材料力学第三版答案

2-1 试画图示各杆的轴力图。

题2-1图

解:各杆的轴力图如图2-1所示。

图2-1

2-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图a与b所示分布载荷均沿杆轴

均匀分布，集度为q。

题2-2图

(a)解:由图2-2a(1)可知， F(x),2qa,qxN

轴力图如图2-2a(2)所示， 1 F,2qaN,max

图2-2a

(b)解:由图2-2b(2)可知， F,qaR F(x),F,qaN1R

F(x),F,q(x,a),2qa,qxN2R22轴力图如图2-2b(2)所示， F,qaN,max

图2-2b

22-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm，载荷F=50kN。试求图示斜截

面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。

题2-3图

解:该拉杆横截面上的正应力为

3F50，10N8ζ ,,,1.00，10Pa,100MPa,62A500，10m ,α,,50，斜截面m-m的方位角故有 2

22, ζ,ζcosα,100MPa,cos(,50),41.3MPa, ζ,η,sin2α,50MPa,sin(,100),,49.2MPa α2 杆内的最大正应力与最大切应力分别为 ζ,ζ,100MPa max ζη,,50MPa max2

2-5 某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定材料的弹性模量E、比例极限、屈服极限、强度极限与伸长率，并判断该材料属,,,,psb于何种类型(塑性或脆性材料)。

题2-5

解:由题图可以近似确定所求各量。

6Δζ220，10Pa9 E,,,220，10Pa,220GPaΔε0.001 ζ,220MPa , ζ,240MPaps

ζ,440MPaδ,29.7% , b 该材料属于塑性材料。

2-7 一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。若杆径d =10mm，杆长

l =200mm，杆端承受轴向拉力F = 20kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。

3

题2-6图

3F4，20，10N8解: ζ,,,2.55，10Pa,255MPa22Aπ，0.010m 查上述曲线，知此时的轴向应变为 ζ,ε ε,0.0039,0.39%轴向变形为

,4 Δl,lε,(0.200m)，0.0039,7.8，10m,0.78mm 拉力卸去后，有

ε,0.003 ， ε,0.00026ep故残留轴向变形为 ,5Δl,lε,(0.200m)，0.00026,5.2，10m,0.052mm p

2-9 图示含圆孔板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F =32kN，板宽b =100mm，

板厚15mm，孔径d =20mm。试求板件横截面上的最大拉应力(考虑应力集中)。 ,,

题2-9图 解:根据

d/b,0.020m/(0.100m),0.2 查应力集中因数曲线,得 K,2.42 根据

ζFmaxζ,K, ， nζ(b,d)δn得 4

3KF2.42，32，10N7ζ,Kζ,,,6.45，10Pa,.5MPa maxn2(b,d)δ(0.100,0.020)，0.015m

2-10 图示板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F=36kN，板宽b=90mm，b=60mm，12

板厚=10mm，孔径d =10mm，圆角半径R =12mm。试求板件横截面上的最大拉应力(考虑,

应力集中)。

题2-10图 解:1.在圆孔处 根据

d0.010m ,,0.1111b0.090m1 查圆孔应力集中因数曲线，得 K,2.6 1故有

3KF2.6，36，10N81ζ,Kζ,,,1.17，10Pa,117MPa max1n21(b,d)δ(0.090,0.010)，0.010m1

2(在圆角处 根据

bD0.090m1,,,1.5 db0.060m2

RR0.012m,,,0.2 db0.060m2查圆角应力集中因数曲线，得 K,1.74 2故有

3KF1.74，36，10N82ζ,Kζ,,,1.04，10Pa,104MPa max2n22bδ0.060，0.010m2

3. 结论

ζ,117MPa (在圆孔边缘处) max

2-14图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆的横截面面积均为A，许用应力均为

[,]，试确定载荷F的许用值[F]。 5

题2-14图

解:先后以节点C与B为研究对象，求得各杆的轴力分别为 F,2FN1

F,F,F N2N3根据强度条件，要求

2F ,[,]A由此得 []A, [F] ,2

2-15 图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[]。若在节点B和C的位,

置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的值(即确定节点A的最佳位置)。 ,

题2-15图 解:1.求各杆轴力

ABBC设杆和的轴力分别为和，由节点B的平衡条件求得 FFN1N2 FF,， F,Fctanα N1N2sinα 2.求重量最轻的,值 由强度条件得

FF A,， A,ctanα12,[ζ]sin[ζ] 6

结构的总体积为

FlFlFl2 V,Al，Al,,，ctanα,(，ctanα)1122[ζ]sinαcosα[ζ][ζ]sin2α

由

dV,0 dα得

23cosα,1,0 由此得使结构体积最小或重量最轻的值为 α ,,α,5444 opt

2-16 图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[]。若节点A和C间的指,

定距离为 l，为使结构重量最轻，试确定的最佳值。 ,

题2-16图 解:1.求各杆轴力

由于结构及受载左右对称，故有 FFF,, N1N22sinθ 2.求的最佳值 , 由强度条件可得

FAA ,,122[ζ]sinθ结构总体积为

FlFlV2Al ,,,,11[ζ]sinθ2cosθ[ζ]sin2θ 由

dV,0 dθ得

cos2θ,0由此得的最佳值为 , ,θ,45 opt 7

2-17图示杆件，承受轴向载荷F作用。已知许用应力[,],120MPa，许用切应力[,]

,90MPa，许用挤压应力[,],240MPa，试从强度方面考虑，建立杆径d、墩头直径D及其bs

高度h间的合理比值。

题2-17图

解:根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F的许用值分别为 2πd (a) [][,]F,t4 22π()D,d (b) [][,]F,bbs4 [F],πdh[,] (c) s 理想的情况下，

[F],[F],[F] tbs在上述条件下，由式(a)与(c)以及式(a)与(b)，分别得 ,[] h,d,4[] ,[]D,，d1 [,]bs 于是得

,,[][]D:h:d,1，::1 ,,[]4[]bs 由此得

D:h:d,1.225:0.333:1

2-18 图示摇臂，承受载荷F与F作用。已知载荷F=50kN，F=35.4kN，许用切1212

[,]应力[]=100MPa，许用挤压应力=240MPa。试确定轴销B的直径d。 ,bs

8 题2-18图

解:1. 求轴销处的支反力 由平衡方程与，分别得 F,0F,0,,yx , F,F,Fcos45,25kNBx12

, F,Fsin45,25kNBy2由此得轴销处的总支反力为 22 F,25，25kN,35.4kNB 2.确定轴销的直径

由轴销的剪切强度条件(这里是双面剪) F2FsB η,,,[η]2Aπd得

32F2，35.4，10Bd,,m,0.015m 6,[η],，100，10 由轴销的挤压强度条件 FFbB ζ,,,[ζ]bsbs,,dd得

3F35.4，10Bd,,m,0.01475m 6δ[ζ]0.010，240，10bs 结论:取轴销直径。 d,0.015m,15mm

2-19图示木榫接头，承受轴向载荷F = 50 kN作用，试求接头的剪切与挤压应力。

题2-19图

解:剪应力与挤压应力分别为 350，10N,,,5 MPa (0.100m)(0.100m) 350，10N,,,12.5 MPa bs(0.040m)(0.100m) 9

2-20图示铆接接头，铆钉与板件的材料相同，许用应力[,] =160MPa，许用切应力

[,] = 120 MPa，许用挤压应力[, ] = 340 MPa，载荷F = 230 kN。试校核接头的强度。 bs

题2-20图 解:最大拉应力为

3230，10N,,,153.3 MPa max2(0.170,0.020)(0.010)(m)最大挤压与剪切应力则分别为

3230，10N ,,,230 MPabs5(0.020m)(0.010m) 34，230，10N,,,146.4 MPa 25，π(0.020m)

2-21 图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F = 45kN作

用。已知木杆的截面宽度b =250mm，沿木纹方向的许用拉应力[]=6MPa，许用挤压应力,[,]=10MPa，许用切应力[]=1MPa。试确定钢板的尺寸与l以及木杆的高度h。 ,,bs

题2-21图

解:由拉伸强度条件 F ζ,,[ζ]b(h,2δ) 得

3F45，10 h,2δ,,m,0.030m (a) 6b[ζ]0.250，6，10 由挤压强度条件 10

Fζ,,[ζ] bsbs2bδ 得

3F45，10δ,,m,0.009m,9mm (b) 62b[ζ]2，0.250，10，10bs 由剪切强度条件 Fη,,[η] 2bl 得

3F45，10 l,,m,0.090m,90mm6,2b[]2，0.250，1，10取代入式(a)，得 δ,0.009m

h,(0.030，2，0.009)m,0.048m,48mm 结论:取

，，。 δ,9mml,90mmh,48mm2-22 图示接头，承受轴向载荷F作用。已知铆钉直径d=20mm，许用应力

[,][]=160MPa，许用切应力[]=120MPa，许用挤压应力=340MPa。板件与铆钉的材料相,,bs同。试计算接头的许用载荷。

题2-22图 解:1.考虑板件的拉伸强度 由图2-22所示之轴力图可知， F,F， F,3F/4 N1N2 FFN1ζ,,,[ζ] 1A(b,d)δ1

65 F,(b,d)δ[ζ],(0.200-0.020)，0.015，160，10N,4.32，10N,432kN F3FN2ζ,,,[ζ] 2A4(b,2d)δ2

4465F,(b,2d)δ[ζ],(0.200,0.040)，0.015，160，10N,5.12，10N,512kN 33 11

图2-22

2.考虑铆钉的剪切强度 FF, s8

F4Fs η,,,[η]2A8πd

2265 F,2πd[η],2，π，0.020，120，10N,3.02，10N,302kN 3(考虑铆钉的挤压强度 F F,b4 FFb,,,,[,]bsbs d4 d,,

65 F,4,d[ζ],4，0.015，0.020，340，10N,4.08，10N,408kNbs 结论:比较以上四个F值，得 [F],302kN

2-23 图a所示钢带AB，用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接，钢带承受

轴向载荷F作用。已知载荷F=6kN，带宽b=40mm，带厚,=2mm，铆钉直径d=8mm，孔的

边距a=20mm，钢带材料的许用切应力[,]=100MPa，许用挤压应力[,]=300MPa，许用拉应力 bs[,]=160MPa。试校核钢带的强度。

题2-23图

解:1(钢带受力分析 12

分析表明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影， 通过该面的形心时，通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。

铆钉孔所受挤压力F等于铆钉剪切面上的剪力，因此，各铆钉孔边所受的挤压力F相同，bb钢带的受力如图b所示，挤压力则为

3F6，10N3 F,,,2.0，10Nb33 孔表面的最大挤压应力为

3F2.0，10N8b,,,,,1.25，10Pa,125MPa,[,] bsbsd(0.002m)(0.008m), 在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪(图b)，切应力为 3F2.0，10N7b,,,,,2.5，10Pa,25MPa,[,] 2a2(0.002m)(0.020m),

钢带的轴力图如图c所示。由图b与c可以看出，截面1-1削弱最严重，而截面2-2的轴力最大，因此，应对此二截面进行拉伸强度校核。

截面1-1与2-2的正应力分别为

3FF22(6，10N)N1,,,,,,,83.3MPa,, 1Abd3(,2)3(0.040m,2，0.008m)(0.002m),1

3FF6，10NN2,,,,,,,93.8MPa,, 2Abd(,)(0.040m,0.008m)(0.002m),2 13

第三章 轴向拉压变形

3-2 一外径D=60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆，杆长l = 400mm，两端承受轴

向拉力F = 200kN作用。若弹性模量E = 80GPa，泊松比=0.30。试计算该杆外径的改变量,,D及体积改变量,V。

解:1. 计算,D 由于

F,FDΔ,ε,， ε,,,,, ,,EADEA故有

344，0.30，200，10，0.060FDFD,,,Δ,,,,,,,mDεD22922 EAπ(,)80，10，π，(0060,0.020EDd.)

