15.433 投资学
第6节：CAPM与APT
第1部分：理论
2003年春
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绪论
前面，我们认为风险资产的预期收益都是直接给定的。但这个预期收益是怎么得到的呢？
直观上看，投资者都是风险厌恶型的，一个解释是风险溢价（超过无风险收益率的预期收益）是对承受风险的回报。
这样有意义么？
资本资产定价模型（CAPM）为我们提供了一个简单但是精准的框架来思考回报与风险的问题。
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“CAPM”
在市场均衡时，投资者得到的回报仅仅来源于承受系统风险，这种风险不能被分散化。
他们不会得到承受特殊风险（非系统风险）的回报，因为这种不确定性可以通过合理的分散化来减轻。
Sharpe 与CAPM
Bill Sharpe, CAPM理论的创始者之一，在一次与Dow Jones 资产经理的会面中提到：
“基本观点仍然是，不能只通过风险来获得预期收益。否则，你会在Las Vegas 赚很多钱。如果承受风险就有回报的话，应该是一种特殊形式的风险。背后会有经济原理，否则这个世界将会很疯狂。我对那些基本观点没有异议”
－Sharpe（1998）
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假设
1． 完美市场
z 完全竞争－每个投资者都假设他的行为对证券价格没有影响。 z 没有税收 z 没有交易成本
z 所有资产公开交易，完全可分 z 没有短期交易
z 借入跟借出的无风险收益率相同
2． 同样的投资者
1
z 都是短视的 z 持有期相同
z 正态或者均方差效用 z 相同期望
1
短视的：受近视影响，目光短，不考虑未来
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均衡市场资产组合
前面提到每个投资者都持有些无风险资产和相应的资产组合。
图1：均衡市场资产组合和有效边界
当我们把所有个人投资者的资产组合集中在一起时，借入跟借出就会相抵消，并且这个风险资产组合集合的价值就会等于整个社会的经济财富。这个切点代表的投资组合就会变成均衡市场资产组合。
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风险的市场价格
市场上有N个均方差投资者，每人有$1财富.
集合所有得投资者，市场上投入的总财富为：
（1）
均衡状态下，市场上投入的总财富为：
（2）
这就意味着：
（3）
其中
是一个衡量市场参与者总体风险厌恶程度的指标：
（4）
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单个风险资产的定价
市场上的资产组合是由单个的风险资产组成的：
（5）
是投资到资产i的财富的比例。 其中
均衡状态下单个风险资产是怎样定价的呢？
为了回答这个问题，我们将均衡状态持有资产i的比例从它的最优水平上轻微偏移一点，然后看这样一种偏移会如何影响投资者的最大效用。
我们来研究一个风险厌恶程度处于平均状态的有代表性的投资者。
他所持有的资产组合：
是什么？
均衡状态下，
是这个投资者的最优解，即
其它值不变，如果我们将
小量变化会怎么样呢？
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因此：
前面有：
因此：
其中：
我们的偏移使用了二阶的效用函数。一般的，对任意偏好高均值，厌恶大方差的效用函数，这种证明都是可行的。
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CAPM中的风险与回报
对于风险资产
，合理的衡量有回报风险的标准不是它的方差
，而是它与市场
的协方差。
承受的市场风险可以很好的量化：
每承受一单位市场风险，得到的回报同市场相同：
承受
单位市场风险时，回报为：
承受市场风险为0时，回报也为0，无论资产的风险有多大。总体上说，CAPM中风险跟回报称线性关系。
系统风险与特殊风险
每项投资都有两种不同风险：
z 系统风险是整个市场范围的而且实际上普遍影响所有的证券价格。
例如利率和商业周期
z 特殊风险包括了不可预料事件，特别对单个证券或者有限数量的证券。
例如一个关键合同的损失或者对某个特殊产业的变化。
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证券市场线
无风险投资 市场投资
图2：均衡市场资产组合同有效边界。
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系统风险与特殊风险
每项投资都有两种不同风险：
z 系统风险是整个市场范围的而且实际上普遍影响所有的证券价格。
