九年级上册期中考试数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）一元二次方程x2﹣3x﹣8=0的两根分别为x1、x2，则x1x2=（ ）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
3．（3分）抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点个数为（ ）
A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个
4．（3分）如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
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5．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
6．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（ ）
A．
B．2
C．3 D．2
7．（3分）若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（ ）
A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4
8．（3分）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（ ）
A．CnH2n+2 B．CnH2n C．CnH2n﹣2 D．CnHn+3
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9．（3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）O是等边△ABC内的一点，OB=1，OA=2，∠AOB=150°，则OC的长为（ ）
A．
B．
C．
D．3
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）构造一个根为2和3的一元二次方程 （写一个即可，不限形式）
12．（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，若干小分支、支干和主干的总数是73，则每个支干长出 个小分支．
13．（3分）已知A（0，3）、B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的对称轴是 ．
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14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= ．
15．（3分）如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是 ．
16．（3分）函数y=点，则n的取值为 ．
的图象与直线y=﹣x+n只有两个不同的公共
三、解答题（共72分）
17．（8分）解方程：x2+4x﹣5=0．
18．（8分）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
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求证：AC=BD．
19．（8分）江夏某村种植的水稻2010年平均亩产500kg，2012年平均亩产605kg，求该村亩产量的年平均增长率．
20．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1，直接写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°的图形△A2B2C2，直接写出点A2的坐标；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
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21．（8分）已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2=0
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．
22．（10分）某商场销售的某种商品每件的标价是80元，若按标价的八折销售，仍可盈利60%，此时该种商品每星期可卖出220件，市场调查发现：在八折销售的基础上，该种商品每降价1元，每星期可多卖20件．设每件商品降价x元（x为整数），每星期的利润为y元
（1）求该种商品每件的进价为多少元？
（2）当售价为多少时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
（3）2015年2月该种商品每星期的售价均为每件m元，若2015年2月的利润不低于24000元，请直接写出m的取值范围．
23．（10分）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．
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猜想结论：（要求用文字语言叙述）
写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．
24．（12分）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C
（1）求A、B、C的坐标；
（2）过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G．若FG=F的坐标；
AC，求点
（3）E（0，﹣2），连接BE．将△OBE绕平面内的某点逆时针旋转90°得到△O′B′E′，O、B、E的对应点分别为O′、B′、E′．若点B′、E′两点恰好落在抛物线上，求点B′的坐标．
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参与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2016•随州）随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
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2．（3分）（2016秋•江夏区期中）一元二次方程x2﹣3x﹣8=0的两根分别为x1、x2，则x1x2=（ ）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣8=0的两根分别为x1，x2，
∴x1•x2=﹣8．
故选D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．
3．（3分）（2014•东海县模拟）抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点个数为（ ）
A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】当x=0时，求出与y轴的纵坐标；当y=0时，求出关于x的一元二次方程x2﹣2x+1=0的根的判别式的符号，从而确定该方程的根的个数，即抛物线y=x2﹣2x+1与x轴的交点个数．
【解答】解：当x=0时，y=1，
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则与y轴的交点坐标为（0，1），
当y=0时，x2﹣2x+1=0，
△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，
所以，该方程有两个相等的解，即抛物线y=x2﹣2x+2与x轴有1个点．
综上所述，抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是2个．
故选C．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中x=0，求出的y值即为抛物线与y轴交点的纵坐标；令y=0，求出对应的x的值，即为抛物线与x轴交点的横坐标．
4．（3分）（2016•黄石）如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【分析】根据⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，可以求得AN的长，
