CAPM—APT习题(解)

1. 假设市场中，风险性资产的报酬服从一个二因子的套利定价模型（APT）如

下：

Riibi1f1bi2f2i

其中，Ri为资产i的报酬率，f1与f2为影响资产价格的因素，而i则是与因素波动无关的非系统因子，无风险利率为6%。若你发现有以下三个分散良好的基金：

基金

A B C

请回答以下问题：

* 在APT中，bi1与bi2被称为什么？(10分)

* 请利用A与B二种基金计算这二个因素的因子溢酬（factor premium）

期望报酬率 15% 14% 10%

bi1 bi2

1.0 0.5 0.3

0.6 1.0 0.2

1,2？(10分)

* 利用这三种基金，请构建一个套利策略？(10分)(从业人员资格考试题，最后一小题若是套利组合似乎无解,只能定性地构建一下策略。) * 解：利用基金A、B的数据，利用APT模型，求得16%,25%

以下为Sharpe 《投资学》习题

1、假设由二种证券组成市场证券组合，它们的相关数据如下：

证券 期望收益率（%） 标准差（%） 比例 A 10 20 0.4 B 15 28 0.6

基于这些信息，并给定两种证券间的相关系数为0.3，无风险收益率为5%，写出资本市场线的方程。（书上P354-5）

结果：p5%0.3872p

2、GX拥有一个投资组合，由3种证券组成。组合中这些证券的值和比例如下，GX的组合的值是多少？

证券 值 比例 A 0.9 0.3 B 1.3 0.1 C 1.05 0.6

（p1.03）

3、设市场证券组合和期望收益率为15%，标准差为21%，无风险收益率为7%。一个很好地被分散化了的（无非系统风险）期望收益率为16.6%的组合的标准差是多少？

解：利用CML公式，p25.2%

4、给定市场证券组合的期望收益率为10%，无风险利率为6%，证券A的值为0.85，

证券B的值为1.2：

a、 画出证券市场线；

b、 证券市场线的具体方程是什么？（p6%(10%6%)p） c、 证券A和证券B在市场均衡时的期望收益率是多少？

（A9.4%,B10.8%）

d、 在证券市场线上描出两种风险证券。

5、设两种证券A、B组成市场证券组合，它们的比例和方差（%2）分别为0.39，160及0.61，340。两种证券的协方差为190。计算两种证券的值。（提

2示：利用数据先算出M，再计算ACovrA,rM2MCovr,0.39rAA0.61rB2M，B也同理算。）

20.3921600.61234020.390.61190241.252(%2) 解：M A0.739,B1.167

6、基于资本资产定价模型及单指数模型（市场模型），证券组合A、B、

C、D、E的部分已知数据如下表所示。

组合 预期收益率 系数 标准差 2()（%）

2

—————————————————————————— A (13.4%) 0.8 (13.16%) 81 B 19% 1.50 (18.97%) 36 C 15% (1) 12% 0 D 7% 0 8% () E 16.6% (1.2) 15% (17.) ________________________________________________________

⑴ 根据给出数据将空格部分填上；

⑵ 写出在此数据下的资本市场线CML和证券市场线SML的具体形式； (CML:

,SML:p7%8%P)

⑶ 五个组合中有否有效组合？若有，指出具体哪些是，并给出辨别理由。 (组合C是有效组合，因其非系统风险为0，其余都是无效组合。) （提示：根据D得无风险收益率rF7%；再据C，利用CML知re据B知MrF8%,M15%，由re空格里的值了。）

2；利用SML32知M12%。利用这些数据就可以算3

几个重要公式：

一、投资组合理论：

1、A证券和B证券对应的预期收益率和标准差分别为E(rA),E(rB),A,B，则对两个证券A和B的组合P=xA,xB，有：

rpxArAxBrB

E(rp)xAE(rA)xBE(rB)，

22222Pcov(rp,rp)xAAxBB2xAxBAB.AB

2、若AB1，表示证券A与证券B完全正相关，则有：

E(rp)xAE(rA)(1xA)E(rB)

PxAA(1xA)B

由上式中可找出无风险投资组合。令P0，有：

xABA, xB1xA

BABA 3、两种证券完全负相关，有AB1则

E(rP)xAE(rA)(1xA)E(rB)PxAA(1xA)B （6）

P0时,有无风险组合:，两种都买入。 BA xA0, xB0ABAB4、两种证券完全不相关：AB0，没有无风险组合，但此时有最小风险组

22BA合：xA2 , xB222ABAB5、多个证券的收益风险公式：

E(rP)xiE(ri)i12Pxi2.i22i1NijN(3.2)

1ijNxx.cov(x,xiijijj)xi2.i22i1N1ijNxx.ij(3.3)

二、资本市场线CML：

E(rp)rFre.preE(rM)rFME(rM)rFE(rP)rF1、

M.P而E(rM)和M可由下式求得:E(rM)xiM.E(ri)i2M

2Mi2Nxj2NMixMjijij资本市场线的条件有：线上所有组合为有效组合；组合均为无风险证券F与市场证券组合M的组合；所有组合的非系统风险为0；

2、记市场证券组合为M，xiM表示市场证券组合中证券i的比例，设市场存在的证券种数为N，则

xiMPiQiN(i2,3,,N)i(7.1)

PQii2上式中，Pi为第i种证券的价格，Qi为证券i的总股数，PiQi即为证券i的市场总值，或称市值。证券1为无风险证券，市场均衡时净额为0。

三、证券市场线SML： 1、系数：icov(ri,rM)2M ，xiMi1

2、SML：E(ri)rF[E(rM)rF].i，单个证券的SML

E(rP)rF[E(rM)rF].P ， 组合的SML

其中：PrPxiri,故cov(rP,rM)2M,若P的权数为(x1,x2,xN)有

Pxicov(ri,rM)2Mxi.ii2N(cov(x1,rM)0)四、单指数模型：

1、一般形式：riiirMi，有假设①E(i)0，②Cov(i,j)0,ij,③,Cov(rM,i)0,

2、风险分解：

2i2i2M2(i)(6)

前提是：E(i)0,cov(i,rM)0,covi,j02i2M ——系统风险；2(i)——非系统性风险

riaiirMi(i1,2,,N)

3、组合的风险分解：

rpx1r1x2r2xNrNxiaixiirMxiii1i1i1NNNrppprMp22P(xii)2Mxi22(i) i1i1NN

五、套利定价理论

1、因素模型之单因素模型：riaibi1F1i 多因素模型：riaibi1F1bi2F2binFni riaibi1F1bi2F2i

2、APT模型：E(ri)rFbi11bi22bimm3、APT与CAPM：

1[E(rM)rF]F1

2[E(rM)rF]F2 ……

m[E(rM)rF]Fm

m[E(rM)rF]Fm