx1，即xt21，dx2tdt，则

ex1dx2tetdt2tdet（分部积分）

2tetetdt2tet2etC 2ex1x11C.

精品资料，欢迎下载

44.求limx0x1exx2x0etdt

x2解：limx01ex2x（等价替换）limedt0x0x2xt2x20edt

t2 limx00etdtx2ex（洛必达法则）lim1.

x01d2ydy45.求微分方程2243y0的通解.

dxdx解：特征方程为 2r24r30，解之得特征根为 r122所以通解为 yexCcosxCsin1222x. 2i， 246.求函数zx,yy3x26x12y10的极值. 解：（一）解方程组

xx,y2x60,z 2yx,y3y120.zx3,x3,或 y2,y2. 故函数有两个驻点：P. 13,2及P23,2（二）

Azxxx,y2,Bzxyx,y0，Czyyx,y6y..

2ACB240， （1）因为在点P处，，3,2A20,B0,C121故z3,235为极大值.

（2） 因为在点P23,2处，A20,B0,C12，ACB2240 故z3,23为极小值.

2x3yz5,47.求过点A2,3,1且与直线L:平行的直线方程.

x2z1,解：直线L的方向向量为

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ijks2316,5,3，所以，所求直线的方程为

102

x2y3z1. 653x48.求函数zarctanlnx2y2的全微分.

yx1解：zarctanlnx2y2.

y2zx122arctanlnxyxx xy21x1122 ..xyxx 2222xyxy1yy2 2xy2 111.y2x2y2.2x xy；

x2y2zx122arctanlnxy yy yy2x1122 ..xyyy 2222xyxy1y1y2 2xy2 x11.y22x2y2.2y yx.

x2y2xyyxzzdxdy. dxdy2222xyxyxy所以 dz精品资料，欢迎下载

49.计算sinx2y2dxdy，其中D为圆环：2x2y242.

D解：在极坐标下计算之.

sinDx2y2dxdy4sinx2y2dxdy

D1042dsinr.rdr4222rsinrdr

22rdcosr（分部积分）

222rcosr|cosrdr

223sinr|62. 50.求幂级数n0x2nn1的收敛域.

解：令tx2.则原级数变为：n0tnn1

因为lim|nan11n1|lim1，所以，R1. nann2又当t1时，级数变为：n11n1，发散；而当t1时，级数变为：

1n1n1n1，收敛，因此，级数n0tnn1的收敛区间为1t1,即

1x211x3.所以原级数的收敛区间为：1,3.

四.应用题（每小题6分，共12分）

51.求函数fxx在x0时的最大值，并从数列1，2，33，，

n1xn中选出最大的一项.

1xlnxx解：fxxefxelnxx.则

xlnxxelnxx1lnx1lnxxx.. .22xx1令fx0，得唯一驻点xe.

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因为当0xe时，fx0，从而fxx在0,e内单调增加； 而当xe时，fx0，从而fxx在e,内单调减少.

又f22f333，所以，数列1，2，，，nn中最大的一项就是其第三项33.

52.求过点M3,0作曲线yln(x3)的切线，该切线与此曲线及x轴围成一平面图形D.试求平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积. 解：

（一）设切点为M0(x0,lnx03)，则切线斜率为

 Klnx(3)xx01 x031x1x因此曲线yln(x3)在点M0处的切线方程为 ylnx031xx0 ① x03将点M3,0的坐标代入①式，得 0lnx0313x0 x03 解得 x0e3.因此切点M0(e3,1). 曲线yln(x3)在点M0处的切线方程为 y1化简得 y1xe3 e1x3. e（二） D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积为

V其中

e33e31e2x3lnx3dx21. e432e3311x3ee22113x3dx3.x3|33e23e32e3

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e； 32e34e34lnx3dx（分部）x.ln(x3)|2e342e34xd(ln2(x3))

e32x.ln(x3)dx x3 e32e3431.ln(x3)dx

x3 e32e34ln(x3)dx6e341.ln(x3)dx x3e3e3e3 e32x.ln(x3)|xd(ln(x3))6ln(x3)d(ln(x3))

444e3e3x12 e32e3dx6lnx3|

44x32 e32e34313

x3e34 e62x3ln(x3)|e2.

五、证明题（8分）

mnmmnln53.证明不等式：，其中nm为正整数. mnn1证明：令fxlnxx0，则fx.

xfx在n,m上连续，在n,m内可导.在n,m上应用拉格朗日中值定理知，存在n,m，使得

fmfnf.(mn) 即

lnmlnn因为nm，故

1mn1.(mn)1.mn ② mnm.所以 n1.(mn) ①

又注意到 lnmlnnln精品资料，欢迎下载

mnmmn. lnmnn我的大学爱情观

目录：

一、大学概念 二、分析爱情健康观 三、爱情观要三思

四、大学需要对爱情要认识和理解 五、总结

1、什么是大学爱情：

大学是一个相对宽松，时间自由，自己支配的环境，也正因为这样，培植爱情之花最肥沃的土地。大学生恋爱一直是大学校园的热门话题，恋爱和学业也就自然成为了大学生在校期间面对的两个主要问题。

