扭摆法测定物体转动惯量

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大学物理（一） 课程实验报告

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学 期：扭摆法测定物体转动惯量 实验名称： 小组成员：

1、实验目的：

1）用扭摆测定几种不同形状物体的转动惯量和弹簧的扭转常数，并与理论值进行比较；

2）验证转动惯量平行轴定理。 2、实验设备及材料：

1）扭摆及几种待测转动惯量的物体；

空心金属圆柱体、实心塑料圆柱体、木球、验证转动惯量平行轴定理用的稀金属杆，杆上有两块可以自由移动的金属滑块； 2）游标卡尺、米尺、物理天平

3）转动惯量测试仪：由主机和光电传感器两部分组成。 3、实验原理：

1）转动惯量的测量 转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定形式运动，通过表征这种运动特征的物理量，与转动惯量的关系，进行转换测量。本实验使物体作扭转摆动，由于摆动周期及其它参数的测定计算出物体的转动惯量。

扭摆的构造如图1所示，在垂直轴1上装有一根薄片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。在轴的上方可以装上各种待测物体。垂直轴与支座间装有轴承，以降低摩擦力矩，3为水平仪，用来调整系统平衡。 将物体在水平面内转过一角度θ后，在弹簧的恢复力矩作用下，物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。根据虎克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M与所转过的角度θ成正比，即： Mk （1） 式中，k为弹簧的扭转常数。根据转动定律

MI

图1扭摆的构造 1－垂直轴，2－蜗簧，3－水平仪 式中，I为物体绕转铀的转动惯量，β为角加速度，由上式得 MI （2）

令2kI，且忽略轴承的摩擦阻力矩，由式（1）、（2）得：

ddt22kI

2上述方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性，角加速与角位移成正比，且方向

相反，此方程的解为：

Acos(t)

式中，A为谐振动的角振幅，φ为初相位角，ω为角速度。此谐振动的周期为：

T22Ik （3）

由（3）式可知，只要实验测得物体扭摆的摆动周期，并在I和k中任何一个量已知时即可计算出另一个量。

理论分析证明，若质量为m的物体绕通过质心轴的转动惯量为I0时，当转轴平行移动距离x时，则此物体的转动惯量变为I0+mx2。称为转动惯量的平行轴定理。

2）间接比较法测量，确定扭转常数K

已知标准物体的转动惯量I1，被测物体的转动惯量I0；被测物体的摆动周期T0，标准物体被测物体的摆动周期T1。通过间接比较法可测得

I0I1T0222

也可以确定出扭转常数K

k422T1T0I1T1T02

定出仪器的扭转常数k值，测出物体的摆动周期T，就可计算出转动惯量I。 （3）“对称法”验证平行轴定理

平行轴定理：若质量为m的物体（小金属滑块）绕通过质心轴的转动惯量为I0时，当转轴平行移动距离x时，则此物体的转动惯量变为I0+mx2。为了避免相对转轴出现非对称情况，由于重力矩的作用使摆轴不垂直而增大测量误差。实验中采用两个金属滑块辅助金属杆的对称测量法，验证金属滑块的平行轴定理。这样，I0为两个金属滑块绕通过质心轴的转动惯量，m为两个金属滑块的质量，杆绕摆轴的转动惯量I杆，当转轴平行移动距离x时（实际上移动的是通过质心的轴），测得的转动惯量

I＝I杆+I0+mx2

两个金属滑块的转动惯量 Ix＝I－I杆＝I0+mx2

本实验先利用一个几何形状规则的物体进行实验，他的转动惯量可以根据它的质量和几何尺寸用理论公式直接计算得到，用累加放大法测出T之后，再算出本仪器弹簧的K值。若要测定其他形状物体的转动惯量，只需将待测物体安放在本仪器顶部的各种夹具上，测定其摆动周期，由式（3）即可算出该物体绕转动

轴的转动惯量。

4、实验内容及数据：

（1）调节扭摆水平和转动惯量测试仪处于测量状态。 （2）测定扭摆的仪器常数即弹簧的扭转常数。

（3）测量塑料圆柱体、金属圆筒和木球的转动惯量，并与理论值比较，计算百分误差。

（4）测量滑块位置不同时的转动惯量，验证转动惯量平行轴定理。 5．实验数据处理过程：

（1）测量扭转常数和载物金属盘转动惯量

表1 测量塑料圆柱的直径D数据

次数 1 2 3 4 5 平均值 S/mm u/mm σ/mm D/mm 99.96 99.98 99.98 99.98 99.96 99.97 0.05 0.01 0.05 表2 测量载物金属盘与塑料圆柱的质量和摆动周期数据 质量 物理量 m/kg 金属载0.2976 物盘 塑料圆0.7120 柱 σ/×10-3kg 0.06 0.06 10Ti/s 1 7.402 12.41 2 7.400 12.38 3 7.400 12.40 4 7.398 12.39 5 7.401 12.42 周期 平均值 T/s 不确定度 σ/s 0.74000 0.00006 1.2400 0.0006 注：塑料圆柱的摆动周期为塑料圆柱加金属载物盘的。

1）塑料圆柱的转动惯量理论值

I118mD228.895104(kg.m)2

(kg.m)2估算不确定度：II1''12DmDm20.009104

2塑料圆柱转动惯量理论值结果表示：2）测量扭转系数

仪器弹簧的扭转系数k：

k422I1(8.8950.009)10B0.1%4(kg.m)

