数学理卷·2014届浙江省五校高三第二次联考(2014.05)

2013学年浙江省第二次五校联考

数学（理科）试题卷

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的规定处填写学校、姓名、考号、科目等指定内容，并正确涂黑相关标记;

2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：

如果事件A，B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)． 如果事件A，B相互，那么P(AB)P(A)P(B)．

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次重复试验中事件A恰好发生k次

kk的概率Pn(k)Cnp(1p)nk(k0,1,2,,n) ．

球的表面积公式S4R2，其中R表示球的半径． 球的体积公式V43R，其中R表示球的半径． 3棱柱的体积公式VSh，其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高． 棱锥的体积公式V棱台的体积公式V示棱台的高

1Sh，其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高． 31h(S1S1S2S2)，其中S1,S2分别表示棱台的上、下底面积，h表3第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的． 1．已知i是虚数单位，则

i13iB．

=

A．

31i 443131i C．i 4422 D．

31i 2222．设集合M{xZ|0x2}，P{xR|x4}，则MP

A．{1}

B. {0,1} C． M D．P

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3． 函数f(x)2sin(A．

x),xR的最小正周期为 23D．4

 2

B． C．2

4． a,b,cR.则“a,b,c成等比数列”是“bac”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

2225．在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcbca0，则

asin(30C)的值为

bcA．

1133 B． C． D． 22226．在平面直角坐标系中，不等式|y2||x2|2表示的平面区域的面积是

A．8

7．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直 观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其 中俯视图中椭圆的离心率为

A．2

B．

正视图侧视图B．4 C．42 D．22

1 2直观图 C．

22 D． 24俯视图（第7题）

8．如图， ABC是边长为2的等边三角形，D是边BC上的 动点，BEAD于E，则CE的最小值为

A．1

B．2A3

EBDC（第8题）

C．31 D．

3 2x2y21，点M1,M2,,M5为其长轴AB的6等分点，分别过这五9．已知椭圆C:2点作斜率为k(k0)的一组平行线，交椭圆C于P1,P2,,P10，则直线

AP1,AP2,,AP10这10条直线的斜率乘积为

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A．1 16B．1 32 C．

11 D． 102410．下列四个函数:①f(x)x3x2;②f(x)x4x;③f(x)sin2xx; ④

f(x)cos2xsinx中，仅通过平移变换就能使函数图像为奇函数或偶函数图像的函数为

A．① ② ③ B．② ③ ④ C．① ② ④ D．① ③ ④

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．二项式(1x2)5的展开式中x的系数为 ▲ ．

12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 ▲ ． 13．若非零向量a,b，满足|ab||b|，a(ab)， 则 ▲ ．

14．已知函数f(x)asin2xcos(2x 则a ▲ ．

15．对任意xR，都有f(x1)f(x)，g(x1)g(x)，

且h(x)f(x)g(x)在[0,1]上的值域[1,2]．则h(x)在[0,2]上 的值域为 ▲ ．

16．两对夫妻分别带自己的3个小孩和2个小孩乘缆车游玩，每一缆车可以乘1人，2人或3人，若小孩必须有自己的父亲或母亲陪同乘坐，则他们不同的乘缆车顺序的方案共有 ▲ 种．

17．已知：长方体ABCDA1B1C1D1，AB2,AD4,AA14，O为对角线AC1的

中点，过O的直线与长方体表面交于两点M,N，P为长方体表面上的动点，则

s0 ss1i是6开始 i1i i13)的最大值为1，

s

9?4否输出s结束（第12题）

PMPN的取值范围是 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）

一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个球，记随机变量X为取出2球中白球的个数，已知P(X2)（Ⅰ）求袋中白球的个数；

（Ⅱ）求随机变量X的分布列及其数学期望．

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5． 12

19．（本题满分14分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn（Ⅰ）求an； （Ⅱ）设bn

20．（本题满分15分）

如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是正方形，CDPD，

2(n1)．

2an(n2)Sn1，求数列{bn}的前n项和Tn．

(Snlog2Sn)(Sn1log2Sn1)ADP90,CDP120，E,F,G分别为PB,BC,AP的中点.

（Ⅰ）求证:平面EFG//平面PCD;

（Ⅱ）求二面角DEFB的平面角的大小.

