高中数学复数训练题含答案

一、复数的概念 1. 虚数单位i

（1） 它的平方等于1，即 i21；

（2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．

i的乘方： i4n1,i4n1i,i4n21,i4n3i,nN*，它们不超出bi的形式． （3）

2. 复数的定义

（1）形如abi(a,bR)的数叫做复数， a,b分别叫做复数的实部与虚部

（2） 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数abi(a,bR)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.

3. 复数相等 abicdi，即ac,bd，那么这两个复数相等 4. 共轭复数

zabi时，zabi．

(z1z2)z1z2

性质：zz；

z1z2z1z2；z1z2z1z1；

(z20);二、复平面及复数的坐标表示 1. 复平面

在直角坐标系里，点z的横坐标是a，纵坐标是b，复数zabi可用点Z(a,b)来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴．

2. 复数的坐标表示 点Z(a,b) 3. 复数的向量表示 向量OZ．

4. 复数的模

在复平面内，复数zabi对应点Z(a,b)，点Z到原点的距离OZ叫做复数z的模，记作z．由定义知，za2b2．

三、复数的运算

1. 加法 (abi)(cdi)(ac)(bd)i．

几何意义： 设zabi对应向量，对应向量，则zz对应的

OZ1(a,b)z2cdiOZ2(c,d)121向量为

OZ1OZ2(ac,bd)．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．

2. 减法 (abi)(cdi)(ac)(bd)i．

几何意义： 设zabi对应向量，对应向量，则zz对应的OZ1(a,b)z2cdiOZ2(c,d)112向量为

OZ1OZ2Z2Z1(ac,bd)．

表示Z、Z两点之间的距离，也等于向量

Z1Z221z1z2(ac)(bd)i(ac)2(bd)2的模．

3. 乘法 abicdiacbdi.

4. 乘方 zmznzmn (zm)nzmn (zz)nznzn

12125. 除法

abiabicdiacbdbcadi.abicdi22cdicdicdicd6. 复数运算的常用结论

（1） (abi)2a2b22abi， (abi)(abi)a2b2 （2） (1i)22i， (1i)22i （3） 1i， 1i

1ii1ii（4） z1z2z1z2，

z1z2z1z2，

z1z1z2z2，zz．

（5）

zzz2，

zz

（6） （7） z1z2z1z2z1z2

，

n

z1z2z1z2，

z1z2z1z2znz四、复数的平方根

平方根

若(abi)2cdi，则abi是cdi的一个平方根，(abi)也是cdi的平方

根． （1的平方根是i．）

五、复数方程

1. 常见图形的复数方程

（1） 圆：

zz0r（r0，z为常数），表示以z对应的点Z为圆心，r为半径的圆

000（2） 线段ZZ的中垂线：（其中z,z分别对应点Z,Z） zzzz12121212（3） 椭圆：

zz1zz22a（其中a0且

z1z22a），表示以z,z对应的点F1、F2为焦点，

12长轴长为2a的椭圆 （4） 双曲线：

zz1zz22a（其中a0且

z1z22a），表示以z,z对应的点F1、F2为焦

12点，实轴长为2a的双曲线

2. 实系数方程在复数范围内求根

（1） 求根公式：

bb24ac0 一对实根x1,22ab0 一对相等的实根x1,22abib24ac0 一对共轭虚根x1,22a

（2） 韦达定理：

bxx12axxc12a

复数训练

一、直接计算

二、复平面

一、单选题（共21题；共42分）

1.A.

（ ） B.

C. D.

2.在复平面内,复数 是虚数单位)对应的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知i是虚数单位，复数

（ ）

A. i﹣2 B. i+2 C. ﹣2 D. 2 4.已知 为虚数单位，复数 A.

，则

（ ）

D.

B. 2 C.

5.设复数 满足 ，则复平面内 表示的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6.当复数 A. 7.已知

B. ，

的实部与虚部的差最小时， C.

（ ）

D.

（ ）

， 的实部与虚部相等，则

A. -2 B. C. 2 D. 8.若复数 满足 A. 9.若复数 A.

B.

，则

B.

为虚数单位），则 C. （ ）

C. （ ）

D.

