吉林大学计算方法作业答案5

第五章作业答案（习题五P119）

2. 解：（1）所给方程组可化为如下等价方程组

0x1x125x313

15115x11011x2010202x31033

15151010203

01B513Jacobi迭代矩阵为

因

813313B1max,,115151015

故Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法都收敛。

Jacobi迭代格式分量表达式为

k11k1k1x2x3x15510k11k1k1x2x1x351020k11k2k1x33x13x23

Gauss-Seidel迭代格式的分量表达式为

k11k1k1x2x3x15510k11k11k1x2x1x351020k11k12k11x33x13x23 

0x0,0,0，代入上述两种迭代格式分别计算，直到满足精度要求为止。用Jacobi取

T迭

代格式计算得

x 2.99999,2.00001,1.00002

T用Gauss-Seidel迭代格式计算得

x2.99999,2.00000,1.00001

T（2）因所给方程组的系数矩阵

831A41116312

为严格对角占优矩阵，故Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法都收敛。

两种迭代格式的计算类似（1），略。

3. 解：（1）

00100000.40.4D010，L0.400，U000.80010.40.80000

0.40.401BDLU0.400.80.40.80 Jacobi迭代矩阵为

算得B1.0931，故Jacobi迭代法不收敛。

Gauss-Seidel迭代矩阵为

00.40.41GDLU00.160.00.0320.672

因GG0.81，从而Gauss-Seidel迭代法收敛。

（2）方法同（1），略。

300000002D020，L000，U001002210000 5. 解：

00BD1LUD1LD1U00112 Jacobi迭代矩阵为 23120

令IB0，解得：

10，2，31112，则

B11112

故Jacobi迭代法收敛。

Gauss-Seidel迭代矩阵为

GID1L110311D1UDLU0211430012

因

GG1314，从而Gauss-Seidel迭代法收敛。

此题可用计算的方法比较两种迭代法收敛的快慢，略。

（2）解法思路同上，略。

00a000013D0a0，L100，U00200a320000 6. 解：

当a0时，Jacobi迭代矩阵为

01BD1LUa3a1a2a03a2a0

2ia令IB0，解得：

10，2，3。则当

B22i1aa，即a2

时，Jacobi迭代法收敛。

当a0时，原方程组可化为

x1113x1x1122x2bx321x33

Jacobi迭代矩阵为

113B112321

令

IB0312i，则 ，解得11，2，

B12i51

故Jacobi迭代法不收敛。

00100000a0D0100，Lb00，U00b7. 解：

0050a0Gauss-Seidel迭代矩阵为

a00GDL1Uab10b010010a2bab050050

IG0ab令，解得：

120，3100。故

G3ab1001，即

ab1003 为Gauss-Seidel迭代法收敛的充要条件。

8．证明思路同题5（1），略。

000