21．（本题满分15分）

C（第20题） ABGFDEPx2y22已知椭圆C：221(ab0)的左焦点F(1,0)，离心率为，函数

ab2f(x)13x， 2x4（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

Q(f(t),0)，（Ⅱ）设P(t,0)(t0)，过P的直线l交椭圆C于A,B两点，求QAQB的最小值，并求此时的t的值．

22．（本题满分14分）

已知aR，函数f(x)lnxeax1（e为自然对数的底数）． x（Ⅰ）若a1，求函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）若f(x)的最小值为a，求a的最小值．

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2013学年浙江省第二次五校联考

数学（理科）答案

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）

1．B； 6．A；

二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）

11．10； 12．15．[2,2]；

三、解答题（本大题共5小题，第18、19、22题各14分，20、21题各15分，共72分）

2Cn518. 解：（Ⅰ）设袋中有白球n个，则P(X2)2，

C9122．B； 7．C；

3．D； 8．C；

4．D； 9．B；

5．A； 10．D．

137； 13．2； 60

14． 0或3；

16． 8；

17．[8,8]．

n(n1)5，解得n6．

9812（Ⅱ）随机变量X的分布列如下：

即

1

2

X P 0 1 121 25 12E(X)0115412． 122123

19.解:（Ⅰ）n2时,Sn2an2(SnSn1) Sn2Sn1,S12 所以Sn2n

2n1(n2) an

(n1)22n111 （Ⅱ）bnn n1nn1(2n)(2n1)2n2n1第 5 页 共 8 页

Tnb1b2bn

111111223nn1 212222232n2n111n132n1

20. 解：（Ⅰ）因为E,G分别为BP,AP中点,所以EG//AB,

又因为ABCD是正方形,AB//CD,所以EG//CD,所以EG//平面PCD. 因为E,F分别为BP,BC中点,所以EF//PC,所以EF//平面PCD. 所以平面EFG//平面PCD.

（Ⅱ）法1.易知ADCD,又ADPD,故AD平面PCD 分别以DC,DA为x轴和z轴,建立空间直角坐标系(如图) 不妨设ADCDPD2 则B(2,0,2),F(2,0,1),P(1,3,0)

BGEFDPCA13所以E(,,1)

2233FB(0,0,1),EF(,,0)

22设m(x1,y1,z1)是平面BEF的法向量,则

x11z10FBm0所以取y13,即m(1,3,0) 33y10x1EFm022z10设n(x2,y2,z2)是平面DEF的法向量,则

x212x2z20FDn0所以3取y23 3y20x2EFn022z22设二面角DEFB的平面角的大小为

cosm,nmn|m||n|132222 2所以cos

32,二面角DEFB的平面角的大小为.

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法2. 取PC中点,联结EM,DM则EM//BC,又AD平面PCD,AD//BC,所以

BC平面PCD,所以EM平面PCD,所以EMDM,EMPC. 因为CDDP,则DMPC,所以 DM平面PCB.

A又因为EF//PC,所以EFEM

所以DEM就是二面角DEFB的平面角的补角.

B不妨设ADCDPD2,则 EM1,DM1,DEM4.

G所以二面角DEFB的平面角的大小为

3. 4FDEPMC12x2y21 21. 解：（Ⅰ）c1,由a得a2,b1,椭圆方程为22a2b21（Ⅱ）若直线l斜率不存在,则QAQB=(132t)2 2t4设直线l:yk(xt),A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,0)

QA(x1x0,y1),QB(x2x0,y2) QAQB(x1x0)(x2x0)y1y2(x1x0)(x2x0)k2(x1t)(x2t)2(k21)x1x2(k2tx0)(x1x2)x0k2t2

x2y21由2得(2k21)x24k2tx2k2t220 yk(xt)4k2txx2112k2所以

22xx2kt21212k22故QAQBx021321321

(t)22(2t)2t42t42故QAQB的最小值为16,此时t. 23第 7 页 共 8 页

22. 解:（Ⅰ）a1时,f(x)lnx1lnxex1 ,f'(x)ex1 2xx1lnxx21lnx10 当x1时,f'(x)x2x21lnxx21lnx10 当0x1时,f'(x)22xx 所以f(x)的单调减区间为(0,1),单调增区间为(1,). （Ⅱ）由题意可知: 即xeax1lnxeax1a恒成立,且等号可取. xaxlnx0恒成立,且等号可取.

令g(x)xeax1axlnx g'(x)(ax1)(e由eax1ax11) x11lnx1lnxlnx20得到a,设p(x),p'(x) xxxx222 当xe时,p'(x)0;当0xe时,p'(x)0.

p(x)在(0,e2)上递减,(e2,)上递增.所以p(x)minp(e2)11lnx1ax1ae0, 时, ,即

xxe21 在(0,)上,ax10,g'(x)0,g(x)递减;

a1在(,)上,ax10,g'(x)0,g(x)递增.

a1所以g(x)ming()

a11t22 设t(0,e],g()h(t)2lnt1(0te)

aae11h'(t)20,h(t)在(0,e2]上递减,所以h(t)h(e2)0

te1112故方程g(x)ming()0有唯一解e,即a2.

aae11综上所述,当a2时,仅有a2满足f(x)的最小值为a,

ee1故a的最小值为2.

e当a1 2e

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