教学内容 指数与指数函数 教学目标 了解指数与指数函数的形式，掌握运算法则，会用图像求最值 重点 难点 教学准备 教 学 过 程 指数与指数函数 指数与指数函数 教 学 效 果 分 析 指数与指数函数 知 识 梳 理 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 (2)两个重要公式 a，n为奇数，nna，a≥0，①a＝|a|＝－a，a＜0，n②(a)n＝a. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①零指数幂：a0＝1(a≠0)． 1②负整数指数幂：a－p＝ap(a≠0，p∈N*)； mn③正分数指数幂：an＝am(a＞0，m，n∈ N*，且n＞1)； n 符号表示 备注 n＞1且n∈N* 零的n次方a 根是零 负数没有偶次方根 n±a n为偶数． 教 学 过 程 ④负分数指数幂：amn＝1amn＝1n(a＞0，m，n∈N，且n＞1)； am⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax 图象 辨 析 感 悟 1．指数幂的应用辨析 在(－∞，＋∞)上是增函数 性质 当x＞0时，y＞1； x＜0时，0＜y＜1 定义域 值域 R (0，＋∞) 过定点(0,1) 当x＞0时，0＜y＜1； x＜0时，y＞1 在(－∞，＋∞)上是减函数 a＞1 0＜a＜1 4(1)(－2)4＝－2.( ) n(2)(教材探究改编)(an)＝a.( ) 2．对指数函数的理解 (3)函数y＝3·2x是指数函数．( ) 1(4)y＝ax是R上的减函数．( ) 教 学 效 果 分 析 教 学 过 程 (5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小 关系如图，无论在y轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由 大变小．( ) (6)(2013·金华调研)已知函数f(x)＝4＋ax－1(a＞0且a≠1)的图象恒 过定点P，则点P的坐标是(1,5)．( ) 教 [感悟·提升] 学 nnnn1．“a”与“a”的区别 当n为奇数时，或当n为偶数且 效 nnn a≥0时，an＝a，当n为偶数，且a＜0时，an＝－a，而(a)n果 4633 ＝a恒成立．如(1)中－2不成立，(2)中－22＝2≠－2. 分 2．两点注意 一是指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因 析 此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论，如(4)； 二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系，在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从 上到下相应的底数由小变大．如(5)． 考点一 指数幂的运算 【例1】 (1)计算：＋－22； (2)若＝3，求的值． 规律方法 进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为 分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．需注意下列问 题： (1)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表 示；(2)应用平方差、完全平方公式及apa－p＝1(a≠0)简化运算． (2) 教 学 过 程 考点二 指数函数的图象及其应用 【例2】 (1)(2014·泰安一模) 函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是________． ①a＞1，b＜0；②a＞1，b＞0；③0＜a＜1，b＞0；④0＜a＜1，b＜0. (2)比较下列各式大小． ①1.72.5______1.73；②0.6－1______0.62；③0.8－0.1______1.250.2；④1.70.3______0.93.1. 规律方法 (1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解． (2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解． 【训练2】 已知实数a，b满足等式2 011a＝2 012b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________． 教 学 效 果 分 析 教 学 过 程 考点三 指数函数的性质及其应用 11教 【例3】 已知函数f(x)＝2x－1＋2x3. 学 (1)求函数f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的奇偶性； 效 (3)求证：f(x)＞0. 果 分 析 规律方法 (1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小． (2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、 奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根 据条件灵活选择即可. －2x＋b【训练3】 已知定义域为R的函数f(x)＝x＋1是奇函数． 2＋a (1)求a，b的值； (2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0. 教 学 过 程 教 学 1．判断指数函数图象的底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到 效 底数的值再进行比较． 2．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函果 数复合而成． 分 x3．画指数函数y＝a(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点： 析 1－1，(1，a)，(0,1)，a. 114．熟记指数函数y＝10x，y＝2x，y＝10x，y＝2x在同一坐标系 中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系． 易错辨析2——忽略讨论及验证致误 【典例】 (2012·山东卷)若函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________. [防范错施] (1)指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论． (2)根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础． 【自主体验】 当x∈[－2,2]时，ax<2(a>0，且a≠1)，则实数a的范围是________． 课堂巩固 一、填空题 11．(2014·郑州模拟)在函数①f(x)＝x；②f(x)＝x2－4x＋4；③f(x)＝2x；④f(x)＝中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)”的是________． 12．函数y＝ax－a(a＞0，a≠1)的图象可能是________． 3.a35a·a4(a＞0)的值是________． 114．设2a＝5b＝m，且a＋b＝2，则m等于________． 5．函数y＝ax－b(a＞0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围为________． 6．(2014·济南一模)若a＝30.6，b＝log30.2，c＝0.63，则a、b、c的大小关系为________． 7．(2014·盐城模拟)已知函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是________． a8．函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大2，则a的值为________． 9．函数f(x)＝ax－3＋m(a＞1)恒过点(3,10)，则m＝________. 1－3ax＋10a，x≤7，10．(2014·杭州质检)已知函数f(x)＝x－7 a，x>7是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是________． 11．(2014·惠州质检)设f(x)＝|3x－1|，c＜b＜a且f(c)＞f(a)＞f(b)，则关系式3c＋3a________2(比较大小)． 二、解答题 12．设a＞0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
