湖南沙市2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题含解析

数学（答案在最后）

（时量：120分钟

分值：150分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.命题“x0R,x021

”的否定是（）B.xR,x21D.x0R,x01

2A.xR,x21C.x0R,x01【答案】A【解析】2【分析】由特称命题的否定是全称命题，可得出答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题，可知命题“x0R,x01”的否定是“xR,x21”.故选：A.2.设集合A含有2，1两个元素，B含有1，2两个元素，定义集合AB，满足x1A，x2B且2x1x2AeB，则AB中所有元素之积为（A.）C.8D.168B.16

【答案】C【解析】【分析】根据集合AB的定义先求出集合AB，然后再把集合中所有元素相乘即可求解.【详解】由题意A2,1，B1,2，由集合AB的定义可知，集合AB中有以下元素：①212，②224，③111，④122，根据集合中元素满足互异性去重得AeB4,1,2，所以AB中所有元素之积为4128.故选：C.3.若函数yf3x1的定义域为2,4，则yfx的定义域是（）A.

1,1B.5,13C.5,1D.1,13【答案】B【解析】【分析】根据函数yf3x1中x2,4，即可得出3x15,13，即可选出答案.【详解】因为函数yf3x1的定义域为2,4，即2x4所以53x+113

所以yfx的定义域是5,13故选:B.【点睛】本题考查隐函数的定义域，属于基础题.解本题的关键在于正确理解函数的定义域是x的取值范围与同一个函数其括号里面的取值范围一样.4.下列命题正确的是（）B.“ab”是“a2b2”的必要条件D.“ab”是“ac2bc2”的必要条件A.“ab”是“a2b2”的充分条件C.“ab”是“ac2bc2”的充分条件【答案】D【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对于A：由ab推不出a2b2，如a0，b=-1满足ab，但是a2b2，故A错误；对于B：由a2b2推不出ab，如a1，b0满足a2b2，但是ab，即ab不是a2b2的必要条件，故B错误；对于C：由ab推不出ac2bc2，当c=0时ac2bc20，故C错误；对于D：若ac2bc2，则c20，即c20，所以ab，即ab是ac2bc2的必要条件，故D正确；故选：DCACB,CACB5.用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2CBCA,CACB＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（A.1【答案】B【解析】B.3C.5D.7）【分析】根据题意可得CB1或CB3，进而讨论a的范围，确定出CB，最后得到答案.【详解】因为CA2，A*B1，所以CB1或CB3，由x2+ax=0，得x10,x2a，关于x的方程x2ax20，当=0时，即a22时，易知CB3，符合题意；当>0时，即a22或a22时，易知0，-a不是方程x2ax20的根，故CB4，不符合题意；当<0时，即22a22时，方程x2ax20无实根，若a=0，则B={0}，CB1，符合题意，若22a0或0a22，则CB2，不符合题意.S)=3.所以S0,22,22，故C(

故选：B.【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当<0时，容易遗漏a=0时的情况，注意仔细分析题目.6.函数y[x]在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中[x]表示不大于x的最大整数，如[1.5]1,[2.3]3,[3]3．那么不等式4[x]212[x]50成立的充分不必要条件是（A.[,]【答案】B【解析】【分析】先解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】因为4[x]212[x]50，则2x12x50，则又因为[x]表示不大于x的最大整数，所以不等式4[x]212[x]50的解集为：1x3，因为所求的时不等式4[x]212[x]50成立的充分不必要条件，所以只要求出不等式4[x]212[x]50解集的一个非空真子集即可，）15

22B.[1,2]C.[1,3)D.[1,3]

15x，22

选项中只有[1,2]⫋1,3.故选：B.7.已知xy1,y0,x0，则1x的最小值为（2xy1

C.1）A.54B.0D.22【答案】A【解析】【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解.【详解】xy1，xy12，1