I1T1T02'428.895101.24002420.740003.5470102(kg.m.s22N.m)

估算不确定度：

k4222T1T0I2'12I1'T1T12TT2012I1'T0T0T2T201220.004102(N.m)

扭转常数k的结果表示：

k(3.5470.004)10B0.12%2(N.m)

3）金属载物盘的转动惯量

I0kT04223.5471020.740002243.144.925104(kg.m)2

4）塑料圆柱的转动惯量测量值

I1kT1422I03.5471021.242243.144.9251048.904104(kg.m)

2 相对百分误差：BI1I1I1100%8.9048.8958.895100%0.1%

（2）、测量金属圆筒和木球的转动惯量

表3 金属圆筒的内径d、外径D与木球的直径Do测量数据 测量次数 物理量 平均S/mm u/mm 1 2 3 4 5 值 99.999.999.999.999.96 99.98 0.05 0.01 金属圆D/mm 8 8 6 7 筒 94.093.693.893.9d/mm 94.08 94.12 0.08 0.01 0 2 2 3 136.136.136.136.木球 Do/mm 136.0 136.1 0.04 0.06 0 2 1 1 表4 金属圆筒、木球的质量与摆动周期测量数据 质量 σ/×10-3kg 1 金属圆筒 0.6902 0.06 15.40 木 球 0.7235 0.06 12.20 1）金属圆筒的转动惯量 理论值：

m/kg I218m(Dd)22σ/mm 0.05 0.08 0.07 周期 10Ti/s 2 15.40 12.22 3 15.41 12.20 4 15.38 12.21 5 15.41 12.17 平均值 T/s 1.5400 1.2200 不确定度 σ/s 0.0006 0.0006 物理量 180.6902(99.9793.93)102261.623103(kg.m)2

测量值：

I2142kT2I021423.54710-21.544.92510241.640103(kg.m)2

相对百分误差：BI2I2I2100%1.640.16231.623100%1%

2）木球的转动惯量 理论值：I3测量值：

I3142110mD 21100.7235136.110261.340103(kg.m)

2kT2I球支架1423.54710-21.220.17910241.339103(kg.m)

2相对百分误差：BI3I3I3100%1.3391.3401.339100%0.07%

（3）、验证平行轴定理

表5 金属圆筒、木球的质量与摆动周期测量数据

滑块位置 x/mm 无滑块 50.0 100.0 150.0 200.0 250.0 周期10Ti/s 1 2 3 4 5 平均值 T/s T 4.6220 6.0025 10.049 26.214 26.214 38.192 2转动惯量 ×10-3/kg.m2 4.153 5.393 9.029 14.956 23.553 34.315 IxI杆块I杆 ×10-3/kg.m2 / 1.240 4.876 10.803 19.400 30.162 21.50 21.51 21.50 21.52 21.47 2.150 24.51 24.51 24.52 24.46 24.52 2.450 31.72 40.81 51.20 61.80 31.70 40.83 51.22 61.82 31.73 40.80 51.21 61.83 31.70 40.82 51.16 61.78 31.65 40.75 51.22 61.79 3.170 4.080 5.120 6.180 其他测量数据如下：

金属杆长度，610.0mm；质量，133.5g；金属杆夹质量，65.0g；球夹质量，42.5；滑块质量，0.4587kg。

1）作Ix～x2图线

3530Ix=0.0482x+0.0277R = 122Ix/×10kg.m25201510500100-322003002400-42500600700x/×10m 根据图线可知，Ix与x成线性关系，实验结果与平行轴定理相符，验证了平行轴定理。Ix与x2的线性拟合关系为：

2图4 验证平行轴定理Ix～x图线2

Ix＝0.0482x2+0.0277，其中单位的Ix为10-3kg.m2；x2的为10-4m2。

由此可知，两个金属滑块的质量m＝0.482kg；两个金属滑块绕质心轴的转动惯量Ic＝0.277×10-4kg.m2。

2）金属细杆转动惯量的理论值和实验值 金属细杆的转动惯量理论值I‘杆：

I杆112mL211210.13350.6100＝4.1401023(kg.m)2

金属细杆的转动惯量测量值I杆：

I杆142kT4I杆支架2423.54710-22.150.2321024＝4.134103(kg.m)2

相对百分误差：BI杆I杆I4100%4.1344.1404.140100%0.14%

6．实验结果的评定及分析：

在常温常压条件下，测量结果为：

1）．塑料圆柱转动惯量理论值

I1(8.8950.009)10B0.1%42(kg.m)

2）．扭转常数

k(3.5470.004)10B0.12%2(N.m)

3）．验证平行轴定理实验结果与理论相符。

7．问题讨论： 1）．如何测量任意形状物体对特定轴的转动惯量？

答：先在载物盘上装上几何规则的物体，测量其摆动周期，计算出弹簧的扭转常数K值。再将任意形状物体装在载物盘上或直接装在垂直轴上，绕特定轴转动，测量出转动惯量。 若绕过质心轴转动，测量出过质心轴转动惯量，利用平行轴定理计算出绕特定轴转动惯量。 2）．扭摆启动时摆角要在90°左右，为什么？

答：由于弹簧的扭转常数 值不是固定常数，它与摆动角度略有关系，在小角度时变小，摆角在90°左右基本相同。 8. 指导老师评语及得分：

指导老师签名：

年 月 日

备注：以上各部分空白处大小可根据所要填写的实验内容自行调整。