2015年天津市高考数学试卷(理科)

2015年天津市高考数学试卷〔理科〕

一.选择题〔在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的〕 1．〔5分〕〔2015•天津〕已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁UB=〔 〕 A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8}

2．〔5分〕〔2015•天津〕设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的

最大值为〔 〕 A．3 B．4 C．18 D．40 3．〔5分〕〔2015•天津〕阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为〔 〕

A．﹣10 B．6 C．14 D．18 4．〔5分〕〔2015•天津〕设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的〔 〕 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．〔5分〕〔2015•天津〕如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，假设CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为〔 〕

A．

B．3

C．

D．

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6．〔5分〕〔2015•天津〕已知双曲线且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4A．

﹣

=1 B．

﹣

=1

﹣=1 〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线过点〔2，〕，

x的准线上，则双曲线的方程为〔 〕

C．﹣=1 D．﹣=1

﹣

7．〔5分〕〔2015•天津〕已知定义在R上的函数f〔x〕=2|xm|﹣1〔m为实数〕为偶函数，记a=f〔log3〕，b=f〔log25〕，c=f〔2m〕，则a，b，c的大小关系为〔 〕 A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 8．〔5分〕〔2015•天津〕已知函数f〔x〕=

，函数g〔x〕=b﹣f〔2﹣x〕，

其中b∈R，假设函数y=f〔x〕﹣g〔x〕恰有4个零点，则b的取值范围是〔 〕 A．〔，+∞〕

B．〔﹣∞，〕 C．〔0，〕 D．〔，2〕

二.填空题〔每题5分，共30分〕 9．〔5分〕〔2015•天津〕i是虚数单位，假设复数〔1﹣2i〕〔a+i〕是纯虚数，则实数a的值为 ． 10．〔5分〕〔2015•天津〕一个几何体的三视图如下图〔单位：m〕，则该几何体的体积为 m3．

11．〔5分〕〔2015•天津〕曲线y=x与y=x所围成的封闭图形的面积为 ．

2

12．〔5分〕〔2015•天津〕在〔x﹣

〕6的展开式中，x2的系数为 ．

13．〔5分〕〔2015•天津〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3

，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为 ．

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14．〔5分〕〔2015•天津〕在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且为 ．

三.解答题〔本大题共6小题，共80分〕

15．〔13分〕〔2015•天津〕已知函数f〔x〕=sin2x﹣sin2〔x﹣〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期； 〔Ⅱ〕求f〔x〕在区间[﹣

，

]内的最大值和最小值．

〕，x∈R．

=λ

，

=

，则

•

的最小值

16．〔13分〕〔2015•天津〕为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运发动组队参加，现有来自甲协会的运发动3名，其中种子选手2名，乙协会的运发动5名，其中种子选手3名，从这8名运发动中随机选择4人参加比赛．

〔Ⅰ〕设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；

〔Ⅱ〕设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望． 17．〔13分〕〔2015•天津〕如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点． 〔Ⅰ〕求证：MN∥平面ABCD

〔Ⅱ〕求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；

〔Ⅲ〕设E为棱A1B1上的点，假设直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．

18．〔13分〕〔2015•天津〕已知数列{an}满足an+2=qan〔q为实数，且q≠1〕，n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列 〔1〕求q的值和{an}的通项公式； 〔2〕设bn=

，n∈N*，求数列{bn}的前n项和．

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19．〔14分〕〔2015•天津〕已知椭圆+=1〔a＞b＞0〕的左焦点为F〔﹣c，0〕，离心

率为|FM|=

，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=

．

截得的线段的长为c，

〔Ⅰ〕求直线FM的斜率； 〔Ⅱ〕求椭圆的方程；

〔Ⅲ〕设动点P在椭圆上，假设直线FP的斜率大于取值范围．

，求直线OP〔O为原点〕的斜率的

20．〔14分〕〔2015•天津〕已知函数f〔x〕=nx﹣xn，x∈R，其中n∈N•，且n≥2． 〔Ⅰ〕讨论f〔x〕的单调性；

〔Ⅱ〕设曲线y=f〔x〕与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g〔x〕，求证：对于任意的正实数x，都有f〔x〕≤g〔x〕；

〔Ⅲ〕假设关于x的方程f〔x〕=a〔a为实数〕有两个正实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜

