2019-2020年高一下学期期末考试(数学)(III)

数学

2019-2020年高一下学期期末考试（数学）(III)

1. 已知集合M{0,1}，则满足MN{0,1,2}的集合N的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 2． 如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边 长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是( )．

424338 A． B . C. D . 33633．函数y2cos2(x)1是（ ）

4C. 最小正周期为

主视图 左视图 A．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数

俯视图

第4题图 2的奇函数 D. 最小正周期为

2的偶函数

4. 已知,是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：

①若m,m，则； ②若m,n,m//，n//,则//；

n与相交； ③如果m,n,m、n是异面直线，那么④若m,n//m，且n,n，则n//且n//. 其中正确的命题是 （ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

n，则前n项和为 ( ) 2n11nA．Sn＝1－n B．Sn＝2－n1－n

22211nC．Sn＝n(1－n) D．Sn＝2－n1＋n

2226.已知平面区域D由以A1,3、B5,2、C3,1为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点x,y可使目标函数zxmy取得最小值，则m ( ) A.2 B.1 C.1 D.4

x2y22x2y107、设O为坐标原点，点A(1, 1)，若点B(x,y)满足0x1，则OAOB0y15．若数列{an}的通项公式为an＝

取得最大值时，点B的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个

8．甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x甲，x乙，

则下列正确的是（ ） A. x甲x乙；乙比甲成绩稳定 B. x甲x乙；甲比乙成绩稳定 C. x甲x乙；乙比甲成绩稳定 D. x甲x乙；甲比乙成绩稳定

甲 8 7 2 7 8 乙 6 8 8 8 2 9 1 0 9、圆x＋y－2x－1=0关于直线2x－y＋3=0对称的圆的方程是（ A．(x＋3)＋(y－2)=

2

2

2

2

22

）

1221 B．(x＋3)＋(y＋2)= 222

2

C．(x＋3)＋(y－2)=2 D．(x＋3)＋(y＋2)=2

10．两个圆C1：x＋y＋2x＋2y－2＝0，C2：x＋y－4x－2y＋1＝0的公切线条数（ )

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

11．对于a∈R，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，以5为半径的圆的

方程为( )

2222

A．x＋y－2x＋4y＝0 B．x＋y＋2x＋4y＝0

2222

C．x＋y＋2x－4y＝0 D．x＋y－2x－4y＝0 12. 在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),关于下列叙述 ①点P关于x轴对称的坐标是P1(x,－y,z) ②点P关于yox轴对称的坐标是P2(x,－y,－z) ③点P关于y轴对称的坐标是P3(x,－y,z)

④点P关于原点对称的坐标是P4(－x,－y,－z),其中正确的个数是 ( )

A.3 B.2 C.1 D.0

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）。 13、设x,y为正实数，且x+2y=1,则

2

2

2

2

11的最小值为 。 xy14．某学校共有师生2 400人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽

取一个容量为160的样本.已知从学生中抽取的人数为150,那么该学校的教师人数是 _____ 15．过点P(,1)的直线l与圆C:(x1)2y24交于A,B两点，当

12ACB最小时，直线l的方程为 。 16．若框图所

给的程序运行的结果为S132，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是 .

三、解答题（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。

17、（本小题满分10分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40, 50)，[50, 60)，…，[90, 100] 后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：

（I）求分数在 [70，80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的

平均分；

(Ⅲ) 根据频率分布直方图估计这次高一年级期中考试的学生成绩的中位数(保留整数)。 18．（本小题满分12分）已知向量 （1）若f(x)=1，求cos(

xxxm(3sin,1),n(cos,cos2),f(x)mn。

444+x)的值； 3 （2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a-c)cosB=bcosC，

求函数f(A)的取值范围。

19. （本小题满分12分）已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.

维生素A（单位/千克） 维生素B（单位/千克） 成本（元/千克） （Ⅰ）用x，y表示混合食物成本c元； （Ⅱ）确定x，y，z的值，使成本最低．

20．（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD中，AB2,BCa，又PA⊥平面ABCD，

甲 600 800 11 乙 700 400 9 丙 400 500 4 PA4．

（Ⅰ）若在边BC上存在一点Q，使PQQD， 求a的取值范围；

（Ⅱ）当边BC上存在唯一点Q，使PQQD时，

求二面角APDQ的余弦值．

21. （本小题满分12分）已知某种稀有矿石的价值y（单位：元）与其重量（单位：克）的平方成正比，且3克该种矿石的价值为000元。 ⑴写出y（单位：元）关于（单位：克）的函数关系式；