,5 ,,1.79，10m,,0.0179mm 2.计算,V

变形后该杆的体积为

π222,,,,,,,V,lA,(l，,l)[(D，εD),(d，εd)],Al(1，ε)(1，ε),V(1，ε，2ε) 4

故有

3200，10，0.400Fl3,,Δ,,,(，2),(1,2),m(1,2，0.3)VVVVεεμ9 E80，10 ,733 ,4.00，10m,400mm

,l3-4 图示螺栓，拧紧时产生=0.10mm的轴向变形。已知:d = 8.0mm，d = 6.8mm，12

d= 7.0mm;l=6.0mm，l=29mm，l=8mm;E = 210GPa，[]=500MPa。试求预紧力F，并校,3 123

核螺栓的强度。

题3-4图 F解:1.求预紧力

F各段轴力数值上均等于，因此，

llllllFF4331212l,，，,，，Δ()() 222EAAAEπddd123123由此得 14

,93πEΔlπ，210，10，0.10，104 F,,N,1.865，10N,18.65kNl0.0060.0290.008ll3124，(，，)4(，，)2222220.0080.00680.007ddd123

2.校核螺栓的强度

3F4F4，18.65，10N8ζ,,,,5.14，10Pa,514MPa max222Aπdπ，0.0068mmin2 此值虽然超过，但超过的百分数仅为2.6,，在5,以内，故仍符合强度要求。 [ζ]

3-5 图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应

-4-42变分别为= 4.0×10与= 2.0×10。已知杆1与杆2的横截面面积A= A=200mm，弹性εε1212

模量E= E=200GPa。试确定载荷F及其方位角之值。 ,12

题3-5图 解:1.求各杆轴力

9,4, F,EεA,200，10，4.0，10，200，10N,1.6，10N,16kNN1111 9,4,63 F,EεA,200，10，2.0，10，200，10N,8，10N,8kNN2222 F2.确定及θ之值

AF,0由节点的平衡方程和得 F,0,,yx ,, Fsin30，Fsinθ,Fsin30,0N2N1

,, Fcos30，Fcos30,Fcosθ,0N1N2化简后，成为 F,F,2Fsinθ (a) N1N2及 15

(b) 3(F，F),2FcosθN1N2 联立求解方程(a)与(b)，得

3F,F(16,8)，10N1N2 tanθ,,,0.192533(F，F)3(16，8)，10N1N2 由此得

,,θ,10.,10.9

3FF,(16,8)，104N1N2 F,,N,2.12，10N,21.2kN,θ.2sin2sin10

3-6图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为,，长度为l，左、右端

的宽度分别为b与b，弹性模量为E。试计算板的轴向变形。 12

题3-6图

解:对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为

llFF (a) Δl,dx,dx,,00,EA(x)Eb(x)由图可知，若自左向右取坐标，则该截面的宽度为 x

b,b21 b(x),b，x1l代入式(a)，于是得

lbF1Fl2,, Δldxln ,0,bb,EEδ(bb)b,,21211，δbx,,1l,,

3-7 图示杆件，长为l，横截面面积为A，材料密度为，弹性模量为E，试求自重,下杆端截面B的位移。

16 题3-7图

:自截面向上取坐标，处的轴力为 解Byy F,,gAy N

该处微段dy的轴向变形为

gAygy,,dΔ,dy,dy yEAE于是得截面B的位移为 2l ggl,, Δydy(,),,Cy, 0E2E

3-8 图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩擦力所支

2持。设沿地桩单位长度的摩擦力为f，且f = ky，式中，k为常数。已知地桩的横截面面积为A，

弹性模量为E，埋入土中的长度为l。试求地桩的缩短量。 ,

题3-8图

解:1. 轴力分析 摩擦力的合力为

3l kl2 dd ,,,Ffykyyy,,l 03根据地桩的轴向平衡， 3kl ,F3 由此得 3F (a) k,3l 截面处的轴力为 y

3yy ky,,,2dd ,,,FfykyyN,, 0 03 2. 地桩缩短量计算 截面y处微段dy的缩短量为 17

FdyN dδ,EA积分得

4ll Fdykkl3N δydy,,,,, 0 0EA3EA12EA a)代入上式，于是得 将式( Flδ, 4EA

3-9 图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度(即

产生单位轴向变形所需之力)为k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。

题3-9图

解:载荷F作用后，刚性梁倾斜如图(见图3-9)。设钢丝绳中的轴力为，其总伸长ABFN

为。 Δl

图3-9

以刚性梁为研究对象，由平衡方程得 M,0,A Fa，F(a，b),F(2a，b) NN 由此得 F,FN

由图3-9可以看出， ,,, (2a，b)y

Δl,Δ，Δ,,a，,(a，b),,(2a，b)yy12 可见， Δ,Δl (b) y k根据的定义，有 18

F,kΔl,kΔNy 于是得 FFN Δ,,ykk

3-10 图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点A的水平与铅垂

位移。

题3-10图 (a)解:

利用截面法，求得各杆的轴力分别为 F,F,F (拉力) N1N2 F,2F (压力)N4 F,0N3

于是得各杆的变形分别为 Fl,l,,l, (伸长) 12EA 2F,2l2Fl ,l,, (伸长)4EAEA ,l,03

如图3,10(1)所示，根据变形,l与,l确定节点B的新位置B’,然后，过该点作长为l+,l142

的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A点的铅垂线相交于A’,此即结构变形后节点A的新

位置。

于是可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为 Δ,0Ax

FlFlFlFl2Δlll，，,,，2,，,,，2，,21，2 Ay142EAEAEAEA 19

图3-10

(b)解:显然，杆1与杆2的轴力分别为 F,F (拉力) N1

F,0N2于是由图3,10(2)可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为 Fl,,,Δl Ax1EA Fl,,,Δl Ay1EA

3-11 图示桁架ABC，在节点B承受集中载荷F作用。杆1与杆2的弹性模量均为E，

22横截面面积分别为A=320mm与A=2 580mm。试问在节点B和C的位置保持不变的条件下，12

为使节点B的铅垂位移最小，应取何值(即确定节点A的最佳位置)。 ,

题3-11图 解:1.求各杆轴力

由图3-11a得

FF,， F,Fctanθ N1N2sinθ 20

图3-11 2.求变形和位移 由图3-11b得

Fl2FlFlFlctanθN11N2222 Δl,,， Δl,,12EAEAsin2θEAEA1122及 2llFlΔΔθ2ctan122Δ,，,(，) ByθθEAθθAsintansin2sin12 3.求的最佳值 θ 由dΔ/dθ,0，得 By

2(2cos2θsinθ，cosθsin2θ),22ctanθ,cscθ,,0 22AAsin2θsinθ12由此得

32 2Acosθ,A(1,3cosθ),012 将的已知数据代入并化简，得 A与A12

32cosθ，12.09375cosθ,4.03125,0 解此三次方程，舍去增根，得 cosθ,0.5967 θ由此得的最佳值为 ,θ,55.6 opt

3-12 图示桁架，承受载荷F作用。设各杆的长度为l，横截面面积均为A，材料的

n应力应变关系为,=B,，其中n与B为由试验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。

21

题3-12图

解:两杆的轴力均为 FF, N2cos, 轴向变形则均为

nn,Fl,,, lll,,,,,,,,B2Acos,B于是得节点C的铅垂位移为 nlFl, Δ ,,Cynnn，1cos,2ABcos,

3-13 图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在

2梁的中点C承受集中载荷F作用。已知载荷F = 20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm，

弹性模量E = 200GPa，梁长l = 1 000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。

题3-13图 解:1.求各杆轴力 由，得 F,0,x F,0N2 F,0由，得 ,y FF,F,,10kN N1N32 2(求各杆变形 22 Δl,02

3Fl10，10，1.000-4N1 Δl,,m,5.0，10m,0.50mm,Δl13,96EA200，3(求中点的位移 C 由图3-13易知，

，100，1010

图3-13

Δ,Δl,0.50mm(,)， Δ,Δl,0.50mm(,) x1y1

3-14 图a所示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试求节

点B与C间的相对位移。 ,B/C

题3-14图

解:1. 内力与变形分析

利用截面法，求得各杆的轴力分别为 F (拉力)F,F,F,F,N1N2N3N42 F,F (压力) N5

于是得各杆得变形分别为 Fl ,l,,l,,l,,l, (伸长)12342EA 23

F,2l2Fl ,l,, (缩短)5EAEA 2. 位移分析

如图b所示，过d与g分别作杆2与杆3的平行线，并分别与节点C的铅垂线相交于e

与h，然后，在de与gh延长线取线段,l与,l，并在其端点m与n分别作垂线，得交点C’，32

即为节点C的新位置。 可以看出，

l,Fl，，,,2，2FlFl2,,5Δ，，CiiC'l,2，,2，2,,2，2, ,,,,B/C3EAEA22,,EA2,,

3-15 如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求载荷作用点

沿载荷作用方向的位移。

题3-15图

(a)解:各杆编号示如图3-15a，各杆轴力依次为 221 F,F， F,,F， F,FN1N2N3222该桁架的应变能为

232FlFl1121221，22iiNVFlFl(2)(),,,，，, ,εEAEAEA2222424i,1

图3-15

依据能量守恒定律， FΔ,V ε2 24 最后得

2(221)Fl，2Fl221，(,) Δ(),,,F2EA44EA (b)解:各杆编号示如图b 列表计算如下: 2 ilFlFiiNiiN2F1 lFl 2 0 0 l 2F3 lFl 2F4 lFl 25 2l,2F22Fl 2 (3，22)Fl, 于是，

225Fl(322)Fl，iiNV,, ,ε2EA2EAi,1 依据能量守恒定律， FΔ,V ε2 可得

(3，22)Fl Δ, (,)EA

3-16 图示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法

求节点B与C间的相对位移,。 B/C

题3-16图

解:依据题意，列表计算如下: 2Fl F l iiiNiNi2l1 2F/2Fl/2 2l2 2F/2Fl/2 25

23 l2F/2Fl/2 24 l2F/2Fl/2 2,F5 2l2Fl 2 (2，2)Fl, 由表中结果可得

225Fl(22)Fl，iiNV,, ,ε2EA2EAi,1 依据 W,V, 得

Fl(2，2)(,,) Δ,B/CEA

3-17 图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为,，长度为l，左、右

端的宽度分别为b与b，弹性模量为E，试用能量法计算板的轴向变形。 12

题3-17图

解:对于变截面拉压板件，应变能的表达式为

22llFFNNV,dx,dx (a) ,,,00,2EA(x)2Eb(x)由图可知，若自左向右取坐标，则该截面的宽度为 x

b,b21 b(x),b，x1l将上式代入式(a),并考虑到,于是得 F,FN 22 lb1FFl2,,Vdxln ε, 0,bb,2E2Eδ(bb)b,,21211，δbx,,1l,, 设板的轴向变形为,l，则根据能量守恒定律可知， FΔl,V ε2 或

