数列常见题型总结经典(超级经典)

题型一 数列通项公式的求法

1．前n项和法（知Sn求an）an

n1、若数列{an}的前n项和Sn2，求该数列的通项公式。

(n1)S1

SnSn1(n2)2例1、已知数列{an}的前n项和Sn12nn，求数列{|an|}的前n项和Tn

2、若数列{an}的前n项和Sn

23、设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn2Snn，

3an3，求该数列的通项公式。 2求数列{an}的通项公式。

2.形如an1anf(n)型（累加法）

（1）若f(n）为常数，即:an1and，此时数列为等差数列，则an=a1(n1)d. (2）若f(n）为n的函数时，用累加法。 例 1。 已知数列{an}满足a11,an3

1

n13n1an1(n2)，证明an

2*1. 已知数列an的首项为1，且an1an2n(nN)写出数列an的通项公式.

2. 已知数列{an}满足a13，anan1

1(n2)，求此数列的通项公式。

n(n1)an1f(n)型(累乘法） anan1（1）当f(n)为常数，即：n1q（其中q是不为0的常数）,此数列为等比且an=a1q.

an3.形如

（2）当f（n）为n的函数时,用累乘法. 例1、在数列{an}中a11,an

1、在数列{an}中a11,an

2、求数列anan1 (n2)，求数列的通项公式. n1n1an1 (n2),求an与Sn。 n12n3a(n2)的通项公式. 1,a1n2n1n1

2

pan1型（取倒数法）

ran1san1例1. 已知数列an中,a12，an(n2),求通项公式an

2an114.形如an

练习:1、若数列{an}中,a11，an1an,求通项公式an。

3an1

2、若数列{an}中,a11，an1an2anan1，求通项公式an.

5．形如an1cand,(c0，其中a1a）型(构造新的等比数列）

（1）若c=1时，数列{an｝为等差数列;（2)若d=0时，数列｛an｝为等比数列；

（3）若c1且d0时，数列{an｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。 方法如下:设an1Ac(anA)，利用待定系数法求出A

11an,求通项an. 22例1．已知数列{an}中,a12,an1

3

练习：1、若数列{an}中，a12，an12an1，求通项公式an。

3、若数列{an}中，a11，an1

2an1，求通项公式an. 36.形如an1panf(n)型(构造新的等比数列）

(1)若f(n)knb一次函数（k，b是常数,且k0），则后面待定系数法也用一次函数。 例题。 在数列{an}中，a13，2anan16n3，求通项an。 2

练习:1、已知数列an中，a13，an13an4n2，求通项公式an

(2)若f(n)q（其中q是常数，且n0，1)

n①若p=1时,即：an1anq，累加即可

n②若p1时，即：an1panq，后面的待定系数法也用指数形式。

n两边同除以q令bn

n1 。 即：

anqn，则可化为bn1pan1,

qn1qqnqp1bn.然后转化为类型5来解， qqan14

例1. 在数列{an}中，a1

1、已知数列an中，a1

2，且an2an13n1(nN)．求通项公式an 511n,2anan1()，求通项公式an. 22n2、已知数列an中，a11,an13an32,求通项公式an。

题型二 根据数列的性质求解（整体思想)

1、已知Sn为等差数列an的前n项和,a6100，则S11 ；

2、设Sn、Tn分别是等差数列an、bn的前n项和，

3、设Sn是等差数列an的前n项和，若

5、在正项等比数列an中，a1a52a3a5a3a725,则a3a5_______.

Sn7n2a，则5 。 Tnn3b5a55S,则9（ ） a39S55

6、已知Sn为等比数列an前n项和,Sn54，S2n60，则S3n 。

7、在等差数列an中，若S41,S84,则a17a18a19a20的值为（ ）

8、在等比数列中，已知a9a10a(a0),a19a20b，则a99a100 。

题型三:证明数列是等差或等比数列 A)证明数列等差

例1、已知数列{an｝的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0(n≥2）,a1=

B)证明数列等比

*例1、已知数列an满足a11,a23,an23an12an(nN).11。求证：{｝是等差数列;

Sn2

⑴证明：数列an1an是等比数列； ⑵求数列an的通项公式；

题型四：求数列的前n项和 基本方法：A）公式法， B）分组求和法

1、求数列{22n3}的前n项和Sn.

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nC)裂项相消法,数列的常见拆项有：

11111()；n1n；

n(nk)knnknn1例1、求和:S=1+

例2、求和：

D）倒序相加法，

111 12123123n1111。 213243n1nx2111)f(2009)f(1例、设f(x)，求：f(20103)f(2)f(2)f(2009)f(2010). 21x

E）错位相减法，

n1、若数列an的通项an(2n1)3,求此数列的前n项和Sn。

23. Sn12x3xnxn1(x0) （将分为x1和x1两种情况考虑）

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