⑵若把一块该种矿石切割成重量比为1:3的两块矿石，求价值损失的百分率；

⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大。（注：价值损失的百分率略不计）

22．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{an}中，a11,Sn是数列an的前n项和，对任意nN，有 2Sn2anan1.函数f(x)x2x，数列{bn}的首项

2原有价值现有价值原有价值100%；在切割过程中的重量损耗忽

b131,bn1f(bn). 24（Ⅰ）求数列an的通项公式；

1（Ⅱ）令cnlog2(bn)求证：{cn}是等比数列并求{cn}通项公式；

2（Ⅲ）令dnancn，(n为正整数），求数列{dn}的前n项和Tn.

答案:

1-5 CBADC 6-10 CBCCB 11-12 CC

13、322 14． 150 15．2x4y30 16． k≤10?

17、解：（Ⅰ）1－(0.05+0.1+0.15+0.15+0.25) = 0.30 ……………………2分 补全直方图略 ……………………………………………………4分 （Ⅱ）45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05 = 71 ……8分 (Ⅲ)73

19．解：（Ⅰ）由题，c11x9y4z，又xyz100，

所以，c4007x5y．2分 （

Ⅱ

）

由

y3x-y=130 y0M68xx00y0,及zy0 z得，x z4016324xy ，6分 3xy130所以，7x5y450.

所以，c4007x5y400450850, 8分

4x+6y=320x当且仅当4x6y320x50时等号成立． , 即3xy130y20所以，当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低，为850元．12分

20．解法1：（Ⅰ）如图，连AQ，由于PA⊥平面ABCD，则由PQ⊥QD，必有AQDQ． ……2分

设BQt，则CQat，

在RtABQ中，有AQt4． 在RtCDQ中，有DQ222at224． ……4分

2在RtADQ中，有AQDQAD． 即t24at4a2，即t2at40． ∴at故a的取值范围为4,． ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当t2，a4时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），使PQ⊥QD． 过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD． 过M作MN⊥PD于N，连结NQ，则QN⊥PD．

∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角． ……8分

在等腰直角三角形PAD中，可求得MN2，又MQ2，进而NQ ……10分 ∴cosMNQ44． t6．

MN23． NQ36故二面角A－PD－Q的余弦值为

3． ……12分 3221.解⑴依题意设yk(0)，又当3时，y000，∴k6000，

故y60002(0)。 4分

⑵设这块矿石的重量为a克，由⑴可知，按重量比为1:3切割后的价值

22222为6000(a)6000(a)，价值损失为6000a(6000(a)6000(a))，

14341434136000a2[6000(a)26000(a)2]44价值损失的百分率为100%37.5%。8分 26000a⑶解法1：若把一块该种矿石按重量比为m:n切割成两块，价值损失的百分率应为

mn2)2mn1m2n22mn21[()()]，又，当且仅当mn时取222(mn)(mn)2mnmn(mn)2(等号，即重量比为1:1时，价值损失的百分率达到最大。12分

解法2：设一块该种矿石切割成两块，其重量比为x:1，则价值损失的百分率为

x2122x21[()()]2，又x0，∴x12x，

1x1xx2x12x2x1，等号当且仅当x1时成立。 故2x2x12x2x2答：⑴函数关系式y60002(0)； ⑵价值损失的百分率为37.5%； ⑶故当重量比为1:1时，价值损失的百分率达到最大。 22．解: （Ⅰ）由2Sn2anan1 ①

得2Sn12an1an11 ② 由②—①，得 2an12(an1an)(an1an)即：2(an1an)(an1an)(an1an)02222

---------2分

(an1an)(2an12an1)0由于数列an各项均为正数， 2an12an1 即 an1an11数列an是首项为1，公差为的等差数列， 221n1 22 ----------4分

数列an的通项公式是 an1(n1)（Ⅱ）由bn1f(bn)112知bn1bnbn， 4411(bn)2， 221121有log2(bn1)log2(bn)2log2(bn)，即cn12cn，---------6分

2221而c1log2(b1)log221，

2所以bn1故{cn}是以c11为首项，公比为2的等比数列。

所以cn2n1 ---------8分 （Ⅲ）dnancnn1n12(n1)2n2， 21所以数列{dn}的前n项和Tn 22320n2n3(n1)2n2

n1错位相减可得Tnn2 -----12分