2bFΔlFl2,ln 22Eδ(b,b)b211 26 由此得

bFl2 Δl,lnEδ(b,b)b211

3-19 图示各杆，承受集中载荷F或均布载荷q作用。各杆各截面的的拉压刚度均

为EA，试求支反力与最大轴力。

题3-19图

(a)解:杆的受力如图3-19a(1)所示，平衡方程为

F,0, F，F,F,F,0 ,xAxBx一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。

图3-19a

AC，CD与DB段的轴力分别为

F,F, F,F,F, F,F,2F N1AxN2AxN3Ax由于杆的总长不变，故补充方程为 FaF,FaF,2Fa，，，，AxAxAx ,l,，，,0EAEAEA得 F,F,0 Ax 由此得 F,FAx F,2F,F,F BxAx

杆的轴力图如3-19a(2)所示，最大轴力为 27

F,FN,max

(b)解:杆的受力如图3-19b(1)所示，平衡方程为

F,0, qa,F,F,0,xAxBx一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。

图3-19b

AC与CB段的轴力分别为

F,F, F,F,qx N1AxN2Ax由于杆的总长不变，故补充方程为 aFa1Ax ，，,l,，F,qxdx,0Ax,0EAEA得 2,,qa12Fa,,0 ,,AxEA2,,由此得 qa,F Ax4

3qaFqaF,,, BxAx4

杆的轴力图如3-19b(2)所示，最大轴力为 3qaF, Nmax4

3-20图示结构，杆1与杆2的横截面面积相同，弹性模量均为E，梁BC为刚体，

载荷F=20kN，许用拉应力[,]=160MPa, 许用压应力[,]=110MPa，试确定各杆的横截面面积。 tc

28 题3-20图

解:容易看出，在载荷F作用下，杆2伸长，杆1缩短，且轴向变形相同，故F为拉力， N2

F为压力，且大小相同，即 N1

F,F N2N1以刚性梁BC为研究对象，铰支点为矩心，由平衡方程 M,0, F,a，F,a,F,2a,0,N2N1 由上述二方程，解得 F,F,F N2N1根据强度条件，

3F20，10N,42N1,,,1.818，10mA 16,[]110，10Pac 3F20，10N,42N2,,,1.25，10mA 26,[]160，10Pat 取

2 A,A,182mm12

3-21 图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相同，试求各杆轴

力。

题3-21图

(a)解:此为一度静不定桁架。

F,0AB设以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆为研究对象，由，得 F,yN,AB

(a) F，F,FN,BCN,AB

A后取节点为研究对象，由和依次得到 F,0F,0,,yx 29

(b) F,FN,ADN,AG及 , (c) 2Fcos45,FN,ADN,AB

A在节点处有变形协调关系(节点铅垂向下) A ΔlAD (d) Δl,Δl,,2ΔlBCABAD,cos45物理关系为

FlFlF2lBCABADN,N,N, (e) Δl,， Δl,， Δl,,ΔlBCABADAGEAEAEA将式(e)代入式(d)，化简后得

, F,F,2F(d)N,BCN,ABN,AD ,(a)， (c)联解方程和，得 (d)

21222,,(拉)， (压)， (拉) F,FFFFFF,,,N,BCN,ABN,ADN,AG222 (b)解:此为一度静不定问题。 A的平衡，由F,0，得 考虑小轮,y , Fsin45,F,0N1 由此得 F,2FN1

FA在作用下，小轮沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，，故有 Δl,02

F,0N2

的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。 FN1

3-22 图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为

[]=40MPa，[]=60MPa，[]=120MPa，弹性模量分别为E=160GPa，E=100GPa，,,,12123

E=200GPa。若载荷F=160kN，A= A= 2A，试确定各杆的横截面面积。 3123 30

题3-22图 解:此为一度静不定结构。节点处的受力图和变形图分别示如图3-22a和b。 C

图3-22 由图a可得平衡方程 3 (a) F0FF,，,,xN1N22 10， F,F，F,F (b) ,yN2N32 由图b得变形协调方程为

Δl,2 (c) Δlctan30，,Δl13,sin30根据胡克定律，有 FlFlFlFlFlFlN11N11N22N21N33N31Δl,,， Δl,,， Δl,, (d)123EA2EAEAEA3EA3EA111322332333

将式(d)代入式(c)，化简后得补充方程为

15F，32F,8F(c') N1N2N3联解方程(a)，(b)和(c’)，并代入数据，得 F,22.6kNF,26.1kNF,146.9kN(压)， (拉)， (拉) N1N2N3根据强度要求，计算各杆横截面面积如下:

3F22.6，102,422N1A,,m,5.65，10m,565mm 16ζ[]40，101 3F26.1，102,422N2A,,m,4.35，10m,435mm 26ζ[]60，102 31

3F146.9，102,322N3A,,m,1.224，10m,1224mm 36ζ[]120，103 根据题意要求，最后取 2 A,A,2A,2450mm123

3-23图a所示支架，由刚体ABC并经由铰链A、杆1与杆2固定在墙上，刚体在C点处承受铅垂载荷F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同，分别为l=100

2mm，A=100 mm，E=200 GPa。设由千分表测得C点的铅垂位移,,,,,,, mm，试确定载荷Fy与各杆轴力。

题3-23图 解:1. 求解静不定

在载荷F作用下，刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的变形与受力如图b所示。显然，本问题具有一度静不定。

由平衡方程，得 M,0,A

FN2 (a) F，,F,0N12

由变形图中可以看出，变形协调条件为 ,l,2,l (b) 12 根据胡克定律，

FlFlN1N2ll (c) Δ,, Δ,12EAEA 将上述关系式代入式(b)，得补充方程为 F,2F N1N2

联立求解平衡方程(a)与上述补充方程，得 42FF, F,F, (d) N1N255

2. 由位移,确定载荷F与各杆轴力 y

变形后，C点位移至C’(CC’,AC)(图b)，且直线AC与AB具有相同的角位移,，因此，

32

C点的总位移为

AC ,,CC',,l,2,l11AB又由于 ,,2, y由此得 ,l,,1y

将式(c)与(d)的第一式代入上式，于是得

,,9623EA5,5(200，10Pa)(100，10m)(0.075，10m)y4F,,,1.875，10N ,3l44(100，10m)并从而得

43 F,1.5，10N, F,7.5，10NN1N2

23-24图示钢杆，横截面面积A=2500mm ，弹性模量E=210GPa，轴向载荷F=200kN。

试在下列两种情况下确定杆端的支反力。

(a) 间隙,=0.6 mm; =0.3 mm。 (b) 间隙,

题3-24图

解:当杆右端不存在约束时，在载荷F作用下，杆右端截面的轴向位移为 3(200，10N)(1.5m)Fa,,,,0.57mm F9,62EA(210，10Pa)(2500，10m) 当间隙,=0.6 mm时，由于，仅在杆C端存在支反力，其值则为 ,,,F F,F,200 kN Cx

当间隙,=0.3 mm时，由于，杆两端将存在支反力，杆的受力如图3-24所示。 ,,,F

图3-24 杆的平衡方程为 33

F,F,F,0 BxCx补充方程为 F,a2FaBx ,,,EAEA由此得

F,EA,,FBx22a 9,623(0.0003m)(210，10Pa)(2500，10m)200，10N ,,,47.5 kN22(1.5m)而C端的支反力则为

F,F,F,200 kN,47.5 kN,152.5 kN CxBx

3-25 图示两端固定的等截面杆AB，杆长为l。在非均匀加热的条件下，距A端x

22处的温度增量为，式中的为杆件B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨,T,,Tx/l,TBB

,胀系数分别为E与。试求杆件横截面上的应力。 l

题3-25图

解:1.求温度增高引起的杆件伸长

dx此为一度静不定问题。假如将B端约束解除掉，则在处的杆微段就会因温升而有一x个微伸长

2αΔTxlB d(Δl),αΔTdx,dxtl2l全杆伸长为 2 lΔΔαTxαTllBlBΔd ,, lxt,2 03l 2(求约束反力

FF设固定端的约束反力为，杆件因作用而引起的缩短量为 FlFlN lΔ,,FEAEA 由变形协调条件 Δl,Δl Ft 34 可得

ΔΔαTlEAαTEAlBlB F,,,33l 3(求杆件横截面上的应力 ΔFEαTFNlB ζ,,,3AA

3-26 图示桁架，杆BC的实际长度比设计尺寸稍短，误差为,。如使杆端B与节点

G强制地连接在一起，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。

题3-26图

解:此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号1~5。由强制装配容易判断，

杆1~3受拉，杆4和5受压。装配后节点和的受力图分别示如图3-26a和b。 GC

图3-26

根据平衡条件，由图a可得 F,F,F (a) N1N2N3由图b可得 , (b) F,F ， F,2Fcos30,3FN4N5N3N4N4 变形协调关系为(参看原题图)

ΔlΔl14 (c) Δ,，，Δl3,,cos60cos30依据胡克定律，有

FlNii(i,1~5) (d) lΔ,iEA 将式(d)代入式(c)，得补充方程 35

2Fl2F3lFlN1N4N3,，， Δ (e) EAEA3EA

联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b)，最后得 (923)EA(332)EA,, FΔ, FΔ,,N3N423l23l 即

(923)EA, (拉) FFFΔ,,,N,BCN,GDN,GE23l (332)EA, (压) FFΔ,,N,CDN,CE23l

3-27图a所示钢螺栓，其外套一长度为l的套管。已知螺栓与套管的横截面面积分别为A与A，弹性模量分别为E与E，螺栓的螺距为p。现将螺母旋紧1/5圈，试求螺栓与btbt

套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。

题3-27图

解:首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽l处旋转1/5圈，即旋进,=p/5的距离。然后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓将受拉，而套管则受压。

设螺栓所受拉力为F，伸长为,l，套管所受压力为F，缩短为,l，则由图b与c可知，NbbNtt平衡方程为

F,F,0 (a) NbNt 而变形协调方程则为 ,l，,l,, bt

利用胡克定律，得补充方程为 FlFlNbNt，,, (b) AEAEbbtt

最后，联立求解平衡方程(a)与补充方程(b)，得螺栓与套管所受之力即预紧力为

AE,bbF,F,F, N0NbNt，，l1，k 式中， 36

AEbb k, AEtt

3-28 图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管

组成，二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高40?，试计算铆钉剪

切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为E= 200GPa与E=100GPa，线膨胀系数分别为s c

-6-1-6-1,lc=12.5×10?与=16×10?。 ,ls

题3-28图

解:设温度升高时钢杆和铜管自由伸长量分别为和，由于二者被铆钉连在一起，,TδδTsTc变形要一致，即变形协调条件为

δ，Δl,δ,Δl TssTcc 或写成

Δl，Δl,δ,δ scTcTs

这里，伸长量和缩短量均设为正值。 ΔlΔlsc 引入物理关系，得

FlFlNsNc ，,(α,α)lΔT lclsEAEAsscc 将静力平衡条件代入上式，得 F,F,FNsNc EAEAsscc F,(α,α)ΔT lclsEA，EAsscc 注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为