例如利率和商业周期
z 特殊风险包括了不可预料事件，特别对单个证券或者有限数量的证券。
例如一个关键合同的损失或者对某个特殊产业的变化。
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线性因子模型
简单描述这两类风险的是线性因子模型：
包括了两个风险组成部分：
z 系统风险F：对所有投资者通用。 z 特殊风险
：只对证券i有效。
都是0均值随机变量。
共同因子F与特殊组成
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套利定价理论
单因子形式
假设一个没有税收和交易成本的无摩擦市场。资产完全可分。没有短期卖出。
假设一个单因子线性模型： z z
，资产i对共同因子的灵敏度。 ，共同因子，
。
，特殊收益，均值为0，于共同因子及其它特殊成分。 z
可能的共同因子：通货膨胀的非预期变化，工业产品等等。
套利定价理论：
任何资产的预期收益由它受共同因子的影响决定。跟它的特殊组成无关。
在APT的推导中，不需要对投资者的偏好作任何假设，也不需要假设资产收益的某种分布。
APT不是一个均衡状态概念。它不依赖于市场资产组合的存在。仅建立在无套利条件的基础上。
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小结
在均衡状态下，切点的资产组合成为市场资产组合。市场资产组合的预期收益依赖于市场的平均风险厌恶程度。
CAPM的直观认识：任何风险资产的预期收益线性依赖于它所承受的市场风险（由
分散化在金融中是一个重要概念。它建立在强大数原理的数学基础上。
跟CAPM一样，APT的基本概念是，预期收益的不同一定是由不可分散风险的不同引起的。
APT仅建立在无套利条件地基础上。不是一个均衡的概念，跟市场资产组合无关。
要点：
z p.263 -284（CAPM、假设、β、流动性、协方差、预期、SML、0-β模型、α） z p.287 方程10.5、10.6、10.7 z p.300-308
z p.308-313（方程10.15、10.16）
z p.324-334（分散化、方程11.2、APT与CAPM、多因子APT、方程11.5、11.6）
阅读：Roll和Ross（1995）。
可能题型：第九章概念检查1、2、3、4，p.286 ff.1、4、17、22、23、25。 第十章概念检查1、2、3、4，p.314 ff.4、5、6、7、18、19。 第十一章概念检查2、3、4、5，p.335 ff.3、5、7、10、16。
衡量）。
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下节问题
阅读：
z BKM第13章
z Jagannathan 和 McGrattan (1995), z Kritzman (1993), z Kritzman (1994)
考虑下列问题：
z CAPM预测结果是什么？ z 可以检验么？ z 什么是回归？ z 什么是t-检验？
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方法注释：分散化的数学基础
分散化概念的背后，有深刻、精确和强有力的数学工具。
强大数定律：令
表示均值为
的同分布随机变量序列，我们可以确定：
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依据仿真的“证明”
第一步：我们以开始，假设他是标准状态的，并且模拟10,000次。利用这10,000个结果，我们可以描述出它的“经验”概率分布，它根据10,000个正态化的结果的柱状图得到因此总概率为1。为了符号方便，我们记
。
图3：n=1时
的仿真结果和可能性。
第二步：将第一步重复10次，每次都用一个新生成的随机变量。这样就是相互的。将他们相加，重新将和的范围定义到10个数。这样，我们就10,000个结果：
然后将
的检验概率分布绘图如下：
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图4：n=10时的仿真结果和可能性。
第三步：最后将第一步重复100次，得到10,000个结果：
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图5：n=100时的仿真结果和可能性。
根据大数定律，随着N无限增加，
以概率1逼近0。
对正态分布的
，很容易看出
以概率1逼近0，因为：
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图6：n=1、10、100时
的仿真结果和可能性。
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