+2．

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2015年天津市高考数学试卷〔理科〕

参与试题解析

一.选择题〔在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的〕 1．〔5分〕〔2015•天津〕已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁UB=〔 〕 A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8}

【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；

【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，

∴∁UB={2，5，8}， 则A∩∁UB={2，5}． 故选：A．

【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．

2．〔5分〕〔2015•天津〕设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的

最大值为〔 〕 A．3 B．4 C．18 D．40

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：〔阴影部分〕． 由z=x+6y得y=﹣x+z， 平移直线y=﹣x+z，

由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大， 此时z最大． 由

，解得

，即A〔0，3〕

将A〔0，3〕的坐标代入目标函数z=x+6y， 得z=3×6=18．即z=x+6y的最大值为18． 故选：C．

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【点评】此题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 3．〔5分〕〔2015•天津〕阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为〔 〕

A．﹣10 B．6 C．14 D．18

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．

【解答】解：模拟执行程序框图，可得 S=20，i=1 i=2，S=18

不满足条件i＞5，i=4，S=14 不满足条件i＞5，i=8，S=6

满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6． 故选：B．

【点评】此题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．

4．〔5分〕〔2015•天津〕设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的〔 〕 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

第6页〔共21页〕

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3， 由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，

即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件， 故选：A．

【点评】此题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础． 5．〔5分〕〔2015•天津〕如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，假设CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为〔 〕

A．

B．3

C．

D．

【分析】由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可． 【解答】解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB， ∴2×4=AM•2AM， ∴AM=2， ∴MN=NB=2，

又CN•NE=AN•NB， ∴3×NE=4×2， ∴NE=．

故选：A．

【点评】此题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．

6．〔5分〕〔2015•天津〕已知双曲线且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4A．

﹣

=1 B．

﹣

=1

﹣

=1 〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线过点〔2，

〕，

x的准线上，则双曲线的方程为〔 〕

C．﹣=1 D．﹣=1

【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．

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【解答】解：由题意，=，

，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4

x的准线上，

∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣

∴c=，

∴a2+b2=c2=7， ∴a=2，b=， ∴双曲线的方程为

．

故选：D．

【点评】此题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

7．〔5分〕〔2015•天津〕已知定义在R上的函数f〔x〕=2|xm|﹣1〔m为实数〕为偶函数，记a=f〔log3〕，b=f〔log25〕，c=f〔2m〕，则a，b，c的大小关系为〔 〕 A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a

【分析】根据f〔x〕为偶函数便可求出m=0，从而f〔x〕=2|x|﹣1，这样便知道f〔x〕在[0，+∞〕上单调递增，根据〔fx〕为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞〕上：a=f〔|log3|〕，b=f〔log25〕，c=f〔0〕，然后再比较自变量的值，根据f〔x〕在[0，+∞〕上的单调性即可比较出a，b，c的大小．

【解答】解：∵f〔x〕为偶函数； ∴f〔﹣x〕=f〔x〕；

﹣

∴2|xm|﹣1=2|xm|﹣1； ∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；

﹣﹣

﹣

〔﹣x﹣m〕2=〔x﹣m〕2； ∴mx=0； ∴m=0；

∴f〔x〕=2|x|﹣1；

∴f〔x〕在[0，+∞〕上单调递增，并且a=f〔|log3|〕=f〔log23〕，b=f〔log25〕，c=f〔0〕； ∵0＜log23＜log25； ∴c＜a＜b． 故选：C．

【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞〕上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．

8．〔5分〕〔2015•天津〕已知函数f〔x〕=

，函数g〔x〕=b﹣f〔2﹣x〕，

其中b∈R，假设函数y=f〔x〕﹣g〔x〕恰有4个零点，则b的取值范围是〔 〕 A．〔，+∞〕

B．〔﹣∞，〕 C．〔0，〕 D．〔，2〕

【分析】求出函数y=f〔x〕﹣g〔x〕的表达式，构造函数h〔x〕=f〔x〕+f〔2﹣x〕，作出函数h〔x〕的图象，利用数形结合进行求解即可．

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【解答】解：∵g〔x〕=b﹣f〔2﹣x〕， ∴y=f〔x〕﹣g〔x〕=f〔x〕﹣b+f〔2﹣x〕，