(xy1)

x1y1x，2

2xy144xy1y0,x0，

y1x0,0，4xy11x1y1x1y1x52，2xy144xy144xy14

y1x21

当且仅当，即x，y时等号成立，4xy133故选：A8.黎曼函数Rx是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，Rx在0,1上的定义为：当x

q1

ppqqRx（，且，为互质的正整数）时，；当x0或x1或x为0,1内pp

）注：p，q为互质的正整数pq，即的无理数时，Rx0.已知a，b，ab0,1，则（为已约分的最简真分数.1A.Rx的值域为0,2qp

B.RabRaRbD.以上选项都不对C.RabRaRb【答案】B【解析】【分析】设Axx

q

（pq，且p，q为互质的正整数），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的，p

无理数}，然后对A选项，根据黎曼函数Rx在0,1上的定义分析即可求解；对B、C选项：分①aA，aAaB

或分析讨论即可．bA；②aB，bB；③bBbA

q

【详解】解：设Axx，（pq，且p，q为互质的正整数），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]p

上的无理数}，对A选项：由题意，Rx的值域为0,,,,故选项A错误；对B、C选项：①当aA，bA，则RabRaRb，RabRaRb；②当aB，bB，则RabRaRb，RabRaRb＝0；11

231

,，其中p是大于等于2的正整数，p

aAaB③当或，则RabRaRb，RabRaRb，bBbA

所以选项B正确，选项C、D错误，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是牢牢抓住黎曼函数Rx在0,1上的定义去分析.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9.若不等式ax2bxc0的解集是(1,2)，则下列选项正确的是（A.b0且c0C.abc0【答案】ABD【解析】B.abc0

D.不等式ax2bxc0的解集是{x|2x1}

）【分析】根据一元二次不等式的解集可判断出a的正负以及a,b,c的关系，由此可判断各选项的对错.【详解】因为ax2bxc0的解集为-1,2，解集属于两根之内的情况，所以a<0，又因为

()abc0ba

，所以；4a2bc0c2a

A．ba0,c2a0，故正确；B．因为11,2，所以abc0，故正确；C．因为解集为-1,2，所以abc0，故错误；D．因为ax2bxc0即为ax2ax2a20，即x2x20，解得x2,1，故正确；故选：ABD.10.命题p:xR，x22x2m0为假命题，则实数m的取值可以是（A.1【答案】ABC【解析】【分析】先求出命题为真命题时实数m的取值范围，然后利用补集思想求出命题为假命题时m的取值范围，由此可得出合适的选项.【详解】若命题p:xR，x22x2m0为真命题，则Δ242m4m40，解得m1，2

()）D.2B.0C.1所以当命题p:xR，x22x2m0为假命题时，m£1，符合条件的为A、B、C选项.故选：ABC.11.设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为Aa,b

ab

，几何平均数为Ga,bab，则2

有：Ga,bAa,b，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提apbp

出了“Lehmer均值”，即Lpa,bp1，其中p为有理数．如：p1aba0.5b0.5abL0.5a,b0.50.5

11．下列关系正确的是（ababA.L0.5a,bAa,b）B.L0a,bGa,bC.L2a,bL1a,b【答案】AC【解析】D.Ln1a,bLna,b【分析】根据新定义逐个选项代入，化简后根据基本不等式与柯西不等式判断即可.【详解】A：L0.5a,b

abab

abAa,b，故A对；112aba0b02ab2ababG(a,b)，故B错；B：L0(a,b)1

1

abab2ababa2b2

C：L2a,b，L1a,b，2ab而L2a,bL1a,b

2a2b2ab2a2b2a2b2

21，故C对；222ab2abab2ab2a2b2an1bn1

n1n1n1n1nn2abababnnLn1(a,b)ab1，故D错.D：由柯西不等式，nn22nnnnabLn(a,b)ababn1n1ab故选：AC.12.已知集合xxaxb0,a0有且仅有两个子集，则下面正确的是（A.a2b24B.a

2

2）14bC.若不等式x2axb0的解集为x1,x2，则x1x20

D.若不等式x2+ax+bB，a2

111114b24b4，当且仅当4b,b,a2时等号成立，故B正确.b2bbbC，不等式x2axb0的解集为x1,x2，x1x2b0，故C错误.D，不等式x2+ax+b2

x1x24x1x2a24bc4c16，c4，故D正确，2

故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知f

11

，那么f(x)的解析式为________.

