知识篇·知识结构与拓展 高一使用 2019年12月
■张 钢1 张启兆2
频率分布直方图中的相关问题是高考的热点问题,那么,频率分布直方图中到底涉及哪些问题,又如何求解呢?下面举例分析,供同学们学习与提高。
了未使用节水龙头5单0天的日用水量数据(位:和使用了节水龙头5m3)0天的日用水量
表1
,数据,得到了频数分布表分别如表12所示。
日用水量[0,0.1)
图1所示。
例1某家庭记录 (2018年高考全国卷)
频数13242659
[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7]
0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=,因此该家庭使用了节水龙头后日用水0.48(量小于0频率.35m3的概率的估计值为0.48。的近似值可视为概率)
()该家庭未使用节水龙头530天日用水
头后50天日用水量小于0.35m3的频率为
()根据以上数据,该家庭使用了节水龙2
图1
表2
日用水量[0,0.1)
频数113101655
3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×)。26+0.65×5=0.48
该家庭使用了节水龙头后50天日用水
1
量的平均数为x1=×(0.05×1+0.15×
50
[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6]
5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×)。5=0.35
估计使用节水龙头后,一年可节省水评注:本题主要考查频率分布直方图的
1
量的平均数为x2=×(0.05×1+0.15×
50
)作出使用了节水龙头5 (10天的日用水量数据的频率分布直方图。水量小于0.35m3的概率。
()估计该家庭使用了节水龙头后,日用2
()估计该家庭使用节水龙头后,一年能3
()(。0.48-0.35×365=47.45m3)
绘制,考查利用样本估计总体以及对数据的处理能力。通过本题的解析,可以得到频率分布直方图中所涉及的3个注意点:①在画频率分布直方图时,一定要注意纵轴表示的频率
”。②求某一范围内的频数或频率是“组距
节省多少水?(一年按3同一组中65天计算,的数据以这组数据所在区间的中点值作代表)
()解:由题意画出频率分布直方图,如1
(,概率)只需将这一范围内的频数或频率相
3
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加即可。③众数是最高矩形底边中点横坐标所对应的数据,它表示样本数据的中心值;中位数是一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序依次排列,处在中间位置的一个数(或最,中间两个数据的平均数)在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图面积相等,由此可估计中位数的值,但有偏差;样本数据的平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。
例2 某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛,比赛成绩等级分为1至10分,随机调阅了A,B两所学校各60名学生的成)绩,得到样本数据A校的条形图(如图2和)。样本数据B校的统计表(如表3
2
()。9-6=1.5
)(,分)6×21+7×9+8×6+9×3=6B校样
222
)))12×(5-6+21×(6-6+9×(7-6+22))]。6×(8-6+3×(9-6=1.8
1数据的平均成绩为xB=×(4×9+5×12+
60122
本数据的方差为s×[9×(4-6)+B=
60
由B校样本数据的表3可知,B校样本
22
绩的平均分相同。又因为所以A校ssA因为所以两校学生的计算机成xA=xB,学生的计算机成绩比较稳定,且总体得分情况比较集中。
6
,应抽取的人数为设为a,×12=4
12+3+3
()依题意可知,2A校成绩为7分的学生
成绩为8分的学生应抽取的人数为b,c,d;6
,设为e;成绩为9分的学生×3=1
12+3+36
,应抽取的人数为设为f。×3=1
12+3+3
表3
成绩(分)1人数
0
20
30
4
912219
5
6
7
86
9103
0
图2
共1bd,be,bcd,ce,cde,de5种情f,f,f,f,共9种情况,所以从抽bce,cde,def,f,f,f,取的6人中任选2人,这2人成绩之和大于93或等于15的概率为P==。
155所有基本事件为ab,ac,ad,ae,abc,f,
况,其中满足条件的基本事件为ae,abe,f,
)计算两校样本数据的均值和方差,并 (1根据所得数据进行比较。
()从A校样本数据成绩分别为7分,28
评注:本题主要考查平均数、方差的求
法。理解频率分布直方图中常用的几个等量关系是解决这类问题的关键,频率分布直方图中常用的7个等量关系:①频率=。④各小组数。③各小组的频率之和等于1⑤小矩形的高=
频率频数
,即=
组距样本容量×组距
频数
。②各小组的频数之和等于总体
样本容量
分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人,若从抽取的6人中任选2人,求这2人成绩之和大于或等于15的概率。
成绩分别为4分,5分,6分,7分,8分,9分3人。
()解:由A校样本数据的条形图可知,1
的组距相等,即每个小矩形的宽都相等。
的学生分别有6人,15人,21人,12人,3人,
1A校样本数据的平均成绩为xA=×
60
小矩形的高与频率成正比,与频数也成正比。⑥各小矩形的面积为各小组的频率。⑦各小。矩形面积之和等于频率之和,即为1
作者单位:江苏省无锡市第六高级中学1.
江苏省无锡市青山高级中学2.
(责任编辑 郭正华)
2
),分)3=6(A校样本数据的方差为sA=22
))0.1×(4-6+0.25×(5-6+0.35×(6-222
)))6+0.2×(7-6+0.05×(8-6+0.05×
(4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×
4
