鳅予扁平 乘咐黼———— ＿口Ｉ 学习研究版２ｏ１６年第１２期 圈 数学归纳法在数列中的应用 一潘宏俊 数学归纳法是用来证明某些与正整数ｎ 整理得（ｂ 一１） 一（６ ＋１）。。 有关的数学命题的一种方法。它的基本步骤 是：（１）验证 一”。时，命题成立（归纳奠基）； （２）在假设当ｎ一是（患≥ ｏ，忍∈Ｎ＋）时命题成 立的前提下，推出当 一是＋１时，命题成立 （归纳递推）。根据（１）（２）可以断定命题对一 切大于等于 ｏ的正整数 都成立。数列问 故ｂ…一１±（６ ＋１）。 又因为数列｛ｂ ）为正项数列，所以ｂ 一 ｂ ＋２一（２ｋ一１）＋２—２（是＋１）～１，即当ｎ一 是＋１时，结论成立。 由①②知，对一切 ∈Ｎ＋，均有ｂ ：＝＝ ２ 一１。 题是与正整数有关的问题，本文就来谈谈数 学归纳法在数列中的应用。 例１ 已知正项数列｛６ ）的前 项和 Ｓ 一＿１（６ ＋１）ｚ。 点评：本题由数列的前几项，猜想数列的 通项公式，因为猜想不一定正确，所以要用数 学归纳法证明。 例２已知等差数列｛ｎ ）的通项公式为 。 一３ 一１，等比数列｛６ ｝的通项公式为６ 一 猜想数列 的通项公式ｌ’？ ：？ 的 ．；． 、． …， ２． ，记Ｔ ｚ ａ￣ｂｌ＋ａ ６ ＋……＋口 ６ ，ｎ∈ 并用数学 。，出ｂ，Ｎ＋，证 ：Ｔ ＠１２＝－－２“ ＋１ｏ６ （ｎ∈Ｎ＋）。 归纲法让明。 证明：（１）当 一１时，Ｔｌ＋１２一ａｌｂ１＋ 解：（１）由已知ｓ 一音（６ ＋１）。，且数列 ｛６ ）为正项数列，得： １２—１６，一２ｎ ＋ｌＯｂ －二１６，故等式成立。 （２）假设当ｎ。二愚（忌≥１）时等式成立，即 ６１一ｓｌ一÷‘６ｌ＋ ２ｌ一 一２× 一 １＋６ ２一 ＋ 一ｎ ＋１６１＋ｎ ６２＋ａ＾６３＋…＋ｎ ６ ＋１ Ｓ ２—６１＋６ ２一＿－１（６ ＋１）ｚ，即＝＝：ｎ＾＋ ６ ＋ｑ（ｎ ６ ＋。 ６ ２十…ｎ１６＾） ＝＝＝ｎ ＋１６１＠ｑＴ １（６ ２＋１） ＝》６ ２＝３＝２Ｘ ２－－１， Ｓ ３—６１＋６ ２＋６ ３—１＋３＋６ ３一 ￣ａ ｋ＋ｌ６ｌ＋ｑ（一２ｎ ＋１。６＾一１２） 一２口 ＋１—４（“ ＋１—３）＋ｌＯｂｋ＋１—２４ 一一２ａ ｋ＋ｌ＋１Ｏｂｋ＋ｌ一１２ ｛（６ ３＋ ） ６ ３—５—２×３－－１， Ｓ —ｂ１＋ｂ ２＋ｂ。＋ｂ 一１＋３＋５＋ｂ 一 （６ ＋１）ｚ ６ 一７—２×４—１。 ４ １２一即Ｔ＾＋ ＋１２一一２ｎ ＋１＋ｌｏ６ ＋ ，因此当 ”一是＋１时等式也成立。 由（１）（２）可知：对任意的ｎ∈Ｎ＋，Ｔ ＋ ２ａ ＋ｌＯｂ 。 ：（２）由（１）的结果可猜想出数列｛６ ｎ）的通 项公式为６”一２”一１（ｎ∈Ｎ＋），用数学归纳法 证明如下： 点评是由 也成立本题用数学归纳法证明等式，关键 一是时等式成立推出 一是＋１时等式 ，①当 一１时，６ 一２×１—１，公式成立 ②假设当 一是（忌≥１）时，公式成立，即 ６ 一２是一１＾ 这也是数学归纳法的重难点。 总之因为数列是与正整数有关的问题， 可以用数学归纳法解决但是用数学归纳法 ，。一定要按照步骤，特别是第（２）步由７ｚ一是时 那么６ ＝＝＝ｓ 一ｓ 一 １（６ ＋１） １ 一 命 成立推出 —ｋ＠ｌ时命题也成立的过程 中，一定要巧妙运用假设成立的式子。 Ｔ－（６ －ｌ－１） 。 作者单位：安徽省临泉一中 ９