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从而可以求得ON的长．
【解答】解：由题意可得，
OA=13，∠ONA=90°，AB=24，
∴AN=12，
∴ON=
，
故选A．
【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．
5．（3分）（2016•桂林）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
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【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得：k＜5且k≠1．
故选B．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合一元二次方程的定义以及根的判别式得出不等式组是关键．
6．（3分）（2016•宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（ ）
A．
B．2
C．3 D．2
【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离．
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【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，
∴AE=4，DE=3，
∴BE=1，
在Rt△BED中，
BD==．
故选：A．
【点评】题目考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．
7．（3分）（2016•眉山）若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（ ）
A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4
【分析】思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问
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题．
【解答】解：将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位，
∵y=（x﹣1）2+2，
∴原抛物线图象的解析式应变为y=（x﹣1+1）2+2﹣3=x2﹣1，
故答案为C．
【点评】本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移是反方向的，记住左加右减，上加下减的规律，属于中考常考题型．
8．（3分）（2016•娄底）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（ ）
A．CnH2n+2 B．CnH2n C．CnH2n﹣2 D．CnHn+3
【分析】设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，列出部分an的值，根据数值的变化找出变化规律“an=2n+2”，依次规律即可解决问题．
【解答】解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，
观察，发现规律：a1=4=2×1+2，a2=6=2×2+2，a3=8=2×3+2，…，
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∴an=2n+2．
∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为CnH2n+2．
故选A．
【点评】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“an=2n+2”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据碳原子的变化找出氢原子的变化规律是关键．
9．（3分）（2016秋•江夏区期中）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据一次函数和二次函数的性质可以判断a、b的正负，从而可以解答本题．
【解答】解：在A中，由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项A错误；
在B中，由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，故选项B错误；
在C中，由一次函数图象可知，a＜0，b＜0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，
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故选项C正确；
在D中，由一次函数图象可知，a＜0，b＞0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项D错误；
故选C．
【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
10．（3分）（2016秋•江夏区期中）O是等边△ABC内的一点，OB=1，OA=2，∠AOB=150°，则OC的长为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【分析】根据等边三角形的性质，将△AOB绕B点顺时针旋转60°到△BO′C的位置，可证△OO′B为等边三角形，由旋转的性质可知∠BO′C=∠AOB=150°，从而可得∴∠CO′O=90°，已知OO′=OB=1，CO′=AO=2，在Rt△COO′中，由勾股定理可求OC．
【解答】解：如图，将△AOB绕B点顺时针旋转60°到△BO′C的位置，由旋转的性质，得BO=BO′，
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∴△BO′O为等边三角形，
由旋转的性质可知∠BO′C=∠AOB=150°，
∴∠CO′O=150°﹣60°=90°，
又∵OO′=OB=1，CO′=AO=2，
∴在Rt△COO′中，由勾股定理，得OC===．
故选B．
【点评】本题利用了旋转的性质解题．关键是根据AB=BC，∠ABC=60°，得出等边三角形，运用勾股定理逆定理得出直角三角形．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）（2016秋•江夏区期中）构造一个根为2和3的一元二次方程 （x﹣2）（x﹣3）=0或x2﹣5x+6=0 （写一个即可，不限形式）
【分析】依题意知方程的两根是2和3，因而方程是（x﹣2）（x﹣3）=0．
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【解答】解：∵一元二次方程（要求二次项系数为1）的两根是2和3，
∴该方程是（x﹣2）（x﹣3）=0，即x2﹣5x+6=0．
故答案是：（x﹣2）（x﹣3）=0或x2﹣5x+6=0．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．已知方程的两根写出方程的方法是需要熟记的．即（x﹣x1）（x﹣x2）=0．
12．（3分）（2016秋•江夏区期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，若干小分支、支干和主干的总数是73，则每个支干长出 8 个小分支．
【分析】设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程求得x的值．
【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：1+x+x•x=73，
即x2+x﹣72=0，
（x+9）（x﹣8）=0，
解得x1=8，x2=﹣9（舍去）．
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答：每个支干长出8个小分支．
故答案为8．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，列方程求解，注意能够熟练运用因式分解法解方程．
13．（3分）（2016秋•江夏区期中）已知A（0，3）、B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的对称轴是 x=1 ．