FEAEA(α,α)ΔTFSsscccsllη,,, A2A2A(EA，EA)sscc由此得 929226,200，10，0.030，100，10(0.050,0.030)(16,12.5)，10，40N,,2929222 2，0.010[200，10，0.030，100，10(0.050,0.030)]m

7 ,5.93，10Pa,59.3MPa

3-29图示结构，杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA，梁BD为刚体，试在下列两

37

种情况下，画变形图，建立补充方程。

(1) 若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为,; (2) 若杆1的温度升高,T，材料的热膨胀系数为,。 l

题3-29图

,,,,DD,,(1)解:如图3-29(1)a所示，当杆2未与刚性杆BD连接时，下端点位于D，即。

,,当杆2与刚性杆BD连接后，下端点铅垂位移至，同时，杆1的下端点则铅垂位移至。DC

,,,,过作直线C’e垂直于杆1的轴线，显然，即代表杆1的弹性变形，同时，，CCe,ΔlDD,Δl12即代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(1)b所示。

图3-29(1) 可以看出， ,,DD,2CC

即变形协调条件为 ,,Δl,2,2Δl21 而补充方程则为 Fl4Fl21 ,,,,0EAEA 或

EA,F，4F,,0 21l

(2)解:如图3-29(2)a所示，当杆1未与刚性杆BD连接时，由于其温度升高，下端点位

,,,,,于，即。当杆1与刚性杆BD连接后，下端点C铅垂位移至，而杆2的CCCC,,2lΔTl

,,,,,,D下端点D则铅垂位移至。过作直线C’e垂直于直线，显然，即代表杆1CCCeC,Δl1

38

,的弹性变形，同时，，代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受DD,Δl2

拉，刚性杆BD的受力如图3-29(2)b所示。

图3-29(2) 可以看出，

,,DD,2CC 故变形协调条件为

，，Δl,2,2,2lΔT,Δl2l1而补充方程则为 ,,FlF,2l21,,,,222lΔT, l,,EAEA,,或 F，4F,4EA,ΔT,0 21l

3-30 图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A，E

与[]，试确定该桁架的许用载荷[F]。为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度l变为,

l，Δ。试问当,为何值时许用载荷最大，其值[F]为何。 max

题3-30图

解:此为一度静不定问题。

C节点处的受力及变形示如图3-30a和b。 39

图3-30

由图a得平衡方程为

, (a) F,F， 2Fcos30，F,FN1N2N1N3 由图b得变形协调条件为

, (b) Δl,Δlcos3013依据胡克定律,有 FlNii(i,1,2,3) (c) lΔ,iEA

将式(c)代入式(b)，化简后得补充方程为 4 (b’) F,FN3N13

将方程(b’)与方程(a)联解，得 34F,F,F， F,F,F N1N2N3N14，334，33 F4FN3 ζ,,,[ζ] maxA(4，33)A由此得 (433)[]A(433)[]A，,，, F, [F],,44

[F]为了提高值，可将杆3做长,，由图b得变形协调条件为

Δl1 Δl，Δ,3,cos30

,l与,l式中，均为受载后的伸长，依题意，有了,后，应使三根杆同时达到，即 [ζ]31

[ζ]4[ζ]l，Δ,l E3E由此得 [ζ]l[ζ]l4Δ,(,1), 3E3E

此时，各杆的强度均充分发挥出来，故有 , [F],2([,]Acos30)，[,]A,(1，3)[,]Amax 40

第四章 扭 转

4-5 一受扭薄壁圆管，外径D = 42mm，内径d = 40mm，扭力偶矩M = 500N•m，切

变模量G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管表面纵线的倾斜角。

解:该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为

1DdDd R,(，),20.5mm， ,,,,1mm022222于是，该圆管横截面上的扭转切应力为

T500N8, ,,,1.4，10Pa,1.4MPa222R,2π2π，0.0205，0.001m0 依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为 , η,η,1.4MPa

该圆管表面纵线的倾斜角为

6η1.4，10,3 ,,,rad,2.53，10rad9G75，10

4-7 试证明，在线弹性范围内，且当R/,?10时，薄壁圆管的扭转切应力公式的最0大误差不超过4.53%。

解:薄壁圆管的扭转切应力公式为

T η, 22πRδ0R/δ,β设，按上述公式计算的扭转切应力为 0 TTη,, (a) 2232πRδ2πβδ0

按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径分别为 d,2R,δ， D,2R，δ 00极惯性矩为

πRδππ4444220 I,(D,d),[(2R，δ),(2R,δ)],(4R，δ)p00032322由此得 ,(2，1)TTδT,,(，),(2，), (b) ηRRmax0022322π,(4，,)π,,(4,，1)IRRp00

比较式(a)与式(b)，得

322,,,,π(4，1)4，1ηT,,, 23ηT(2,，1)2,(2,，1)2π,,max R0,当时， ,,10,

2,4，10，1,,0.9548 ,2，10，(2，10，1)max 41

R/δ,10可见，当时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算的最大误差不超过4.53,。 η0

1/m4-8 图a所示受扭圆截面轴，材料的曲线如图b所示，并可用表示，,,,,,C,

式中的C与m为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截面上的切应力分

布图。

题4-8图

解:所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到

,d, (a) ,,,dx

根据题设，轴横截面上距圆心为处的切应力为 ρ d,1/mηC,() (b) ,ρxd 由静力学可知，

d,1/m(m，1)/mdA,C()ρdA,T (c) ,,ρ,,AAdx dρ取径向宽度为的环形微面积作为，即 dA dA,2πρdρ (d) 将式(d)代入式(c)，得 d/2d,1/(2，1)/mmm2πC()ρdρ,T ,0dx 由此得

d(3m1),，T1/m(), (e) d(3m，1)/mdx2πm()C2

将式(e)代入式(b)，并注意到T=M ，最后得扭转切应力公式为 1/mM,, ,,2πmd(3m，1)/m()，312m

横截面上的切应力的径向分布图示如图4-8。

42 图4-8

4-9 在图a所示受扭圆截面轴内，用横截面ABC和DEF与径向纵截面ADFC切出单

元体ABCDEF(图b)。试绘各截面上的应力分布图，并说明该单元体是如何平衡的。

题4-9图

解:单元体ABCDEF各截面上的应力分布图如图4-9a所示。

图4-9

根据图a，不难算出截面上分布内力的合力为 AOOD1

1d4Tl,Fη(l),, xmax2122πd同理，得截面上分布内力的合力为 OCFO1 4TlF, x22πd 方向示如图c。

F与F设作用线到轴线的距离为e，容易求出 xxxz121 2dde,,, z1323

根据图b，可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为 πd/2,Tπ8T,,,Fcos(θ)ρdρdθ z,,200I23πdp 同理，左端面上的合力为 8TF, z13πd 方向亦示如图c。

FDFe设作用线到水平直径的距离为(见图b)，由 zy2 43

πd/2πTT23cos()dd ,,,,,,, Fe,,zy20024Ip 得

T3πd3πde,,,,0.295d y48T32

作用线到水平直径的距离也同此值。 同理，FACz1

根据图b，还可算出半个右端面上竖向分布内力的合力为 DOE1 π/2d/2Tρπ4TFsin(θ)ρdρdθ ,,,y,,300I23πdp eF设作用线到竖向半径的距离为(见图b)，由 OEzy123 π/2d/2TT23cosdd,,,,,,Fe yz,,32008Ip 得

T3πd3πde,,,,0.295d z284T32

同理，可算出另半个右端面以及左端面上的竖向分布内力的合力为 AOB、OCBOFE1

4T FFF,,,yyy4123πd

e方向均示如图c。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为。 z2 由图c可以看得很清楚，该单元体在四对力的作用下处于平衡状态，这四对力构成四个

力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。

TT ,0，,(2)，,,,(2),,,,,0 MFeFeFeFe,xyzzyyzzy42212122 TlTl88MFlFe,0，,,,(2),,,0 ,yzxz211dd3π3π TlTl44MFlFl,0，,,,,,,0 ,zyy43dd3π3π

既然是力偶系，力的平衡方程(共三个)自然满足，这是不言而喻的。 TM上述讨论中，所有的在数值上均等于。

4-11 如图所示，圆轴AB与套管CD用刚性突缘E焊接成一体，并在截面A承受扭

,力偶矩M作用。圆轴的直径d = 56mm，许用切应力[]=80MPa，套管的外径D = 80mm，壁1

,厚= 6mm，许用切应力[]= 40MPa。试求扭力偶矩M的许用值。 ,2 44

题4-11图

解:由题图知，圆轴与套管的扭矩均等于M。 1.由圆轴求M的许用值 AB

M16M11 ,,,,[,]max113Wπdp1由此得M的许用值为

336π[]d,π，0.056，80，1031 [],,N,m,2.76，10N,m,2.76kN,mM11616 M2(由套管求的许用值 CD

D,,80,6R,,mm,37mm， δ,6mm,R10 0022 此管不是薄壁圆管。 80,6，268,,,,0.85 8080

M16M22 ,,,,[,] max2234WπD(1,),p2 M由此得的许用值为

34346π(1,)[]D,,π，0.080，(1,0.85)，40，102[],,N,mM2 1616 3 ,1.922，10N,m,1.922kN,m 可见，扭力偶矩M的许用值为

[M],[M],1.922kN,m 2

4-13 图示阶梯形轴，由AB与BC两段等截面圆轴组成，并承受集度为m的均匀分

布的扭力偶矩作用。为使轴的重量最轻，试确定AB与BC段的长度l与l以及直径d与d。1212

已知轴总长为l，许用切应力为[]。 ,

题4-13图 45

解:1.轴的强度条件

A在截面处的扭矩最大，其值为 T,ml max1由该截面的扭转强度条件 T16mlmax1 ,,,,[η]max13Wπdp11得 316ml (a) d,1π[η]

段上的最大扭矩在截面B处，其值为 BC T,ml max22由该截面的扭转强度条件得 316ml2d, 2π[η] 2(最轻重量设计 轴的总体积为

16mlπππ16ml222/32/32 V,d(l,l)，dl,[()(l,l)，()l]122222444π[η]π[η]

根据极值条件 dV ,0dl2得

16ml16m52/32/32/3 ,()，()，l,02,,π[]π[]3由此得 33/2l,()l,0.465l (b) 25 从而得

33/2l,l,l,[1,()]l,0.535l (c) 125

16m316ml1/31/31/23 d,(),l,(),0.775d (d) 221,,π[]5π[] 该轴取式(a)~(d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。 4-14 一圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向压缩载荷F = 1kN作用。设弹簧的平均直径