由f〔x〕﹣b+f〔2﹣x〕=0，得f〔x〕+f〔2﹣x〕=b， 设h〔x〕=f〔x〕+f〔2﹣x〕， 假设x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，

则h〔x〕=f〔x〕+f〔2﹣x〕=2+x+x2，

假设0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，

则h〔x〕=f〔x〕+f〔2﹣x〕=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2， 假设x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，

则h〔x〕=f〔x〕+f〔2﹣x〕=〔x﹣2〕2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．

即h〔x〕=，

作出函数h〔x〕的图象如图：

当x≤0时，h〔x〕=2+x+x2=〔x+〕2+≥， 当x＞2时，h〔x〕=x2﹣5x+8=〔x﹣〕2+≥， 故当b=时，h〔x〕=b，有两个交点，

当b=2时，h〔x〕=b，有无数个交点，

由图象知要使函数y=f〔x〕﹣g〔x〕恰有4个零点， 即h〔x〕=b恰有4个根， 则满足＜b＜2， 故选：D．

【点评】此题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决此题的关键．

二.填空题〔每题5分，共30分〕 9．〔5分〕〔2015•天津〕i是虚数单位，假设复数〔1﹣2i〕〔a+i〕是纯虚数，则实数a的值为 ﹣2 ．

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【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求得a的值． 【解答】解：由〔1﹣2i〕〔a+i〕=〔a+2〕+〔1﹣2a〕i为纯虚数， 得

，解得：a=﹣2．

故答案为：﹣2．

【点评】此题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题．

10．〔5分〕〔2015•天津〕一个几何体的三视图如下图〔单位：m〕，则该几何体的体积为 m3．

【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．

【解答】解：根据几何体的三视图，得；

该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，

且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1； ∴该几何体的体积为 V几何体=2×π•12×1+π•12•2 =π．

故答案为：π．

【点评】此题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．

11．〔5分〕〔2015•天津〕曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为

．

【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可． 【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0 直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01〔x﹣x2〕dx 而∫01〔x﹣x2〕dx=〔∴曲边梯形的面积是．

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〕|01=﹣=

故答案为：．

【点评】此题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数．

12．〔5分〕〔2015•天津〕在〔x﹣

〕6的展开式中，x2的系数为

．

【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．

【解答】解：〔x﹣

﹣2r

6

〕的展开式的通项公式为Tr+1=6r

•〔x〕•〔﹣

﹣rr

〕=〔﹣〕••x6

，

×

=

，

令6﹣2r=2，解得r=2，∴展开式中x2的系数为故答案为：

．

【点评】此题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，

属于中档题． 13．〔5分〕〔2015•天津〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3

，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为 8 ．

．利用S△ABC=

=

，

【分析】由cosA=﹣，A∈〔0，π〕，可得sinA=

化为bc=24，又b﹣c=2，解得b，c．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出． 【解答】解：∵A∈〔0，π〕，∴sinA=∵S△ABC=

=

bc=

=

，化为bc=24，

．

又b﹣c=2，解得b=6，c=4．

由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×解得a=8．

第11页〔共21页〕

=．

故答案为：8．

【点评】此题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14．〔5分〕〔2015•天津〕在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且

=λ

，=

，则

•

的最小值为

．

【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的形式求最值．

【解答】解：由题意，得到AD=BC=CD=1，所以•〔=

1+×1×1×cos120° =1+

+

﹣．

≥

+=

〔当且仅当

时等号成立〕；

〕

=2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+

×2×

•

=〔

〕•〔

〕=〔

〕

故答案为：

【点评】此题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．

三.解答题〔本大题共6小题，共80分〕

15．〔13分〕〔2015•天津〕已知函数f〔x〕=sin2x﹣sin2〔x﹣〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期； 〔Ⅱ〕求f〔x〕在区间[﹣

，

]内的最大值和最小值．

〕，由周期公式可得； 〕，x∈R．

【分析】〔Ⅰ〕由三角函数公式化简可得f〔x〕=﹣sin〔2x﹣〔Ⅱ〕由x∈[﹣

，

]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．

〕

【解答】解：〔Ⅰ〕化简可得f〔x〕=sin2x﹣sin2〔x﹣=〔1﹣cos2x〕﹣[1﹣cos〔2x﹣=〔1﹣cos2x﹣1+cos2x+=〔﹣cos2x+=sin〔2x﹣