（ ）

D.

10.已知 是虚数单位，则

A. B.

满足

，则

C. D. 对称

11.若复数 在复数平面上对应的点 ( )

A. 关于 轴对称 B. 关于 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线 12.复数

在复平面内对应的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 13.已知复数z满足

（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14.已知复数 满足 A.

B.

，则

( )

D.

C.

15.复数 A.

( 为虚数单位)的共轭复数是（ ） B.

C.

D.

16.在复平面内，复数 对应的点位于( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 17.已知复数 A.

( 是虚数单位)，则 的虚部为（ ）

C. D.

B.

18.已知复数 19.已知复数

，

，则其共轭复数 对应的点在复平面上位于（ ）

，则

在复平面内对应的点在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 20.已知复数 A. 21.已知 A. 1或

，则复数z的共轭复数的虚部为（ ）

C.

D. ，则

C.

B.

， 是虚数单位，若 B.

或

（ ） D.

二、填空题（共14题；共14分）

22.表示虚数单位，则 23.是虚数单位,则 24.复数 25.设复数 26.若复数

________.

的值为________.

（ 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第________象限． ，则复数

的共轭复数为________． 为纯虚数，则

________.

27.已知 ，则实数 ________.

28.若 29.若复数 30.已知复数 31.若复数 32.复数 33.如果

（其中i是虚数单位），则实数

(

，

)为纯虚数，则

________.

________.

为实数，则实数 的值为________． 的值为________．

________．

（其中 为虚数单位），若

是纯虚数，则实数

的实部为________. 是方程

（

）的一个根，则

34.已知 是虚数单位，复数 35.复数 满足

的实部与虚部互为相反数，则实数 的值为________．

________

( 为虚数单位)，则

三、解答题（共5题；共40分）

36.已知复数

，

.

（1）求 （2）求 （3）设 （4）设

及 及

并比较大小； 并比较大小； ，满足条件 ，满足条件

的点 的点

的轨迹是什么图形？ 的轨迹是什么图形？

37.已知复数z满足 （1）若

（2）求复数z； （3）若 38.已知复数 （1）求 （2）复数 39.设复数 （Ⅰ）若 （Ⅱ）若

40.已知 为复数， 点在第二象限，求实数

，z的实部、虚部均为整数，且z在复平面内对应的点位于第四象限. ，求实数m，n的值.

，求实数m，n的值. （i是虚数单位）是关于x的实系数方程

的值； 满足

是实数，且

，复数 ，求实数 的值. ，求实数

的值.

均为实数（其中 为虚数单位），且复数

的取值范围.

在复平面上对应的

，求复数 ．

的值.

根.

答案解析部分

一、单选题 1.【答案】 C

【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】

【分析】利用复数的乘法运算法则，从而化简求出所求复数。 2.【答案】 D

【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解： 复数

在复平面内对应的点的坐标为：

， ，

，故答案为：C.

位于第四象限． 故答案为：

．

，求出复数

在复平面内对应的点的坐

【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简复数 标，则答案可求． 3.【答案】 B

【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解： 故答案为：B．

【分析】直接利用复数代数形式的运算法则化简求值． 4.【答案】 A

【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】复数 ∴

，

，

，

故答案为：A． 【分析】对复数 5.【答案】 D

【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】因为 象限.

，所以

，则复平面内表示 的点位于第四

进行化简计算，然后根据复数的模长公式，得到答案.

故答案为：D．

【分析】先由已知利用复数的乘除运算得到在的象限. 6.【答案】 C

【考点】二次函数在闭区间上的最值，复数的基本概念，复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】复数z的实部与虚部的差为 当

时，差值最小，此时

，∴

.

，

， 再利用复数的几何意义，即可判断表示 的点所

故答案为：C

【分析】实部与虚部的差为 7.【答案】 C

【考点】复数相等的充要条件 【解析】【解答】设

.

故答案为：C.