D = 40mm，弹簧丝的直径d = 7mm，许用切应力[]= 480MPa，试校核弹簧的强度。 ,

解:由于 46

D40m,,,5.71,10 d7

故需考虑曲率的影响，此时，

38FD(4m，2)8，1.00，10，0.040，(4，5.71，2)N,,,max332 πd(4m,3)π，0.007，(4，5.71,3)m

8 ,3.72，10Pa,372MPa

,,[,]结论:，该弹簧满足强度要求。 max

4-20 图示圆锥形薄壁轴AB，两端承受扭力偶矩M作用。设壁厚为,，横截面A与

B的平均直径分别为d与d，轴长为l，切变模量为G。试证明截面A和B间的扭转角为 AB

(d，d)Ml2AB,, AB/22π,GddAB

题4-20图

证明:自左端A向右取坐标，轴在处的平均半径为 xx d,d11BAR(x),(d，x),(d，cx) 0AA2l2式中， dd,BAc, l

截面的极惯性矩为 x

1πδ333I,2πR,,2π, [(d，cx)],(d，cx) AAp024 依据

,dT(x)4M,, 3dxGIGπ, (d，cx)Ap AB得截面和间的扭转角为

l 4Md(d，cx),2Ml2,A,,,(d，cx)| ABA/03, 0πGπGδc,c(d，cx)A ,2Ml112Ml(d，d)AB ,(,),2222πGδ (d ,d)ddπGδddBABAAB

47

4-21 图示两端固定的圆截面轴，承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度

为已知常数。

题4-21图

(a)解:此为静不定轴，但有对称条件可以利用。

M和M设A与B端的支反力偶矩分别为，它们的转向与扭力偶矩M相反。由于左右AB对称，故知

M,M AB由可得 M,0,x M，M,2M,2M ABA即 M,M,M AB

(b)解:此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩，示如图4-21b。 MB

图4-21b 变形协调条件为 (a) ,,0B 利用叠加法，得

M(3a)M(2a)MaB,,，, (b) BGIGIGIppp 将式(b)代入式(a)，可得 1MM, B3 48 进而求得

1MM, (转向与相反) MAB3

(c)解:此为静不定轴，与(a)类似，利用左右对称条件，容易得到 ma,,MM AB2M和M的转向与相反。 mAB

(d)解:此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩，从变形趋势不难判断，MB

的转向与相反。 MmB 变形协调条件为 (c) ,,0B

利用叠加法，得到(从左端向右取) x

2 aM(2a)2Mam(a,x)maBB ,,,，,,,,, (d) dx,,BBmBM,B 0GIGI2GIGIpppp 将式(d)代入式(c)，可得 ma,M B4进而求得 3maMmaM,,, AB4 的转向亦与相反。 MmA

4-22 图示轴，承受扭力偶矩M=400N•m与M=600N•m作用。已知许用切应力12[]=40MPa，单位长度的许用扭转角[]=0.25(?) / m，切变模量G = 80GPa。试确定轴径。 ,,

题4-22图 解:1.内力分析

B此为静不定轴，设端支反力偶矩为，该轴的相当系统示如图4-22a。 MB 49

图4-22 利用叠加法，得

1 ,,[400，0.500,600，1.250，M，2.500]BBGIp 将其代入变形协调条件，得 ,,0B

2(600，1.250,400，0.500)N,m M,,220N,mB2.500m 该轴的扭矩图示如图4-22b。 .由扭转强度条件求d 2 由扭矩图易见，

T,380N,mmax将其代入扭转强度条件， T16Tmaxmax,,,,[,] max3Wπdp由此得

33316T16，380mmax,,,0.03m,36.4mmd 6,π[]π，40，10 3.由扭转刚度条件求d 将最大扭矩值代入

T32Tmaxmax,,[,] 4GIGπdp得

444T3232，380，180mmaxd,,,0.0577m,57.7mm 9G,π[]π，80，10，0.25π 结论:最后确定该轴的直径。 d,57.7mm 50

4-23 图示两端固定阶梯形圆轴AB，承受扭力偶矩M作用。已知许用切应力为[,]，

为使轴的重量最轻，试确定轴径d与d。 12

题4-23图 解:1. 求解静不定

设A与B端的支反力偶矩分别为M与M，则轴的平衡方程为 AB (a) M,0, M，M,M,0,xABAC与CB段的扭矩分别为 T,MT,,M ， 1A2B代入式(a)，得 T,T,M,0 (b) 12

设AC与CB段的扭转角分别为,与,，则变形协调条件为 ACCB ,，,,0 (c) ACCB利用扭转角与扭矩间的物理关系，分别有 Ta2Ta12 ， ,,,,ACCBGIGIp1p2代入式(c)，得补充方程为 4d,,1 (d) T，2T,0,,12d,,2

最后，联立求解平衡方程(b)与补充方程(d)，得 442dMdM12T,T,, ， (e) 124444d，2dd，2d2121 2. 最轻重量设计

从强度方面考虑，要使轴的重量最轻，应使AC与CB段的最大扭转切应力的数值相等，

且当扭力偶矩M作用时，最大扭转切应力均等于许用切应力，即要求 TT21 ,[,]， ,[,]WWp1p2由此得 3WTd,,p111 ,,,,TWd,,2p22 51

将式(e)代入上式，得 d,2d 21并从而得 MM8T,T,, ， 1299

根据圆轴扭转强度条件，于是得轴的直径为 16dT3316M21d,,, 12π[]9π[],,

4-24 图示二平行圆轴，通过刚性摇臂承受载荷F作用。已知载荷F=750N，轴1和

轴2的直径分别为d=12mm和d=15mm，轴长均为l=500mm，摇臂长度a =300mm，切变模12

量G = 80GPa，试求轴端的扭转角。

题4-24图

解:这是一度静不定问题。 变形协调条件为

或 (a) Δ,Δ,,,1212这里，,和,分别为刚性摇臂1和2在接触点处的竖向位移。 ,,

设二摇臂间的接触力为，则轴1和2承受的扭矩分别为 F2 aT,F(),Fa， T,Fa (b) 12222 物理关系为

TlTl12,,， ,, (c) 12GIGIpp12 将式(c)代入式(a)，并注意到式(b),得 4dF2F, 2442(d，d)12由此得 52

1616，750，0.300，0.500mTlFal2,,,,244944GIπ(，)π，80，10，(0.012，0.015)mGddp 12 2

, ,0.1004 rad,5.75,|,|1

4-26 如图所示，圆轴AB与套管CD借刚性突缘E焊接成一体，并在突缘E承受扭

,力偶矩M作用。圆轴的直径d=38mm，许用切应力[]=80MPa，切变模量G=80GPa;套管的11

,外径D = 76mm，壁厚= 6mm，许用切应力[]= 40MPa，切变模量G= 40GPa。试求扭力偶,2 2矩M的许用值。

题4-26图 解:1. 解静不定

此为静不定问题。静力学关系和变形协调条件分别为 T，T,M (a) 12 (b) ,,,12 物理关系为

TlTl1122,,， ,, (c) 12GIGI1p2p12 将式(c)代入式(b)，并注意到

447612ππ,Dd40.8421 (1) ,,,,，I,,，I,pp21763232 得

44GIl1p22d24，381 (d) T,T,,T,T,0.1676T122224444GIl3,D(1,)3，76(1,0.8421)2p12

将方程(a)与(d)联解，得 T,0.856M， T,0.144M 21

M2(由圆轴的强度条件定的许用值 T16，0.144M1,,,,[,] 1max13Wπdp1 由此得扭力偶据的许用值为 53

336π[]d,π，0.038，80，1031 [],,N,m,5.99，10N,m,5.99kN,mM116，0.14416，0.144

3.由套管的强度条件定的许用值 M

T16，0.856M2 ,,,,[,] 2max234WπD(1,),p2 由此得扭力偶据的许用值为

34346π(1,)[]D,,π，0.076，(1,0.8421)，40，102 [],,N,mM216，0.85616，0.856

3,2.00，10N,m,2.00kN,m 结论:扭力偶矩的许用值为 [M],[M],2.00kN,m 2

4-27 图示组合轴，由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体，并承受扭

力偶矩M=100N?m作用。试校核其强度。设钢与铜的许用切应力分别为[,]=80MPa与s

[,]=20MPa，切变模量分别为G=80GPa与G=40GPa，试校核组合轴强度。 csc

题4-27图 解:1. 求解静不定

如图b所示，在钢轴与刚性平板交接处(即横截面B)，假想地将组合轴切开，并设钢轴

与铜管的扭矩分别为T与T，则由平衡方程可知， M,0sc,x (a) T,Tsc

两个未知扭力矩，一个平衡方程，故为一度静不定问题。 在横截面B处，钢轴与铜管的角位移相同，即 (b) ,,,sc

设轴段AB的长度为l，则 54

Tls ,,sGIsps

(M,T)T(M,2T)lllccc , , , ,cGI2GI22GIcpc将上述关系式代入式(b)，并注意到G/G=2，得补充方程为 sc

T(M,2T)sc (c) ,IIpspc

联立求解平衡方程(a)与补充方程(c)，于是得 IMps T,T, (d) scI，2Ipcps 2(强度校核

4π(0.020m),84 I,,1.571，10mps32

44，，π(0.040m)0.035m,74,,I,1,,1.040，10m ,,pc,,,,320.040m，，将相关数据代入式(d)，得

T,T,11.6N,m sc 对于钢轴，

T16(11.6N,m)6s,,,,7.38，10Pa,7.38MPa,[,] s,maxs3Wπ(0.020m)ps 对于铜管，

T16(100N,m,11.6N,m)c,max7,,,,1.70，10Pa,17.0MPa,[,] c,maxc4W，，0.035m3pc,,π(0.040m)1,,,,,,,0.040m，，

,,4-28 将截面尺寸分别为100mm×90mm与90mm×80mm的两钢管相套合，并在 内管两端施加扭力偶矩M=2kN?m后，将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力偶矩M后，00

内、外管横截面上的最大扭转切应力。 解:1. 求解静不定

此为静不定问题。在内管两端施加后，产生的扭转角为 M0 Ml0,, (a) 0GIpi 55

去掉后，有静力学关系 M0 (b) T,Tie 几何关系为 ,，,,, (c) ie0 物理关系为

TlTlei (d) ,,， ,,ieGIGIpipe 将式(d)和式(a)代入式(c)，得

TlMlTle0i ，, GIGIGIpipepi或写成 TM,Te0i ,IIpepi由此得

IpeT,(M,T),1.395(M,T) (e) e0i0iIpi 联立求解方程(e)与(b)，得 T,T,0.5825M,1.165kN,m ie0 2. 计算最大扭转切应力

内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为

T16，1165N7i ,,,,2.17，10Pa,21.7MPa i,max342Wπ，0.090[1,(8/9)]mpi T16，1165N7e,,,,1.725，10Pa,17.25MPa e,max342Wπ，0.100，(1,0.9)mpe 4-29 图示二轴，用突缘与螺栓相连接，各螺栓的材料、直径相同，并均匀地排列在

直径为D = 100mm的圆周上，突缘的厚度为,=10mm，轴所承受的扭力偶矩为M = 5.0kN?m，

螺栓的许用切应力[,]=100MPa，许用挤压应力[,]=300MPa。试确定螺栓的直径d。 bs

56

题4-29图

解:1. 求每个螺栓所受的剪力 由

DM,0， 6F(),M ,xs2得

M,F s3D

2.由螺栓的剪切强度条件求 d F4Ms ,,[,]2A3πDd由此得

32M44，5.0，10m,2d,,,1.457，10m,14.57mm 6D,3π[]3π，0.100，100，10 3.由螺栓的挤压强度条件求d FMb ,,,,[,]bsbsd3Dd,,由此得