〕

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〕]

sin2x〕

sin2x〕

∴f〔x〕的最小正周期T=〔Ⅱ〕∵x∈[﹣∴sin〔2x﹣

，

=π；

∈[﹣

，

]，

]，

]，∴2x﹣

〕∈[﹣1，

，

]，∴sin〔2x﹣〕∈[﹣，

∴f〔x〕在区间[﹣]内的最大值和最小值分别为，﹣

【点评】此题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题． 16．〔13分〕〔2015•天津〕为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运发动组队参加，现有来自甲协会的运发动3名，其中种子选手2名，乙协会的运发动5名，其中种子选手3名，从这8名运发动中随机选择4人参加比赛．

〔Ⅰ〕设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；

〔Ⅱ〕设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望． 【分析】〔Ⅰ〕利用组合知识求出基本领件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；

〔Ⅱ〕随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望． 【解答】解：〔Ⅰ〕由已知，有P〔A〕=

，

∴事件A发生的概率为；

〔Ⅱ〕随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4． P〔X=k〕=

〔k=1，2，3，4〕．

∴随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P

．

随机变量X的数学期望E〔X〕=

【点评】此题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题． 17．〔13分〕〔2015•天津〕如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点． 〔Ⅰ〕求证：MN∥平面ABCD

〔Ⅱ〕求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；

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〔Ⅲ〕设E为棱A1B1上的点，假设直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．

【分析】〔Ⅰ〕以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平面ABCD的一个法向量与

的数量积为0，即得结论；

〔Ⅱ〕通过计算平面ACD1的法向量与平面ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论； 〔Ⅲ〕通过设算即可．

【解答】〔Ⅰ〕证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，

则A〔0，0，0〕，B〔0，1，0〕，C〔2，0，0〕，D〔1，﹣2，0〕， A1〔0，0，2〕，B1〔0，1，2〕，C1〔2，0，2〕，D1〔1，﹣2，2〕， 又∵M、N分别为B1C、D1D的中点，∴M〔1，，1〕，N〔1，﹣2，1〕． 由题可知：=〔0，0，1〕是平面ABCD的一个法向量，∵•

=0，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；

=〔1，﹣2，2〕，

=〔2，0，0〕，

=〔0，1，2〕，

=〔0，﹣，0〕，

=λ

，利用平面ABCD的一个法向量与

的夹角的余弦值为，计

〔Ⅱ〕解：由〔I〕可知：

设=〔x，y，z〕是平面ACD1的法向量， 由

，得

，

取z=1，得=〔0，1，1〕，

设=〔x，y，z〕是平面ACB1的法向量， 由

，得

，

第14页〔共21页〕

取z=1，得=〔0，﹣2，1〕， ∵cos＜，＞=

=﹣

，∴sin＜，＞=

=

，

∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为〔Ⅲ〕解：由题意可设∴E=〔0，λ，2〕，

=λ

；

，其中λ∈[0，1]，

=〔﹣1，λ+2，1〕，

又∵=〔0，0，1〕是平面ABCD的一个法向量， ∴cos＜

，＞=

=

﹣2或﹣2﹣

=，

〔舍〕，

整理，得λ2+4λ﹣3=0，解得λ=∴线段A1E的长为﹣2．

【点评】此题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 18．〔13分〕〔2015•天津〕已知数列{an}满足an+2=qan〔q为实数，且q≠1〕，n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列 〔1〕求q的值和{an}的通项公式； 〔2〕设bn=

，n∈N*，求数列{bn}的前n项和．

【分析】〔1〕通过an+2=qan、a1、a2，可得a3、a5、a4，利用a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，计算即可；

第15页〔共21页〕

〔2〕通过〔1〕知bn=

，n∈N*，写出数列{bn}的前n项和Tn、2Tn的表达式，利用错

位相减法及等比数列的求和公式，计算即可． 【解答】解：〔1〕∵an+2=qan〔q为实数，且q≠1〕，n∈N*，a1=1，a2=2， ∴a3=q，a5=q2，a4=2q，

又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列， ∴2×3q=2+3q+q2， 即q2﹣3q+2=0，