【分析】利用待定系数法设复数z，再运用复数的相等求得b. 8.【答案】 A

【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】由题意得：

故答案为：

【分析】根据复数的除法运算可求得 ；根据共轭复数的定义可得到结果. 9.【答案】 D

【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】因为 故答案为：D．

【分析】由复数代数形式的运算法则求出 ，利用共轭复数的定义即可求出 ． 10.【答案】 B

【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】 故答案为：B

【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数11.【答案】 A

的代数式。 .

．

（

），则

即

。利用二次函数性质求得最值，再利用复数除法运算即可.

【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】【解答】复数

满足

，可得z1 ， z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1 ， z2

在复数平面上对应的点关于 轴对称， 故答案为：A.

【分析】根据两复数实数相等，虚部相反，可知对应的点关于x轴对称.

12.【答案】 D

【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】【解答】因为 故答案为：D.

【分析】根据复数的除法运算求出z，结合复数的几何意义，即可确定对应点所在象限. 13.【答案】 A

【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】【解答】因为 故答案为：A.

【分析】根据复数的除法求出z，结合复数的几何意义，确定对应点所在象限即可. 14.【答案】 C

【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解: 故答案为：C.

【分析】根据复数的除法运算求出z，得到即可. 15.【答案】 D

【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】【解答】由于 故答案为：D.

【分析】利用复数的混合运算法则求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系求出复数z的共轭复数。 16.【答案】 B

【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】【解答】 限.

故答案为：B.

，因此复数 对应点的坐标为

，在第二象

，所以

的共轭复数是

，

，

，

，故

，其对应的点为

，它在第一象限，

，所以复数对应的点为

，在第四象限，

【分析】根据复数的乘法求出z，即可确定复数所在象限. 17.【答案】 D

【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】 故答案为：D。

【分析】根据复数的除法求出z，即可得到复数z的虚部. 18.【答案】 D

【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】

所以， 复数 在复平面对应的点的坐标为 故答案为：D。

【分析】根据复数的乘法求出z，得到共轭复数，即可确定功夫深所在象限. 19.【答案】 D

【考点】复数的代数表示法及其几何意义

【解析】【解答】z1+z2=3-4i+（-2+3i）=1-i，则z1+z2在复平面内对应的点（1，-1）位于第四象限． 故答案为：D。

【分析】利用复数加法的运算法则求出复数的和对应的复数，再利用所求复数的实部和虚部求出对应的点的坐标，再利用点的坐标求出点所在的象限位置。 20.【答案】 C

【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】依题意

，故

，其虚部

，

，位于第四象限，

，

，因此，复数 的虚部为 ，

为 ，

故答案为：C.

【分析】根据复数的除法运算和i的方幂的周期性，求出z，写出z的共轭，即可得到虚部. 21.【答案】 A

【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】由题意，复数 所以

故答案为：A．

，则 ，所以

， ，即

或

，

【分析】写出共轭复数，结合复数的乘法，求出a的值即可. 二、填空题 22.【答案】 1

【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解： 且

，

，

，

故答案为：

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简

，再利用复数的乘法计算可得．

，

……

23.【答案】

【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模 【解析】【解答】解：

故答案为：

【分析】利用复数的运算法则计算出 24.【答案】 三

，再根据求模的法则计算即可得出

【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】【解答】 故答案为：三

【分析】分子分母同乘 ,把该复数化简为 以判断该点所在象限。 25.【答案】

的形式，它在复平面内对应的点的坐标为

，由此可

，对应点的坐标为

，位于第三象限，

【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】复数

．

复数 故答案为

的共轭复数为： ．

，则复数

【分析】直接利用复数的四则混合运算化简求解即可． 26.【答案】 5i .

【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算 ∵ 【解析】【解答】故答案为：5i

【分析】利用纯虚数的定义、复数的运算即可得出． 27.【答案】 2或

为纯虚数，∴

，∴

，∴

.

【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】 故答案为：2或 28.【答案】

=

解得

【分析】根据复数的除法运算，结合复数相等，解方程，求出m的值即可. 【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】因为 所以 所以

【分析】根据复数的乘法，求出（1-i）（2-i），结合复数相等，即可求出实数a的值. 29.【答案】 0

【考点】复数的基本概念 【解析】【解答】由题意得，复数 或

，当

时，

（舍去），所以

为纯虚数，则 .