3M5.0，10m,3d,,,5.56，10m,5.56mm 6D,,3[]3，0.100，0.010，300，10bs 结论:最后确定螺栓的直径。 d,14.57mm

4-30图示二轴，用突缘与螺栓相连接，其中六个螺栓均匀排列在直径为D的圆周上，1

另外四个螺栓则均匀排列在直径为D的圆周上。设扭力偶矩为M，各螺栓的材料相同、直径2

均为d，试计算螺栓剪切面上的切应力。

题4-30图

解:突缘刚度远大于螺栓刚度，因而可将突缘视为刚体。于是可以认为:螺栓i剪切面上

57

的平均切应变,与该截面的形心至旋转中心O的距离r成正比，即 ii ,,krii

式中，k为比例常数。

利用剪切胡克定律，得螺栓i剪切面上的切应力为

,,Gkrii 而剪力则为 F,GAkrS,ii

最后，根据平衡方程

22DD,,,,120, M,GAk，GAk,M,,,,,O22,,,, 得

2M8Mk,, 22222GA(3D，2D)Gπd(3D，2D)1212 于是得外圈与内圈螺栓剪切面上得切应力分别为 4MD1, , 1222πd(3D，2D)12 4MD2, , 2222πd(3D，2D)12

4-31图a所示托架，承受铅垂载荷F=9kN作用。铆钉材料均相同，许用切应力[,]=140MPa，直径均为d=10mm。试校核铆钉的剪切强度。

题4-31图

解:由于铆钉均匀排列，而且直径相同，所以，铆钉群剪切面的形心C，位于铆钉2与铆钉3间的中点处(图b)。将载荷平移至形心C，得集中力F与矩为Fl的附加力偶。

在通过形心C的集中力F作用下，各铆钉剪切面上的切应力相等，其值均为 3FF9，10N7,,,,,,2.87，10MPa ,2232ddπππ(10，10m)44 58

在附加力偶作用下，铆钉1与4剪切面上的切应力最大，其值均为 Flr1,, (a) ,,Ip 由图中可以看出，

,3,3 ， r,r,60，10mr,r,20，10m1423 所以，

2πdπ22,3222,32,74 I,(2r，2r),(10，10m)(60，20)(10m),6.28，10mp1242 代入式(a)，得

,,333(9，10N)(150，10m)(60，10m)8,, ,,,1.2，10Pa,746.28，10m 将上述两种切应力叠加，即得铆钉1与4的总切应力即最大切应力为 227282,,,,,,,，,(2.87，10Pa)，(1.2，10Pa)max 8 ,1.32，10Pa,132MPa,[,]

,,4-34 图示半椭圆形闭口薄壁杆，a=200mm，b=160mm，=3mm，= 4mm，T=6 12kN?m，试求最大扭转切应力。

题4-34图

解:截面中心线所围面积为 ,,b,,122 π()()Ω,a,,224 由此得

0.160,0.0042,22Ω,π(0.200,0.0015,0.002)()m,2.41，10m 4 于是得最大扭转切应力为

3T6，10N7,,,,4.15，10Pa,41.5MPa max,22,,22，2.41，10，0.003mmin 4-35 一长度为l的薄壁管，两端承受矩为M的扭力偶作用。薄壁管的横截面如图所

示，平均半径为R，上、下半部由两种不同材料制成，切变模量分别为G与G，厚度分别为012

59

,与,，且,<,，试计算管内的最大扭转切应力，以及管端两横截面间的扭转角,。 1212

题4-35图

解:1. 扭转切应力计算

闭口薄壁管扭转切应力的一般公式为 T, ,2Ω,现在 2 Ω,πR0

,,, min1所以，最大扭转切应力为 M,, max22πR,01 2. 扭转变形计算

用相距dx的两个横截面，与夹角为d,的两个径向纵截面，从管的上部切取一微体，其应变

能为

2,1dV,,,Rd,dx ε1102G1由此得整个上半圆管的应变能为

22 πl,Ml1,,VRddx,, 110ε,,3 0 02G8πGR,1101同理得整个下半圆管的应变能为

2MlV, 2ε38πGR,202 根据能量守恒定律，

22,MMlMl,， 3328πGR,8πGR,101202于是得 ,,Μl11,,， ,,3G,G,R4π,,11220 60

4-36 图示三种截面形状的闭口薄壁杆，若截面中心线的长度、壁厚、杆长、材料以及所受扭矩均相同，试计算最大扭转切应力之比和扭转角之比。

题4-36图

解:由于三者中心线的长度相同，故有 2，(2b，b),4a,πd 由此得

πdπdb,， a,

Ω据此可求得长方形、正方形及圆形薄壁截面的，其值依次为 22πd2 2Ω,b,118 22πd2 Ω,a,216 2πd Ω,34 依据

T,, max2Ω,min

可得三种截面薄壁杆的最大扭转切应力之比为 ,:,:,,1.432 :1.273 :1 方max圆max矩max 依据

Tlds,, ,2,4GΩ

可得三种截面薄壁杆的扭转角之比为 ,:,:,,2.05 :1.621: 1 矩方圆

结果表明:在题设条件下，圆形截面薄壁杆的扭转强度及扭转刚度均最佳，正方形截面薄壁杆的次之，长方形截面薄壁杆的最差。一般说来，在制造闭口薄壁杆时，应尽可能加大

Ω，这样对强度和刚度均有利。 其中心线所围的面积

4-37 图示闭口薄壁杆，承受扭力偶矩M作用，试计算扭力偶矩的许用值。已知许用切应力[,]=60MPa，单位长度的许用扭转角[,]=0.5(?) / m，切变模量G = 80GPa。若在杆上沿

61

杆件母线开一槽，则许用扭力偶矩将减少至何值。

题4-37图

解:1.计算闭口薄壁杆扭力偶矩的许用值 由扭转强度条件 T ,,,[,]max2Ω,min得

6,2[],2，0.100，0.300，0.003，60，10N,mTΩ,,min 4 ,1.080，10N,m,10.80kN,m

由扭转刚度条件

Tsd ,,,[,],2δGΩ4 得

9232,,4，80，10，(0.100，0.300)，8.727，104[]GΩ,,N,mTd2，(0.300，0.100)s ,,0.003

3 ,9.43，10N,m,9.43kN,m其中用到 0.5，π,3[,],rad/m,8.727，10rad/m 180 比较可知， [M],9.43kN,m

2.计算开口薄壁杆扭力偶矩的许用值 由扭转强度条件

Tδ3max,,[],, maxn3h,,iii,1得

n3,,[]h,ii6360，10，[2，(0.300，0.100)，0.003]i,1T, ,N,m,144.0N,m 3,3，0.003max

由扭转刚度条件 T3,,,[,] n3Gh,,iii,1 62 得

n3[],Gh,,ii,1i,T 3

,3938.727，10，80，10，[2，(0.300，0.100)，0.003] ,N,m,5.03N,m3 比较可知， [M],5.03N,m开 63

第六章 弯曲应力

6-2 如图所示，直径为d、弹性模量为E的金属丝，环绕在直径为D的轮缘上，试求

金属丝内的最大弯曲正应变、最大弯曲正应力与弯矩。

题6-2图

解:金属丝的曲率半径为 D，d ,,2

所以，金属丝的最大弯曲正应变为

yd2dmax,,, , max,2D，dD，d最大弯曲正应力为 Ed ,E, ,,maxmaxD，d而弯矩则为 34πdEdEπdM,W,,, zmax32D，d32(D，d)

6-3 图示带传动装置，胶带的横截面为梯形，截面形心至上、下边缘的距离分别为y1

与y，材料的弹性模量为E。试求胶带内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。 2

题6-3图

解:由题图可见，胶带中性层的最小曲率半径为

ρ,R min1 依据 Eyζ, ρ

可得胶带内的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力分别为 Ey1 ζ, t,maxR1 Ey2ζ, c,maxR1

6-6 图a所示正六边形截面，边长为a，试计算抗弯截面系数W与W。 zy

题6-6图 1. W计算 解:z 由图b可以看出，

a3a b,, h, 22所以，,ADB对z轴的惯性矩为

32334,,133bhbhhbhaaa,, ,，,,,I,,,,z,t,,3623121222,,中部矩形截面对z轴的的惯性矩为

334(2),,ah33aaa2 ,,,I,,z,r121224,,于是得整个六边形截面对z轴的惯性矩为

44443353aaa4 ,，,，,IIIzzz,t,r416而对z轴的抗弯截面系数则为 43I5325aaz,,,W z168y3amax 2. W计算 y

,ADB对y轴的惯性矩为

234113hbbhbaa,, ,，，,I,,y,t,,36232192中部矩形截面对y轴的的惯性矩为 65

3423haa ,,Iy,r1212于是得整个六边形截面对y轴的惯性矩为

4444113353，aaa 4,，,，,IIIyyy,t,r1921216而对z轴的抗弯截面系数则为 43I53153aay,,,W y1616zamax

6-7 图示直径为d的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。试问: (1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h和b应分别为何值; (2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h和b又应分别为何值。

题6-7图

解:(1) 为使弯曲强度最高，应使值最大。 Wz 2bhb22 W,,(d,b)z66 dW122z ,(d,3b),0db6 由此得

3622 b,d， h,d,b,d33

(2) 为使弯曲刚度最高，应使值最大。 Iz 33bhh22 Idh ,,,z1212

2224dI3h(d,h),hz,,0 22dh12d,h 由此得

3d22 h,d，b,d,h,22

66

6-8 图a所示简支梁，由?18工字钢制成，弹性模量E = 200 GPa， a=1m。在均布

-4载荷q作用下，测得截面C底边的纵向正应变, = 3.0，10，试计算梁内的最大弯曲正应力。

题6-8图 解:1. 内力分析

梁的弯矩图如图b所示，横截面C的弯矩为 2qa ,MC4梁内的最大弯矩则为 29qa (a) M,max32 2. 应力计算(解法一) 横截面C底部的弯曲正应力为 2qa,,,E, CC,max4Wz由此得 4E,WCz ,q2a代入式(a)，得

9E,WCz ,Mmax8于是得梁的最大弯曲正应力为

9,49ME,9(200，10Pa)( 3.0，10)maxC,,,,67.5MPa ,max88Wz 3. 应力计算(解法二) 横截面C底部的弯曲正应力为

,,E,C,maxC由于应力与内力成正比，所以，梁内的最大弯曲正应力为 67

29ME,9qa4maxC,, ,,67.5 MPa E ,,,max,maxCC2328MqaC 计算结果相同。

6-9 图示简支梁，承受均布载荷q作用。已知抗弯截面系数为W，弹性模量为E，z

试计算梁底边AB的轴向变形。

题6-9图

解:梁的弯矩方程为

qlq2M(x),x,x 22横截面x处底边微长dx的轴向变形为 M(x) d(,l),,(x)dx,dxEWz所以，梁底边AB的轴向变形为 3llM(x)qlqql12,,Δldxxxdx,,,, ,,,,00EWEW2212EW,,zzz