解得q=2或q=1〔舍〕，

∴an=；

〔2〕由〔1〕知bn===

，n∈N*，

记数列{bn}的前n项和为Tn， 则Tn=1+2•+3•∴2Tn=2+2+3•+4•

+4•+5•

+

+…+〔n﹣1〕•+…+〔n﹣1〕•+…+

﹣n•

+n•+n•

， ，

两式相减，得Tn=3++

=3+﹣n•

=3+1﹣=4﹣

﹣n•．

【点评】此题考查求数列的通项与前n项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决此题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．

19．〔14分〕〔2015•天津〕已知椭圆

+

=1〔a＞b＞0〕的左焦点为F〔﹣c，0〕，离心

率为|FM|=

，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=

．

截得的线段的长为c，

〔Ⅰ〕求直线FM的斜率； 〔Ⅱ〕求椭圆的方程；

第16页〔共21页〕

〔Ⅲ〕设动点P在椭圆上，假设直线FP的斜率大于取值范围．

【分析】〔Ⅰ〕通过离心率为

，求直线OP〔O为原点〕的斜率的

，计算可得a2=3c2、b2=2c2，设直线FM的方程为y=k〔x+c〕，

利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论； 〔Ⅱ〕通过联立椭圆与直线FM的方程，可得M〔c，

c〕，利用|FM|=

计算即可；

〔Ⅲ〕设动点P的坐标为〔x，y〕，分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x∈〔﹣，﹣1〕与x∈〔﹣1，0〕两种情况讨论即可结论． 【解答】解：〔Ⅰ〕∵离心率为

，∴

=

=，

∴2a2=3b2，∴a2=3c2，b2=2c2， 设直线FM的斜率为k〔k＞0〕，则直线FM的方程为y=k〔x+c〕， ∵直线FM被圆x2+y2=

截得的线段的长为c，

，

∴圆心〔0，0〕到直线FM的距离d=

∴d2+

=，即〔

〕2+

=，

解得k=，即直线FM的斜率为；

〔Ⅱ〕由〔I〕得椭圆方程为：+=1，直线FM的方程为y=〔x+c〕，

联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣c，或x=c， ∵点M在第一象限，∴M〔c，∵|FM|=

，∴

c〕，

=

，

解得c=1，∴a2=3c2=3，b2=2c2=2， 即椭圆的方程为

+

=1；

〔Ⅲ〕设动点P的坐标为〔x，y〕，直线FP的斜率为t， ∵F〔﹣1，0〕，∴t=

，即y=t〔x+1〕〔x≠﹣1〕，

联立方程组

，消去y并整理，得2x2+3t2〔x+1〕2=6，

第17页〔共21页〕

又∵直线FP的斜率大于∴

＞

，

，6﹣2x2＞6〔x+1〕2，

整理得：x〔2x+3〕＜0且x≠﹣1， 解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，

设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx〔x≠0〕，

联立方程组

，消去y并整理，得m2=

﹣．

①当x∈〔﹣，﹣1〕时，有y=t〔x+1〕＜0，因此m＞0， ∴m=

，∴m∈〔

，

〕；

②当x∈〔﹣1，0〕时，有y=t〔x+1〕＞0，因此m＜0， ∴m=﹣

，∴m∈〔﹣∞，﹣

〕；

综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：〔﹣∞，﹣〕∪〔，〕．

【点评】此题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题． 20．〔14分〕〔2015•天津〕已知函数f〔x〕=nx﹣xn，x∈R，其中n∈N•，且n≥2． 〔Ⅰ〕讨论f〔x〕的单调性；

〔Ⅱ〕设曲线y=f〔x〕与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g〔x〕，求证：对于任意的正实数x，都有f〔x〕≤g〔x〕；

〔Ⅲ〕假设关于x的方程f〔x〕=a〔a为实数〕有两个正实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜

+2．

【分析】〔Ⅰ〕由f〔x〕=nx﹣xn，可得f′〔x〕，分n为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性．

〔Ⅱ〕设点P的坐标为〔x0，0〕，则可求x0=n

，f′〔x0〕=n﹣n2，可求g〔x〕=f′〔x0〕

﹣

〔x﹣x0〕，F′〔x〕=f′〔x〕﹣f′〔x0〕．由f′〔x〕=﹣nxn1+n在〔0，+∞〕上单调递减，可求F〔x〕在∈〔0，x0〕内单调递增，在〔x0，+∞〕上单调递减，即可得证． 〔Ⅲ〕设x1≤x2，设方程g〔x〕=a的根为