【分析】把点的坐标代入可求得抛物线解析式，则可求得对称轴．
【解答】解：
∵A（0，3）、B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，
∴对称轴为x=﹣=1，
故答案为：x=1．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，由已知点的坐标求得抛物线解析式是解题的
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关键．
14．（3分）（2016•安顺）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= 4﹣
．
【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE=ED=CD=3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长度，最后由BE=OB﹣OE，即可求出BE的长度．
【解答】解：如图，连接OC．
∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，
∴CE=ED=CD=3．
∵在Rt△OEC中，∠OEC=90°，CE=3，OC=4，
∴OE==，
∴BE=OB﹣OE=4﹣．
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故答案为4﹣．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定理得出CE、ED的长度．
15．（3分）（2016•金华）如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是 2或5 ．
【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后由翻折的性质可知：AB′=10，DB=DB′，接下来分为∠B′DE=90°和∠B′ED=90°，两种情况画出图形，设DB=DB′=x，然后依据勾股定理列出关于x的方程求解即可．
【解答】解：∵Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
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∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，
∴BD=DB′，AB′=AB=10．
如图1所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．
设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8﹣x．
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2=AF2+FB′2，即（6+x）2+（8﹣x）2=102．
解得：x1=2，x2=0（舍去）．
∴BD=2．
如图2所示：当∠B′ED=90°时，C与点E重合．
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∵AB′=10，AC=6，
∴B′E=4．
设BD=DB′=x，则CD=8﹣x．
在Rt△′BDE中，DB′2=DE2+B′E2，即x2=（8﹣x）2+42．
解得：x=5．
∴BD=5．
综上所述，BD的长为2或5．
故答案为：2或5．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
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16．（3分）（2016秋•江夏区期中）函数y=
只有两个不同的公共点，则n的取值为 n＞﹣3或n=﹣
的图象与直线y=﹣x+n ．
【分析】画出图象，利用图象法解决问题．
【解答】解：函数y= 的图象如图所示，
由图象可知当n＞﹣3时，函数y的图象与直线y=﹣x+n只有两个不同的公共点．
由消去y得到x2﹣3x﹣3﹣n=0，
△=0时，n=﹣，
由，消去y得到x2﹣3x+=0，
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∵△=0，
∴直线y=﹣x﹣与函数y的图象只有两个交点，
综上所述，n的取值范围为n＞﹣3或n=﹣
故答案为n＞﹣3或n=﹣．
【点评】本题考查二次函数、一次函数的图象特征，解题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象解决问题，学会利用方程组确定交点个数问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共72分）
17．（8分）（2010•）解方程：x2+4x﹣5=0．
【分析】通过观察方程形式，利用二次三项式的因式分解法解方程比较简单．
【解答】解：原方程变形为（x﹣1）（x+5）=0
∴x1=﹣5，x2=1．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
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18．（8分）（2015•江岸区校级模拟）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
求证：AC=BD．
【分析】作OH⊥AB于H，根据垂径定理得到AH=BH，CH=DH，然后利用等量减等量差相等可得到结论．
【解答】证明：作OH⊥AB于H，如图，
则AH=BH，CH=DH，
∴AH﹣CH=BH﹣DH，
即AC=BD．
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【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
19．（8分）（2016秋•江夏区期中）江夏某村种植的水稻2010年平均亩产500kg，2012年平均亩产605kg，求该村亩产量的年平均增长率．
【分析】设该村亩产量的年平均增长率为x，根据“2012年的亩产=2010年的亩产×1加增长率的平方”即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设该村亩产量的年平均增长率为x，
根据题意得：500×（1+x）2=605，
解得：x=10%或x=﹣210%（舍去）．
答：该村亩产量的年平均增长率为10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
20．（8分）（2016秋•江夏区期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1，直接写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°的图形△A2B2C2，直接写出点A2的坐标；
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（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2））找出点A、B、C关于原点O的对称点的位置，然后顺次连接即可；
（3）找出A的对称点A′，连接BA′，与x轴交点即为P．
【解答】解：（1）如图所示：点A1的坐标（﹣3，1）；
（2）如图所示：点A2的坐标（﹣1，﹣1）；
（3）找出A的对称点A′（1，﹣1），
连接BA′，与x轴交点即为P；
如图所示：点P坐标为（2，0）．
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【点评】本题考查了利用平移变换作图、轴对称﹣最短路线问题；熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
21．（8分）（2016秋•江夏区期中）已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2=0
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值，再将其代入原方程解方程即可求出方程的根；
（2）假设存在，设方程两根为x1，x2，根据根与系数的关系可得出x1+x2=4m﹣8、x1•x2=4m2，结合
=136即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出m的