恋爱关系处理得好、正确，健康，可以成为学习和事业的催化剂，使人学习努力、成绩上升；恋爱关系处理的不当，不健康，可能分散精力、浪费时间、情绪波动、成绩下降。因此，大学生的恋爱观必须树立在健康之上，并且树立正确的恋爱观是十分有必要的。因此我从下面几方面谈谈自己的对大学爱情观。

2、什么是健康的爱情：

1) 尊重对方，不显示对爱情的占有欲，不把爱情放第一位，不痴情过分； 2) 理解对方，互相关心，互相支持，互相鼓励，并以对方的幸福为自己的满足; 3) 是彼此的前提下结合；

3、什么是不健康的爱情：

1)盲目的约会，忽视了学业;

2)过于痴情，一味地要求对方表露爱的情怀，这种爱情常有病态的夸张; 3)缺乏体贴怜爱之心，只表现自己强烈的占有欲; 4)偏重于外表的追求;

4、大学生处理两人的在爱情观需要三思：

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1. 不影响学习：

大学恋爱可以说是一种必要的经历，学习是大学的基本和主要任务，这两者之间有错综复杂的关系，有的学生因为爱情，过分的忽视了学习，把感情放在第一位；学习的时候就认真的去学，不要去想爱情中的事，谈恋爱的时候用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。 2. 有足够的精力：

大学生活，说忙也会很忙，但说轻松也是相对会轻松的！大学生恋爱必须合理安排自身的精力，忙于学习的同时不能因为感情的事情分心，不能在学习期间，放弃学习而去谈感情，把握合理的精力，分配好学习和感情。 3、有合理的时间；

大学时间可以分为学习和生活时间，合理把握好学习时间和生活时间的“度”很重要；学习的时候，不能分配学习时间去安排两人的在一起的事情，应该以学习为第一；生活时间，两人可以相互谈谈恋爱，用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。

5、大学生对爱情需要认识与理解，主要涉及到以下几个方面： （一）明确学生的主要任务

“放弃时间的人，时间也会放弃他。”大学时代是吸纳知识、增长才干的时期。作为当代大学生，要认识到现在的任务是学习——学习做人、学习知识、学习为人民服务的本领。在校大学生要集中精力，投入到学习和社会实践中，而不是因把过多的精力、时间用于谈情说爱浪费宝贵的青春年华。因此，明确自己的目标，规划自己的学习道路，合理分配好学习和恋爱的地位。

（二） 树林正确的恋爱观

提倡志同道合、有默契、相互喜欢的爱情：在恋人的选择上最重要的条件应该是志同道合，思想品德、事业理想和生活情趣等大体一致。

摆正爱情与学习、事业的关系：大学生应该把学习、事业放在首位，摆正爱情与学习、事业的关系，不能把宝贵的大学时间，锻炼自身的时间都用于谈情说有爱而放松了学习。

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相互理解、相互信任，是一份责任和奉献。爱情是奉献而不时索取，是拥有而不是占有。身边的人与事时刻为我们敲响警钟，不再让悲剧重演。生命只有一次，不会重来，大学生一定要树立正确的爱情观。

（三） 发展健康的恋爱行为

在当今大学校园，情侣成双入对已司空见惯。抑制大学生恋

爱是不实际的，大学生一定要发展健康的恋爱行为。与恋人多谈谈学习与工作，把恋爱行为在社会规范内，不致越轨，要使爱情沿着健康的道路发展。正如马克思所说：“在我看来，真正的爱情是表现在恋人对他的偶像采取含蓄、谦恭甚至羞涩的态度，而绝不是表现在随意流露热情和过早的亲昵。”

（四）爱情不是一件跟风的事儿。

很多大学生的爱情实际上是跟风的结果，是看到别人有了爱情，看到别人幸福的样子（注意，只是看上去很美），产生了羊群心理，也就花了大把的时间和精力去寻找爱情

（五）距离才是保持爱情之花常开不败的法宝。

爱情到底需要花多少时间，这是一个很大的问题。有的大学生爱情失败，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们在一起的时间太多。相反，很多大学生恋爱成功，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们准确地把握了在一起的时间的多少程度。

（六）爱情不是自我封闭的二人世界。

很多人过分的活在两人世界，对身边的同学，身边好友渐渐的失去联系，失去了对话，生活中只有彼此两人；班级活动也不参加，社外活动也不参加，每天除了对方还是对方，这样不利于大学生健康发展，不仅影响学习，影响了自身交际和合作能力。

总结：

男女之间面对恋爱，首先要摆正好自己的心态，树立自尊、自爱、自强、自重应有的品格，千万不要盲目地追求爱，也不宜过急追求爱，要分清自己的条件是否成熟。要树立正确的恋爱观，明确大学的目的，以学习为第一；规划好大学计划，在不影响学习的条件下，要对恋爱认真，专一，相互鼓励，相互学习，共同进步；认真对待恋爱观，做健康的恋爱；

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总之，我们大学生要树立正确的恋爱观念，让大学的爱情成为青春记忆里最美的风景，而不是终身的遗憾！