，解得

故答案为：0

【分析】根据纯虚数的实部为0，虚部不为0，解方程组，即可求出实数a的值. 30.【答案】

【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】

为实数

本题正确结果：

【分析】根据复数的乘法，求出31.【答案】 －

， 结合实数的虚部为0，即可求出实数a的值.

，解得：

【考点】复数的基本概念

【解析】【解答】因为复数

.

故答案为

.

是纯虚数，所以有 ，

【分析】根据纯虚数的实部为0，虚部不为0，解方程组即可求出实数m的值. 32.【答案】 1

【考点】复数的基本概念

【解析】【解答】复数i（1﹣i）=1﹣i，复数的实部为：1． 故答案为：1．

【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数 33.【答案】 19

【考点】复数相等的充要条件 【解析】【解答】 所以 所以

故答案为：19.

【分析】根据方程根的特点，代入，结合复数相等，解方程组求出a和b，即可得到a+b的值. 34.【答案】 -3

【考点】复数的基本概念 【解析】【解答】

，即

故答案为：-3.

【分析】先把复数变形整理，得到a的值. 35.【答案】

【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】由题意 所以本题答案为

.

，所以

.

， 再利用实部与虚部互为相反数列式，即可求出

.

的实部与虚部互为相反数，

，解得

是方程

，化简得：

，所以

.

（

）的一个根，

.

， 从而求出复数

的实部。

【分析】由已知利用复数的乘除运算，即可求出z的代数式. 三、解答题

36.【答案】 （1）解：

，

，

∴

.

（2）解： ，

，

∴

.

（3）解：由 及（1）知 .

表示

所表示的圆外部所有点组成

为圆

因为 的几何意义就是复数 对应的点到原点的距离，所以 的集合，

表示

所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以

心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周），如图所示．

（4）解：由

及（1）知

.

表示

所表示的圆外部所有点组成

为圆

因为 的几何意义就是复数 对应的点到原点的距离，所以 的集合，

表示

所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以

心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周），如图所示．

【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算 【解析】【分析】（1）利用复数的模的计算公式求出 中所求的模

、

可知 的轨迹.

或 时 ，解得

，

. ，

.

、

即可解答.（2）根据 的几何意义及（1）

37.【答案】 （1）解：由（1）知 当 因为

（2）解：设

，则

时，

，所以

；当

， ，

，

因为z在复平面内对应的点位于第四象限，所以 所以 所以

（3）解：由（1）知 当 因为

时，

，所以

或 ；当

， 时 ，解得

或 或

， .

. ，

.

【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算，复数求模 【解析】【分析】（1）利用已知条件，设出复数z，通过 可复数z；（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m，n的值. 38.【答案】 （1）解：实系数方程 是

，根据韦达定理可得

，得

又

得

,所以

或

，因此

或w=

（2）解：设

虚根是互为共轭复数的，所以由共轭虚根定理另一根

及所对点所在位置求出即

【考点】复数的基本概念

【解析】【分析】（1）根据韦达定理，结合共轭复数的特点，求出p和q，即可得到p+q的值； （2）采用待定系数法，根据复数的乘法运算，结合复数的模，解方程，求出a和b，即可得到复数w. 39.【答案】 解：（Ⅰ） 因为

，所以，

=

，

；

=

=

（Ⅱ）解法1： ，所以 ，因此， ；

解法2： ，则 ，

所以 。

【考点】复数代数形式的混合运算

【解析】【分析】（1）根据复数的加法和乘法运算，求出可求出实数a的值； （2）根据复数的除法，求出可求出a和b的值.

40.【答案】 解：由题意 为复数，

和

均为实数，

， 结合两复数相等则实部与实部相等，虚部与虚部相等，解方程组，即

， 结合实数的虚部为0，解方程，即

可设 ，则 ，

因为 复数

为实数，可得 ，解得 ，复数

，

.

复平面上对应的点在第二象限，可得： 【考点】复数的代数表示法及其几何意义

，解得

【解析】【分析】采用待定系数法，根据复数的四则运算，求出复数z，结合复数的几何意义，解不等式，即可求出实数m的取值范围.