6-10 图示截面梁，由?18工字钢制成，截面上的弯矩M = 20kN?m，材料的弹性模

量E = 200GPa，泊松比= 0.29。试求截面顶边AB与上半腹板CD的长度改变量。 ,

题6-10图

解:1.截面几何性质

工字钢截面大致形状及尺寸符号示如图6-10。 68

图6-10

F由附录表4查得

h,180mm， b,94mm, t,10.7mm 43 I,1660cm， W,185cmzz并从而得 h,h/2,t,79.3mm。 1 AB2(计算顶边的长度改变量 顶边处有

Mζ ,maxWz μζmax,εμε,,E由此可得AB边的伸长量为 3bM,0.29，0.094，20，10,,,b,,m,AB9,6 EW200，10，185，10z ,5 ,1.474，10m,0.01474mm 3(计算上半腹板的长度改变量 CD

距中性轴为的点，弯曲正应力的绝对值为 zy1 My1(),ζy (以向上为正) y11Iz 该处的横向应变为

My ,1,y , (), ,,,1EIz由此可得线段的伸长量为 CD

2 hh Mh, M,111,Δ,εdy,ydy,111CD,, 0 0EI2EIzz 320.29，20，10，0.0793,6 ,m,5.49，10m,0.00549mm9,82，200，10，1660，10

69

6-12 图a所示矩形截面悬臂梁，杆端截面承受剪切载荷F作用。现用纵截面AC与

横截面AB将梁的下部切出，试绘单元体ABCD各切开截面上的应力分布图，并说明该部分是

如何平衡的。

题6-12图

解: 1. 单元体的应力分析

梁内各横截面的剪力相同，其值均为F;在固定端处，横截面上的弯矩则为

M(0),,Fl

与上述内力相对应，单元体各截面的应力如图b所示。在横截面AB上，弯曲切应力按抛

物线分布，最大切应力为

3F,, max2bh在该截面上，弯曲正应力线性分布，最大弯曲压应力则为 6Fl ,,c,max2bh在纵截面AC上，作用有均匀分布的切应力,，其值为 3F, , 2bh在横截面CD上，作用有合力为F=F/2的剪切分布力。 1 2. 单元体的受力分析

根据上述分析，画单元体的受力如图c所示。图中，F代表横截面AB上由切应力构成的2剪切力，F代表该截面上由弯曲正应力构成的轴向合力，F则代表纵截面AC上由切应力构34成的剪切合力。

显然， F，，, ,F 22

MS(0)(,)bhhFlz123,,，，FFl,,,, , ,,33,,Ih242bhz FFl33，，Fblbl,,, , , 4bhh22 3. 单元体的平衡 根据上述计算结果，得 70

FlFl33FFF,,,,,0 ,x34hh22 FF,,,,,0 FFF ,y2122

hF3Flh,,,,,0MFlFl ,A133223h说明单元体满足平衡条件。

6-13 图示矩形截面简支梁，承受矩为M=Fa的集中力偶作用。截面的宽度为b，高e度为h。试绘单元体ABCD的应力分布图(注明应力大小)，并说明该单元体是如何平衡的。

题6-13图

解:1.画剪力、弯矩图

左、右支座的支反力大小均为，方向是左向上、右向下。据此可画剪力、弯矩图示F/3

如图6-13a与b。

图6-13

2(求单元体两端面上的应力及其合力

单元体两端面及纵截面上的应力分布情况示如图c，最大弯曲正应力和剪应力值分别为

M6Fa2Fa1,,,ζ1max22W3bhbhz M4Fa2,, ζ2max2Wbhz 3FFS2ηη ,,,1max2max2A2bh 71

η由切应力互等定理可知，纵截面上的切应力与数值相等。 η2maxx 左、右端面上弯曲正应力构成的轴向合力分别为 1bhFaFζ,(),x11maxh222 bhFa1F,ζ(),x22maxh22

左、右端面上弯曲切应力构成的竖向合力大小相等，其值为 1F,F,F y1y26

纵截面上弯曲切应力构成的轴向合力为 FaF(ab),,, Sxx2h

3(检查单元体的平衡方程是否满足 FaFaFaFFFF,0，,,,,,,0 ,xx2x1Sxhhh22 FF,0，,,,,0FFF ,yy1y266

hhFaFaFa,0，,,,,,,0MFFFa ,z1x2x1y233366由此可见，单元体的全部平衡方程均能满足(另三个平衡方程是恒等满足，无需写出)。

6-14 梁截面如图所示，剪力F = 200kN，并位于x-y平面内。试计算腹板上的最大s

弯曲切应力，以及腹板与翼缘(或盖板)交界处的弯曲切应力。

题6-14图

(a)解:截面形心至其顶边的距离为

0.020，0.100，0.010，0.120，0.010，2，0.080,myC0.020，0.100，0.120，0.020

,0.04818m

惯性矩和截面静矩分别为 72

330.100，0.0200.010，0.1202I,[，0.100，0.020，0.03818，2，z1212 24, ，2，0.010，0.120，0.03182]m,8.292，10m 0.091823,53 S,0.09182，0.020，m,8.431，10mz,max2

3,53 S,0.100，0.020，0.03818m,7.636，10mz 于是得腹板上的最大弯曲切应力为

,35FS200，10，8.431，10NzS,max8η,,,1.017，10Pa,101.7MPa max,62Iδ8.292，10，0.020mz

腹板与翼缘交界处的弯曲切应力则为

,35FS200，10，7.636，10N7zs η,,,9.21，10Pa,92.1MPa交界,62Iδ8.292，10，0.020mz

(b)解:采用负面积法，得截面形心至其顶边得距离为

0.110，0.150，0.075,(0.110,0.020)，0.100，0.070 y,[]m,0.081m

C0.110，0.150,(0.110,0.020)，0.100惯性矩(采用负面积法)和截面静矩分别为

330.110，0.1500.090，0.1002I,{，0.110，0.150，(0.081,0.075),[z1212 24,54 ，0.090，0.100 ，(0.081,0.070)]}m,2.294，10m

123S,[0.030，0.110，(0.069,0.015)，0.020，(0.069,0.030)，]mz,max 2 ,43 ,1.934，10m

3,43 S,0.020，0.110，(0.081,0.010)m,1.562，10mz上 3,43 S,0.030，0.110，(0.069,0.015)m,1.782，10mz下 于是得腹板上的最大弯曲切应力为

,34FS200，10，1.934，10NzS,max7η,,,8.43，10Pa,84.3MPa max,52Iδ2.294，10，0.020mz

腹板与上盖板交界处的弯曲切应力为

,34FS200，10，1.562，10Nz上7Sη,,,6.81，10Pa,68.1MPa 交界上,52Iδ2.294，10，0.020mz

腹板与下盖板交界处的弯曲切应力为

,34FS200，10，1.782，10Nz下S7η,,,7.77，10Pa,77.7MPa 交界下,52Iδ2.294，10，0.020mz

6-17 图示铸铁梁，载荷F可沿梁AC水平移动，其活动范围为0<,<3l/2。已知许用

拉应力[,]=35MPa，许用压应力[,]=140MPa, l=1m，试确定载荷F的许用值。 tc

73

题6-17图

解:1.截面几何性质计算 由图6-17可得

0.100，0.020，0.010，0.080，0.020，0.060,()m,0.03222myC0.100，0.020，0.080，0.020

330.100，0.0200.020，0.0802 ,[，0.100，0.020，0.02222，Iz1212 24, ，0.020，0.080，(0.060,0.03222)]m,3.142，10m

图6-17

2(确定危险面的弯矩值

F分析可知，可能的危险截面及相应弯矩如下:当作用在AB段时， lFl，， ,,M, max24当作用在段时， BC 3lFl, ，,,M, max22 3(确定载荷的许用值 B由危险面的压应力强度要求

,MmaxFl ζ,(0.100,y),(0.100,y),[ζ]c,maxCCcI2Izz得 ,66Iζ2[]2，3.142，10，140，10N4czF,,,1.298，10N,12.98kN l.y(0100,)1.000，(0.100,0.03222)C

B由截面的拉应力强度要求 74

,MmaxFl ζ,y,y,[ζ]t,maxCCtI2Izz得

,66Iζ2[]2，3.142，10，35，10N3tzF,,,6.83，10N,6.83kN ly1.000，0.03222C

，由作用面的拉应力强度要求 Mmax

，MFlmaxζ,(0.100,y),(0.100,y),[ζ] t,maxCCtI4Izz得 ,66Iζ4[]4，3.142，10，35，10N3tzF,,,6.49，10N,6.49kN ly(0.100,)1.000，(0.100,0.03222)C

该面上的最大压应力作用点并不危险，无需考虑。 比较上述计算结果，得载荷的许用值为 [F],6.49kN

6-18 图示矩形截面阶梯梁，承受均布载荷q作用。已知截面宽度为b，许用应力为

[]。为使梁的重量最轻，试确定l与截面高度h和h。 ,112

题6-18图 解:1.求最大弯矩

左段梁最大弯矩的绝对值为

2ql M,1max2右段梁最大弯矩的绝对值为 2ql1 M,2max2 2(求截面高度和 hh12

由根部截面弯曲正应力强度要求 2M6ql1maxζ,,,[ζ] 1max2W2bhz11得 75

23ql3qh,,l (a) 1b[ζ]b[ζ]

由右段梁危险截面的弯曲正应力强度要求 2M6ql2max1ζ,,,[ζ] 2max2W2bhz22得 3qh,l (b) 21b[ζ] 3(确定 l1 梁的总体积为

3q2V,V，V,bh(l,l)，bhl,b[l(l,l)，l] 12112111b[ζ] 由

dV ,0， 2l,l,01dl1 得 ll, 12

最后，将式(c)代入式(b)，得 3qlh, 22b[ζ]

为使该梁重量最轻(也就是V最小)，最后取 3qll,， h,2h,l 1122b[ζ]

6-19 图示简支梁，由四块尺寸相同的木板胶接而成。已知载荷F = 4kN，梁跨度l=

400mm，截面宽度b = 50mm，高度h = 80mm，木板的许用应力[]=7MPa，胶缝的许用切应,力[]=5MPa，试校核强度。 ,

题6-19图

解:1.画剪力、弯矩图

该梁的剪力、弯矩图如图6-19所示。由图可知，最大剪力(绝对值)和最大弯矩分别为

76

22F,F， M,Fl Smaxmax39

图6-19

2(校核木板的弯曲正应力强度

3M6，2Fl4，4，10，0.400Nmaxζ,,,max222W9bh3，0.050，0.080m z 6 ,6.67，10Pa,6.67MPa,[ζ] 3(校核胶缝的切应力强度

33F3，2F4，10NSmaxη,,,max2 2A3，2bh0.050，0.080m 6 ,1.000，10Pa,1.000MPa,[η]