xx1

x

(x0,x1).1x【答案】f(x)【解析】【分析】用1

代换已知式中的x，可得，注意x有取值范围．x

11可知，函数的定义域为{x|x≠0，x≠﹣1}，xx1

【详解】解：由f

1

1x用代换x，代入上式得：f(x)=1=，1x1xxx

(x0,x1)．故答案为：f(x)

1x【点睛】本题考查求函数解析式，掌握函数这定义是解题关键．求解析式时要注意自变量的取值范围．∣t+2____________．【答案】,3【解析】【分析】由MNN可知NM，讨论N与N，即可求出答案.【详解】因为MNN，所以NM，当N时：t22t1t3，满足题意；t+2<2t1当N时：4t+22t13t>3t6，无解；t2所以实数t的取值范围为,3.故答案为：,315.已知函数fxx2，gxx2mx4mR，若对任意x11,2，存在x24,5，使得2

gx1fx2，则m的取值范围______．【答案】,24【解析】【分析】由题意可判断yygx,1x2yyfx,4x5，由此求出fx2,3，可得5

相应不等式恒成立，转化为函数最值问题，求解即可.【详解】由题意知yygx,1x2yyfx,4x5；当x4,5时，fx2,3，故gxx2mx4mR需同时满足以下两点：2

①对x1,2时，gxx2mx43

2

∴2mx

1

恒成立，x1

为增函数，x

由于当x1,2时，yx∴2m2

15,m；24

2②对x1,2时，gxx2mx42，∴2mx由于x

2

恒成立，x22

22，当且仅当x，即x2[1,2]时取得等号，xx∴2m22,m2，∴m,2，54故答案为：,24

16.若a,bR，且a22ab3b21，则a2b2的最小值为_______.【答案】【解析】【分析】根据a2+2ab﹣3b2=1得到(a+3b)(a﹣b)=1，令x=a+3b，y=a﹣b，用x，y表示a，b，然后代入a2+b2，利用均值不等式求解.【详解】由a2+2ab﹣3b2=1得(a+3b)(a﹣b)=1，令x=a+3b，y=a﹣b，则xy=1且a

5

514

x3yxy

，b，44所以a2+b2=(x3y2xy2x25y2225x2y2251，)+()44884

5时取等号.5当且仅当x25，y2

故答案为51

.4

【点睛】本题主要考查均值不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（其中第17题10分，18~22题每题12分，共70分）

x5

Ax017.已知全集UR，集合，Bxa1xa1,aR.x2

（1）当a2时，求痧UA

UB；（2）若xA是xB的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）痧UA（2）a3a4【解析】UBxx1或x5【分析】（1）当a2时，求出集合A、B，利用补集和交集的定义可求得集合痧UA（2）分析可知，B围.【小问1详解】因为Ax

UB；A，利用集合的包含关系可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数a的取值范x5

0x2x5，当a2时，Bx1x3，x2

因为全集UR，则ðUAxx2或x5，ðUBxx1或x3，因此，痧UA

UBxx1或x5.【小问2详解】易知集合Bxa1xa1,aR为非空集合，因为xA是xB的必要不充分条件，则B因此，实数a的取值范围是a3a4.18.已知a，b，c均为正实数，且abc1．（1）求证：（2）求A，所以，

a12

，解得3a4.a15

111

1118；abc

111

的最小值．abc【答案】（1）证明见解析（2）9【解析】【分析】（1）根据可得证；（2）根据111abcabcabc

111111结合基本不等式即abcabc

111abcabcabc

结合基本不等式即可得解.abcabc【小问1详解】abcabcabc111原式

abc



bcacababc



2bc2ac2ababc8abc

8.abc1

是取等号，3

当且仅当abc

所以

111

1118；abc

【小问2详解】原式

abcabcabc

abcbacacb

3abacbc

2bacacb223abacbc1

是取等号，3

2339.当且仅当abc所以111

的最小值为9．abc19.已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值..【答案】（1）【解析】【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得结果；（2）将2x8yxy变形为分式型【小问1详解】∵x0，y0，2x8yxy0，∴xy2x8y216xy8xy，当且仅当2x8y时取等号，281，利用“1”的代换和基本不等式可得结果.yx（2）18∴xy8

