2013年全国统一高考数学试卷(学生)

一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．

2

1．（5分）（2014•武汉模拟）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n，n∈A}，则A∩B=（ ） A．{1，4} B． {2，3} C． {9，16} D． {1，2} 2．（5分）（2013•黄梅县校级模拟） A．﹣1﹣i B． ﹣1+i =（ ） C． 1+i D． 1﹣i 3．（5分）（2013秋•库尔勒市校级期末）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） A．B． C． D． 4．（5分）（2014•长沙校级模拟）已知双曲线C：

的离心率为

，则C的渐近线方程为（ ） A． 5．（5分）（2015•广西模拟）已知命题p：∀x∈R，2＜3；命题q：∃x∈R，x=1﹣x，则下列命题中为真命题的是（ ） p∧q A．B． ￢p∧q C． p∧￢q D． ￢p∧￢q 6．（5分）（2014•武汉模拟）设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则（ ） A．B． C． D． Sn=2an﹣1 Sn=3an﹣2 Sn=4﹣3an Sn=3﹣2an 7．（5分）（2014•武汉模拟）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（ ）

x

x

3

2

B． C． y=±x D． A．[﹣3，4] B． [﹣5，2] C． [﹣4，3] 2

D． [﹣2，5] 8．（5分）（2014•武汉模拟）O为坐标原点，F为抛物线C：y=4x的焦点，P为C上一

点，若|PF|=4，则△POF的面积为（ ） 2 4 A．B． C． D． 2 2 9．（5分）（2014•聊城二模）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（ ） A．B． C． D．

10．（5分）（2013•黄梅县校级模拟）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cosA+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（ ） 10 9 8 5 A．B． C． D． 11．（5分）（2014•武汉模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

2

16+8π A． 8+8π B． 16+16π C． 8+16π D． 12．（5分）（2014•武汉模拟）已知函数f（x）=

的取值范围是（ ） A．（﹣∞，0] B． （﹣∞，1] C． [﹣2，1]

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．

，若|f（x）|≥ax，则a

D． [﹣2，0] 13．（5分）（2014•苏州一模）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t= ．

14．（5分）（2014•重庆模拟）设x，y满足约束条件

，则z=2x﹣y的最大

值为 ．

15．（5分）（2014•内黄县校级模拟）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为 ． 16．（5分）（2014•上城区校级模拟）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ= ．

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）（2013•黄梅县校级模拟）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=﹣5． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{

}的前n项和．

18．（12分）（2013•黄梅县校级模拟）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下： 服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 （Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ （Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

19．（12分）（2014•开封二模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60° （Ⅰ）证明：AB⊥A1C； （Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=

，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．

20．（12分）（2013秋•三亚校级期末）已知函数f（x）=e（ax+b）﹣x﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4． （Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．

21．（12分）（2014•内黄县校级模拟）已知圆M：（x+1）+y=1，圆N：（x﹣1）+y=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C． （Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22．（10分）（2015•葫芦岛二模）（选修4﹣1：几何证明选讲）

2

2

2

2

x

2

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D． （Ⅰ）证明：DB=DC； （Ⅱ）设圆的半径为1，BC=

，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

23．（2015•南昌校级二模）（选修4﹣4：坐标系与参数方程） 已知曲线C1的参数方程为

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为

极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ． （Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π） 24．（2015•辽宁校级模拟）（选修4﹣5：不等式选讲） 已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3． （Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；

（Ⅱ）设a＞﹣1，且当

时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．