结论:该胶合木板简支梁符合强度要求。

6-21 图示四轮吊车起重机的导轨为两根工字形截面梁，设吊车自重W = 50kN，最

大起重量F = 10kN，许用应用[]=160MPa，许用切应力[]= 80MPa。试选择工字钢型号。,,由于梁较长，需考虑梁自重的影响。

题6-21图 解:1.求最大弯矩

设左、右轮对梁的压力分别为，不难求得 F和F12 F,10kN， F,50kN 12

由图6-21a所示梁的受力图及坐标，得支反力 77

1F,[F(l,x)，F(l,x,2)],50,6x (0,x,8)Ay12l 1 F,[Fx，F(x，2)],6x，(0,x,8)By12l

10

图6-21

该梁的剪力、弯矩图示如图b和c。图中，

M,Fx,(50,6x)x (0,x,8)CAy M,F(l,x,2),(6x，10)(8,x) (0,x,8)DBy 由

dMdMCD ,0， ,0dxdx得极值位置依次为 2519x,m， x,m 66两个弯矩极值依次为 25M,(50,25)，kN,m,104.2kN,m Cmax6 19M,(19，10)(8,)kN,m,140.2kN,m Dmax6 比较可知，单梁的最大弯矩值为 1M,M,70.1kN,m maxDmax2

2(初选工字钢型号

先不计梁的自重，由弯曲正应力强度要求，得

33M70.1，10m,433maxW,,,4.38，10m,438cm z6ζ[]160，10 F由附录表4初选?28a工字钢，有关数据为 78

3 W,508cm， q,43.492kg/m， δ,8.5mm， I/S,24.6cmzzz 3(检查和修改

考虑梁自重的影响，检查弯曲正应力强度是否满足。 由于自重，梁中点截面的弯矩增量为

22ql43.492，9.81，103 ΔM,,N,m,5.33，10N,mmax88

上面分析的最大弯矩作用面在跨中以右0.167m处，因二者相距很近，检查正应力强度时可将二者加在一起计算(计算的比真实的略大一点，偏于安全)，即 ζmax

33M，ΔM(70.1，10，5.33，10)Nmaxmaxζ,,max62,W 508，10mz 87 ,(1.380，10，1.049，10)Pa,148.5MPa,[ζ] 最后，再检查弯曲切应力强度是否满足。

11,3 F,[(6，8，10)，，43.492，9.81，10，10]kN,31.13kNS,max22 3F 31.13，10NS,max7η,,,1.4，10Pa,14.MPa,[η]max,,232I24.6，10，8.5，10mz()δSz

结论:检查的结果表明，进一步考虑梁自重影响后，弯曲正应力和切应力强度均能满足要求，故无需修改设计，最后选择的工字钢型号为?28a。

6-22 图a所示组合木梁，由6个等间距排列的螺栓连接而成，梁端承受载荷F作用，试求螺栓剪切面上的剪力。

题6-22图 解:螺栓的间距为 le, 6

用横截面1-1与2-2，从上半木梁中切取块体如图b所示，可以看出，螺栓剪切面上的剪力为

MSMSzzSSzz21F,F,F,,,(M,M),Fe (a) S,b2121SIIIIzzzz式中， 2aba ,,,Sabz22 79

33(2)ba2ba ,,Iz123

F,FS将上述表达式代入式(a)，于是得 2ba3lFl FF,,,,,S,b3268a2ba

6-23图示简支梁，由两根?50b工字钢经铆钉连接而成，铆钉的直径d = 23mm，许

用切应力[,]=90MPa，梁的许用应力[,]=160MPa。试确定梁的许用载荷[q]及铆钉的相应间距e。

提示:按最大剪力确定间距。

图6-23图

解:1.计算组合截面的和 ISzz

F由附录表4查得?50b工字钢的有关数据为

24h,500mm， A,129.304cm， I,48600cm z1由此得组合截面的惯性矩与静矩分别为

2Ah1,4,224,34I,2I，2(),[2，4.86，10，1.29304，10，0.500]m,2.5883，10mzz142 h1,23,33 S,A,,，1.29304，10，0.500m,3.2326，10mz22

2(许用载荷的确定

2ql M,max8 2Mhqlhmaxζ,,,[ζ]maxI8Izz由此得许用载荷为 36,8I[ζ]8，2.5883，10，160，10N4z [q],,,5.01，10N/m,50.1N/mm22lh11.5，0.500m

3(铆钉间距的确定

由铆钉的切应力强度要求来计算。 e 最大剪力为 80

1145F,ql,，5.01，10，11.5N,2.881，10N,288.1kN s,max22

q按最大剪力计算两工字钢交界面上单位长度上的剪力(剪流)，其值为 ,33FS288.1，10，3.2326，10Nzs,max5q,,,3.598，10N/m ,3I2.5883，10mz qe间距长度内的剪力为，它实际上是靠一对铆钉的受剪面来承担的，即 22π[]dηπd 2[]2[]qe,η,A,η,142 由此得梁长方向铆钉的间距为

226πd[η]π，0.023，90，10 e,,m,0.208m,208mm52q2，3.598，10 6-24 横截面如图a所示的简支梁，由两块木板经螺钉连接而成。设载荷F=10kN，并作用于梁跨度中点，梁跨度l=6m，螺钉间距e=70mm，试求螺钉剪切面上的剪力。

题6-24图

解:用间距为e的横截面1-1与2-2，从上部木板中切取块体如图b所示。可以看出，螺钉剪切面上的剪力为

MSMSzzSSzz21F,F,F,,,(M,M),Fe (a) S,n2121SIIIIzzzz式中:I代表整个横截面对中性轴的惯性矩;代表上部木板横截面对中性轴的静矩。 Szz

由图c可以看出，

(0.150，0.020)(0.010)，(0.020，0.150)(0.075，0.020)y,(m),0.0525 m C0.150，0.020，0.020，0.150

3240.150，0.020，，,，0.150，0.020，(0.0525,0.010)(m)Iz,,12，， 324-540.020，0.150，， ，，0.020，0.150，(0.075，0.020,0.0525)(m),1.656，10m,,12，，

3-43,, S,0.150，0.020，(0.0525,0.010)(m),1.275，10mz 81

还可以看出， FF, S2

将相关数据与表达式代入式(a)，于是得

-433(1.275，10m)(10，10N)(0.07m)SFezF,,,2.70kN S,n-54I22(1.656，10m)z

6-25 图示截面铸铁梁，已知许用压应力为许用拉应力的四倍，即[,] = 4[,]，试从c t

强度方面考虑，确定宽度b的最佳值。

题6-25图

解:从强度方面考虑，形心的最佳位置应使 ,y0.400m,[]Cc,,4 y,[]Ct即 y,0.080 m (a) C 由图中可以看出，

b(0.06m)(0.03m)，(0.03m)(0.340m)(0.230m)y, (b) Cb(0.06m)，(0.03m)(0.340m)比较式(a)与(b)，得

b(0.06m)(0.03m)，(0.03m)(0.340m)(0.230m) ,0.080mb(0.06m)，(0.03m)(0.340m)于是得

b,0.510 m

6-26 当载荷F直接作用在简支梁AB的跨度中点时，梁内最大弯曲正应力超过许用

应力30%。为了消除此种过载，配置一辅助梁CD，试求辅助梁的最小长度a。

82 题6-26图

解:当无辅助梁时，简支梁的最大弯矩为

(6m)FM, max4当配置辅助梁后，简支梁的最大弯矩变为 a,,F,3m,,,,2,M, max2 根据题意， ,M,1.3M maxmax即

a,,F3m,,,F(6m),,2,1.3 ， 42由此得 a,1.385 m

6-27 图示简支梁，跨度中点承受集中载荷F作用。已知许用应力为[,]，许用切应

力为[,]，若横截面的宽度b保持不变，试根据等强度观点确定截面高度h(x)的变化规律。

题6-27图

解:1.求截面高度 h(x) 弯矩方程为 F M(x),x2

由等强度观点可知，

M(x)6Fxζ,,,[ζ] max2W(x)2bh(x)由此得 3Fx h(x), (0,x,l/2) (a) b[ζ] 梁的右半段与左边对称。 2(求端截面高度 83

h(0),0由式(a)可知，在处，，这显然是不合理的，弯曲切应力强度要求得不到满x,0

足，故需作局部修正。由

3F3FS,max η,,,[η]max2A4bh(0)得梁左端的截面高度为 3Fh(0), (b) 4b[η]

这是满足剪切强度要求的最小截面高度，梁的右端亦同此值。 3(确定h(x)的变化规律

设可取截面高度为h(0)的最大长度为x，为了同时满足正应力和切应力强度要求，应取 1

3Fx3F1,h(0), b[,]4b[,]由此得 ,3F[]x, 1216b[,]

最终确定截面高度h(x)的变化规律为: 3Fh(x),(0,x,x)在区间内 14b[,] 3Fx(x,x,l/2)h(x),在区间内 1b[,] 梁的右半段与左边对称。

6-29 图示悬臂梁，承受载荷F与F作用，已知F=800N，F=1.6kN，l=1m，许用1212应力[,]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸:

(1) 截面为矩形，h = 2b; (2) 截面为圆形。

题6-29图 解:(1) 矩形截面

危险截面在悬臂梁根部，危险点为截面右上角点(拉应力)和左下角点(压应力)。

最大弯曲正应力为

FlF(2l)6Fl6，(2Fl)3l2121ζ,，,，,(F，4F) max21223WWbhhb2bzy 84

根据弯曲正应力强度条件，要求 3l (F，4F),[ζ]2132b 由此得

3333l(F，4F)3，1.000，(1.6，10，4，800)21b,,m,0.0356m,35.6mm 62[ζ]2，160，10于是得

h,2b,71.2mm (2) 圆形截面 危险截面的总弯矩为

2222M,M，M,(2Fl)，(Fl) yzmax12 由弯曲正应力强度条件，要求 32Mmax ζ,,[ζ]max3πd于是得

2323332M32(2，800，1)，(1.6，10，1)max d,,m,0.0524m,52.4mm6π[ζ]π，160，10

6-30 图示悬臂梁，承受载荷F作用。由实验测得A与B点处的纵向正应变分别为

-4-4,= 2.1，10与,= 3.2，10，材料的弹性模量E = 200 GPa，试求载荷F及其方位角,之值。 A B

题6-30图

解:横截面上A与B点处的弯曲正应力分别为 6lFcos, (a) ,,A2bh

6lFsin, (b) ,,B2hb将式(a)除式(b)，得 ,,,bsinbBB,, ,,h,hcosAA由此得 85

,4,3.2，100.002m,,, ,,arctan,,3122,,,40.005m2.1，10,, 由式(a)，得

29,42,Ebh(200，10Pa)(2.1，10)(0.020m)(0.050m)AF,,,1.024 kN ,l,,6cos6(0.400m)cos3122

6-31 图示简支梁，在两个纵向对称面内分别承受集中载荷作用，试求梁内的最大弯

曲正应力。

题6-31图 解:1.支反力计算 由图6-31a得支反力为

21(3)2 (3)F,F,F，F,F,F1y2y33 12 F,F，F,F1z2z33

图6-31

2(弯矩图与危险截面分析 弯矩图示如图b。

由该图不难判断:在AC段，截面C最危险;在BD段，截面D最危险;在CD段，My

与M均为的线性函数，因此，也是的线性函数，其最大值必位于该段的端点处，即ζxxzmax

截面C或截面D。 3(最大弯曲正应力计算

D由以上分析可知，只需计算截面与的最大弯曲正应力即可，分别为 C 86

MM6Fl62Fl4Fl，yzζ,，,，,C,max223WW3hbbhbyz MM6，2Fl6Fl7Flyzζ,，,，,D,max223WW3hbbh2byz

由此可见，

4Fl ,,,ζmaxC,max3b 87