关于Smarandache对偶函数

苟素;杜晓英

【摘 要】定义Smarandache对偶函数S*(n)为最大的正整数m使得m!|n.定义另一种双阶乘函数S**(n)为最大的正整数2m-1使得(2m-1)!!|n,其中2+n;且当2|n时,为最大的正整数2m使得(2m)!!|n.本文的主要目的是利用初等方法研究一个包含S**(n)的无穷级数的收敛性,并给出一个有趣的恒等式. 【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》 【年(卷),期】2008(024)001 【总页数】4页(P17-20)

【关键词】Smarandache对偶函数;无穷级数;恒等式 【作 者】苟素;杜晓英

【作者单位】西安邮电学院应用数理系,陕西,西安,710061;西北大学数学系,陕西,西安,710127 【正文语种】中 文 【中图分类】O156.4

定义Smarandache对偶函数S∗(n)为最大的正整数m使得m!|n,其中n为任意的正整数,也就是

关于这个问题,不少作者作过研究,并且得到了一些有意义的结论.例如,在文[1]中,J.Sandor做了这样一个猜想,即提出了对正整数k和在2k+1之后的第一个素数q有

后来这个命题被文[2]所证实.

在文[3]中,李洁研究了一个包含S∗(n)的无穷级数的敛散性,并获得了一个恒等式.即就是对任意的实数α≤1,无穷级数是发散的,当α＞1时是收敛的.而且 其中ζ(α)是Riemann zeta-函数.

现在我们定义另一种双阶乘函数S∗∗(n)如下

我们发现这个函数与S∗(n)有着非常相似的性质.在这篇文章中,就是想说明这一点,即就是利用初等方法研究的收敛性质,并给出一个有趣的恒等式.即就是证明下面的 定理对于任意实数s＞1,无穷级数是收敛的,且 其中ζ(s)是Riemann zeta-函数. 由上面的定理我们立刻获得下面的 推论当s=2,4时,我们有恒等式

首先,如果s＞1,由S∗∗(n)＜＜lnn可得狄利克雷级数是收敛的,且 当n为偶数时,如果S∗∗(n)=2m,则(2m)!!|n.现在我们令n=(2m)!!·n2且(2m+2)†n2.那么对于任意实数s＞1,我们有 结合(1)式和(2)式立刻得到 于是就完成了定理的证明.

当s=2,4时,注意到(见文[4-5])我们容易算出下面的式子

【相关文献】

[1]Sandor J.On certain generalizations of the Smarandache function[J].Smarandache Notions Journal,2000, 11:202-212.

[2]Le Maohua.A conjecture concerning the Smarandache dual functions[J].Smarandache Notions Journal, 2004,14:153-155.

[3]Li Jie.On Smarandache dual functions[J].Scientia Magna,2006(2):111-113.

[4]Tom M A.Introduction to Analytic Number Theory[M].New York:Springer-Verlag,1976. [5]赵院娥.一个新的数论函数及其均值[J].纯粹数学与应用数学,2006,22(2):163-166.