2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(甲卷·文科)
1．设集合𝑀＝{1，3，5，7，9}，𝑁＝{𝑥∣2𝑥>7}，则𝑀∩𝑁＝( ) A．{7，9}
B．{5，7，9}
C．{3，5，7，9}
D．{1，3，5，7，9}
2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
频率
组距0.20 0.14 0.10 0.04 0.02 0 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 11.5 12.5 13.5 14.5 收入/万元
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( ) A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 3．己知(1−𝑖)2𝑧＝3＋2𝑖，则𝑧＝( ) A．−1−2𝑖
3
B．−1＋2𝑖
2𝑥
3
C．−2＋𝑖
3
D．−2−𝑖
3
4．下列函数中是增函数的为( ) A．𝑓(𝑥)＝−𝑥 5．点(3，0)到双曲线16−A．
59
𝑥2
B．𝑓(𝑥)＝(3)
𝑦29
C．𝑓(𝑥)＝𝑥2
D．𝑓(𝑥)＝√𝑥
3
＝1的一条渐近线的距离为( )
85
B． C．
5
6
D．
5
4
6．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(√10≈1.259)( ) A．1.5
B．1.2
C．0.8
D．0.6
10
1
7．在一个正方体中，过顶点𝐴的三条棱的中点分别为𝐸，𝐹，𝐺．该正方体截去三棱锥𝐴−𝐸𝐹𝐺后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是( )
A． B．
∘
C． D．
正视图8．在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐵＝120，𝐴𝐶＝√19，𝐴𝐵＝2，则𝐵𝐶＝( ) A．1
B．√2 B．8
C．√5 C．9
D．3
9．记𝑆𝑛为等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和．若𝑆2＝4，𝑆4＝6，则𝑆6＝( ) A．7
D．10
10．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )
A．0.3
𝜋
B．0.5
cos𝛼√5C．0.6 D．0.8
11．若𝛼∈(0，)，tan2𝛼＝，则tan𝛼＝( )
22−sin𝛼
A．15
√15B．5 C．3
1
1
5
√5D．
√15 3
12．设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f－x)．若𝑓(−3)＝3，则𝑓(3)＝( )
A．− 35
B．−
3
1
C． 3
1
D． 3
5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
⃗⃗满足|𝑎⃗⃗|＝5，𝑎⃗⃗＝1，则|𝑏⃗⃗|＝_______________． 13．若向量𝑎⃗，𝑏⃗|＝3，|𝑎⃗－𝑏⃗⋅𝑏14．己知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为_______． 15．已知函数𝑓(𝑥)＝2cos(𝜔𝑥＋𝜑)的部分图像如图所示，则𝑓()＝______．
2
y𝜋
2xOπ313π1216．已知𝐹1，𝐹2为椭圆𝐶：
𝑥216
＋
𝑦24
＝1两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|𝑃𝑄|＝|𝐹1𝐹2|，则四边形
𝑃𝐹1𝑄𝐹2的面积为______．
2
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作
答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共60分。
17．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机
床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
甲机床 乙机床 合计 一级品 150 120 270 二级品 50 80 130 合计 200 200 400 (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ (2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附：K2＝
𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2
(𝑎＋𝑏)(𝑐＋𝑑)(𝑎＋𝑐)(𝑏＋𝑑)
，
P(K2≥k) 0.050 0.010 𝑘
0.001 3.841 6.635 10.828 18．记𝑆𝑛为{𝑎𝑛}的前𝑛项和，已知𝑎𝑛>0，𝑎2＝3𝑎1，且数列{√𝑆𝑛}是等差数列．证明：{𝑎𝑛}是等差数列．
3
19．已知直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，侧面𝐴𝐴1𝐵1𝐵为正方形．𝐴𝐵＝𝐵𝐶＝2，𝐸，𝐹分别为𝐴𝐶和𝐶𝐶1的中点，𝐵𝐹⊥
𝐴1𝐵1．
(1)求三棱锥F－EBC的体积；
(2)已知𝐷为棱𝐴1𝐵1上的点，证明：𝐵𝐹⊥𝐷𝐸．
20．设函数𝑓(𝑥)＝𝑎2𝑥2＋𝑎𝑥−3ln𝑥＋1，其中a>0． (1)讨论f(x)的单调性；
(2)若y＝f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．
21．抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且𝑂𝑃⊥𝑂𝑄．已知点
𝑀(2，0)，且⊙𝑀与𝑙相切． (1)求C，⊙𝑀的方程；
(2)设𝐴1，𝐴2，𝐴3是C上的三个点，直线𝐴1𝐴2，𝐴1𝐴3均与⊙M相切．判段直线𝐴2𝐴3与⊙𝑀的位置关系，并说明理由．
A1C1DB1FAECB4
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线𝐶的极坐标方程为𝜌＝2√2cos𝜃．
(1)将𝐶的极坐标方程化为直角坐标方程；
⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝√2𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，写出𝑃的轨迹𝐶1的参数方程，并判断𝐶与𝐶1(2)设点𝐴的直角坐标为(1，0)，𝑀为𝐶上的动点，点𝑃满足𝐴𝑃是否有公共点．
23．[选修4－5：不等式选讲]
已知函数𝑓(𝑥)＝|𝑥−2|，𝑔(𝑥)＝|2𝑥＋3|−|2𝑥−1|．(1)画出𝑦＝𝑓(𝑥)和𝑦＝𝑔(𝑥)的图象； (2)若𝑓(𝑥＋𝑎)≥𝑔(𝑥)，求𝑎的取值范围．
y1O1x5