，由〔Ⅱ〕可得x2≤

．设曲线y=f〔x〕

，可得

在原点处的切线方程为y=h〔x〕，可得h〔x〕=nx，设方程h〔x〕=a的根为

第18页〔共21页〕

＜x1，从而可得：x2﹣x1＜﹣=

n1

，由n≥2，即2n1=〔1+1〕≥1+

﹣

﹣

=1+n

﹣1=n，推得：2

=x0，即可得证．

﹣

﹣

【解答】〔此题总分值为14分〕

解：〔Ⅰ〕由f〔x〕=nx﹣xn，可得f′〔x〕=n﹣nxn1=n〔1﹣xn1〕，其中n∈N•，且n≥2．

下面分两种情况讨论：

〔1〕当n为奇数时，令f′〔x〕=0，解得x=1，或x=﹣1，当x变化时，f′〔x〕，f〔x〕的变化情况如下表： x 〔﹣∞，﹣1〕 〔﹣1，1〕 〔1，+∞〕 f′〔x〕 ﹣ + ﹣ f〔x〕

所以，f〔x〕在 〔﹣∞，﹣1〕，〔1，+∞〕上单调递减，在〔﹣1，1〕单调递增． 〔2〕当n为偶数时，

当 f′〔x〕＞0，即x＜1时，函数 f〔x〕单调递增； 当 f′〔x〕＜0，即x＞1时，函数 f〔x〕单调递减；

所以，f〔x〕在〔﹣∞，1〕单调递增，在〔1，+∞〕上单调递减； 〔Ⅱ〕证明：设点P的坐标为〔x0，0〕，则x0=n

，f′〔x0〕=n﹣n2，

曲线y=f〔x〕在点P处的切线方程为y=f′〔x0〕〔x﹣x0〕，即g〔x〕=f′〔x0〕〔x﹣x0〕， 令F〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕，即F〔x〕=f〔x〕﹣f′〔x0〕〔x﹣x0〕，则F′〔x〕=f′〔x〕﹣f′〔x0〕．

﹣

由于f′〔x〕=﹣nxn1+n在〔0，+∞〕上单调递减，故F′〔x〕在〔0，+∞〕上单调递减， 又因为F′〔x0〕=0，所以当x∈〔0，x0〕时，F′〔x〕＞0，当x∈〔x0，+∞〕时，F′〔x〕＜0，

所以F〔x〕在∈〔0，x0〕内单调递增，在〔x0，+∞〕上单调递减， 所以对应任意的正实数x，都有F〔x〕≤F〔x0〕=0， 即对于任意的正实数x，都有f〔x〕≤g〔x〕． 〔Ⅲ〕证明：不妨设x1≤x2， 由〔Ⅱ〕知g〔x〕=〔n﹣n2〕〔x﹣x0〕， 设方程g〔x〕=a的根为

，可得

=

，

由〔Ⅱ〕知g〔x2〕≥f〔x2〕=a=g〔〕，可得x2≤．

类似地，设曲线y=f〔x〕在原点处的切线方程为y=h〔x〕， 可得h〔x〕=nx，当x∈〔0，+∞〕，f〔x〕﹣h〔x〕=﹣xn＜0， 即对于任意的x∈〔0，+∞〕，f〔x〕＜h〔x〕， 设方程h〔x〕=a的根为

，可得

=，

〕=a=f〔x1〕＜h〔x1〕，

因为h〔x〕=nx在〔﹣∞，+∞〕上单调递增，且h〔因此

＜x1，

第19页〔共21页〕

由此可得：x2﹣x1＜

﹣

﹣=

﹣

，

=1+n﹣1=n，

因为n≥2，所以2n1=〔1+1〕n1≥1+

故：2

=x0．

+2．

所以：|x2﹣x1|＜

【点评】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法，考查分类讨论思想、函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力．

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参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；maths；w3239003；刘长柏；wkl197822；sxs123；742048；沂蒙松；changq；lincy；cst〔排名不分先后〕 菁优网

2016年8月29日

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