值，再由方程有解即可得出△=﹣m≥0，解不等式即可确定m的值，此题得解．
【解答】解：（1）∵方程x2+（8﹣4m）x+4m2=0有两个相等实根，
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∴△=（8﹣4m）2﹣4×1×4m2=﹣m=0，
解得：m=1，
∴原方程为x2+4x+4=0，
解得：x1=x2=﹣2．
答：m的值为1，此方程的根为﹣2．
（2）假设存在，设方程两根为x1，x2，
则有x1+x2=4m﹣8，x1•x2=4m2，
∴=﹣2x1•x2=（4m﹣8）2﹣2×4m2=8m2﹣m+=136，
解得：m1=﹣1，m2=9．
∵方程有实数根，
∴△=（8﹣4m）2﹣4×1×4m2=﹣m≥0，
∴m≤1，
∴m的值为﹣1．
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【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系结合
=136求出m的值是解题的关键．
22．（10分）（2016秋•江夏区期中）某商场销售的某种商品每件的标价是80元，若按标价的八折销售，仍可盈利60%，此时该种商品每星期可卖出220件，市场调查发现：在八折销售的基础上，该种商品每降价1元，每星期可多卖20件．设每件商品降价x元（x为整数），每星期的利润为y元
（1）求该种商品每件的进价为多少元？
（2）当售价为多少时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
（3）2015年2月该种商品每星期的售价均为每件m元，若2015年2月的利润不低于24000元，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）设成本为m元，根据题意得：80×0.8﹣m=0.6m，即可解答；
（2）根据题意得到y=（80×0.8﹣x﹣40）（220+20x）=﹣20x2+260x+5280=﹣20（x﹣6.5）2+6125，利用二次函数的性质，即可解答；
（3）利用每星期的利润恰为24000÷4=6000元建立一元二次方程，求出方程的解，进一步确定取值范围．
【解答】解：（1）设成本为m元，根据题意得：
80×0.8﹣m=0.6m
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解得：m=40，
∴该种商品每件的进价为40元；
（2）y=（80×0.8﹣x﹣40）（220+20x）=﹣20x2+260x+5280=﹣20（x﹣6.5）
2+6125，
∴当x=6.5时，y最大，
∵x为整数，
∴x1=7，x2=6，
∴当x=6或7时，y最大为6120元．
80×0.8﹣7=57（元），80×0.8﹣6=58（元），
∴当售价为57元或58元时，每星期的利润最大．
（3）由题意得：﹣20（x﹣6.5）2+6125=24000÷4，
解得：x1=9，x2=4，
∴﹣9=55（元），﹣4=60（元），
∵2015年2月该种商品每星期的售价均为每件m元，
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∴55≤m≤60．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是根据题目中的数量关系列出式子，求出函数关系式．
23．（10分）（2016•衢州）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．
猜想结论：（要求用文字语言叙述） 垂美四边形两组对边的平方和相等
写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．
【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；
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（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．
【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．
证明：∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，
求证：AD2+BC2=AB2+CD2
证明：∵AC⊥BD，
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∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2；
（3）连接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE，
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
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由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC=4，AB=5，
∴BC=3，CG=4，BE=5，
∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73，
∴GE=．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
24．（12分）（2016秋•江夏区期中）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C
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（1）求A、B、C的坐标；
（2）过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G．若FG=F的坐标；
AC，求点
（3）E（0，﹣2），连接BE．将△OBE绕平面内的某点逆时针旋转90°得到△O′B′E′，O、B、E的对应点分别为O′、B′、E′．若点B′、E′两点恰好落在抛物线上，求点B′的坐标．
【分析】（1）对于抛物线分别令x=0，y=0即可解决问题．
（2）先求出AC的解析式，由题意可知FG=2，设F（m，﹣m2﹣2m+3），则G（m，m+3），则有|﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）|=2，解方程即可．
（3）如图2中，旋转90°后，对应线段互相垂直且相等，则BE与B’E’互相垂直且相等．设B’（t，﹣t2﹣2t+3），则E’（t+2，﹣t2﹣2t+3﹣1）．因为E’在抛物线上，则有﹣（t+2）2﹣2（t+2）+3=﹣t2﹣2t+3﹣1，解方程即可．
【解答】解：（1）对于抛物线y=﹣x2﹣2x+3，
令x=0得y=3，∴C（0，3），
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令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0解得x=﹣3或1，
∴A（﹣3，0）；B（1，0）；C（0，3）．
（2）如图1中，
∵A（﹣3，0），C（03），
∴直线AC解析式为y=x+3，OA=OC=3，
∴AC=3，FG=AC=2
设F（m，﹣m2﹣2m+3），则G（m，m+3），
则|﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）|=2，
解得m=﹣1或﹣2或或，
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则F点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）或（，）或（，）．
（3）如图2中，旋转90°后，对应线段互相垂直且相等，则BE与B’E’互相垂直且相等．
设B’（t，﹣t2﹣2t+3），则E’（t+2，﹣t2﹣2t+3﹣1）
∵E’在抛物线上，则﹣（t+2）2﹣2（t+2）+3=﹣t2﹣2t+3﹣1，
解得，t=﹣，则B’的坐标为（﹣，）．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会用方程的思想思考问题，把问题转化为方程，本题体现了数形结合的思想，属于中考常考题型．
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