∴xy，当且仅当x4y16时取等号，故xy的最小值为.【小问2详解】∵2x8yxy，则281，yx又∵x0，y0，∴xy(xy)(

282x8y2x8y)1010218，yxyxyx当且仅当x2y12时取等号，故xy的最小值为18.20.济南市地铁项目正在加火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2t20，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当10t20时列车为满载状态，载客量为500人，当2t10时，载客量会减少，减少的人数与(10t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为p(t).（1）求p(t)的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为Qt分钟的净收益最大，并求出最大值.8pt2656

t，问当发车时间间隔为多少时，该线路每60（元）300+40t2t2,2t<10

【答案】（1）p(t)=；450

500,10t20

（2）发车时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.【解析】【分析】（1）由题设，有p(t)500k(10t)2且p(2)=372，求k值，进而写出其分段函数的形式即可.（2）由（1）写出Q(t)解析式，讨论2t10、10t20求最大值即可.【小问1详解】由题设，当2t10时，令p(t)500k(10t)2，又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，∴p(2)500k(102)2372，解得k=2.300+40t2t2,2t<10∴p(t)=，500,10t20故t=5时，p(5)5002(105)2450，所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为450人.【小问2详解】256

26016t,2t<10t由（1）知：Q(t)=，134460,10t20t∵2t10时，Q(t)260216t256132当且仅当t=4等号成立，t∴2t10上Q(t)maxQ(4)132，而10t20上，Q(t)单调递减，则Q(t)maxQ(10)74.4，综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.21.已知二次函数yax2bx2（a，b为实数）（1）若x1时，y1且对x2,5，y0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若x1时，y1且对a2,1，y0恒成立，求实数x的取值范围．【答案】（1）a322（2）

117117

,44

【解析】【分析】（1）由题意求出ba1可得yaxa1x20对x2,5恒成立，分离参数，即得21

x2fta2，利用基本不等式即可求得答案；2，令tx20,3，则可得t3xxmax

t（2）由题意yaxa1x2，变更主元：令a为主元，视x为参数，则gaxxa2x0，2

2

对a2,1恒成立，由此可得不等式组，即可求得答案.【小问1详解】将x1，y1代入得ab1,ba1

∴yaxa1x20对x2,5恒成立，2即axxx2对x2,5恒成立，2

当x2,5时，由于y=x2-x在2,5上单调递增，故x2x2220，∴a

x2

，x2,5，2

xxmax

令tx20,3，则ft

t

t2t22

t11322，t23t2t2322t3tt当且仅当t

2

，即t20,3时等号成立，t∴a322；【小问2详解】由题意ba1,yaxa1x2，2

变更主元：令a为主元，视x为参数，令gaxxa2x，对a2,1，gaxxa2x0恒成立，2

2

2g22x2x2x02x2x20故只需，即2，2g1xx2x0x20117117117117x解得44,x4,4.2x222.已知函数fx

x2x，gxx2x．（1）求函数fx的定义域和值域；（2）已知a为非零实数，记函数hxfxagx的最大值为ma，求ma．【答案】（1）0,2，2,2

12a,a且a0

2



112

,a（2）m(a)a22a2

22,a2

【解析】【分析】（1）根据根式的概念可得fx定义域，再计算f2x22x11，结合二次函数值域2求解可得fx值域；（2）令t

，设函数Ftat2ta，t2,2，再根据二次函数对称轴x2x2,22与区间的位置关系分类讨论求解即可.【小问1详解】x0

x0,2，定义域：

2x0f

2

xx2x22

x2x2x2x22x11当x0,2时，x110,1，∴f

2

2x2,4,fx0，∴fx2,2；【小问2详解】hxx2xax2x，令tx2x2,2，t22

则t22x2xx2x，2

2

t22a

2,2设Ftta，t2ta，t221°若a<0，此时二次函数对称轴t

1

02，开口向上，则FtmaxF22a.a

2°若a0，此时对称轴：t①当11

2即0a时，开口向下，则FtmaxF22a；a21111

2即1a2，对称轴t，开口向下，则FtmaxFa，aaa2a221

0，a②当2

③122即a时，开口向下，FtmaxFa22

2；12a,a且a0

2



112

,综上：m(a)a2a2.2a

22,a2