安徽省马鞍山市二十二中2015-2016学年高二下学期期初考试数学(理)试卷

安徽省马鞍山市第二十二中学 2015—2016学年度下学期期初考试

高二数学理试题

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（60分）

1.已知命题“若p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是

A.若q,则p B.若p,则﹁q C.若﹁p,则﹁q D.若﹁q,则﹁p

2.l1,l2表示空间中的两条不同直线，命题p：“l1,l2是异面直线”；q：“l1,l2不相交”，则p是q的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，则下列说法正确的是

A.若m∥α，n∥α，则m∥n B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C.若m⊥α，m⊥n，则n∥α D.若m∥α，m⊥n，则n⊥α

4.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则满足l∥α的向量a与n可能为 A. a=(1,3,5)，n=(1,0,1) B.a=(1,0,0)，n=(-2,0,0) C. a=(1,-1,3)，n=(0,3,1) D. a=(0,2,1)，n=(-1,0,-1) 5.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为

ππ

A.8－2π B.8－π C.8－ D.8－ 24

6.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为

A.2x3y0 B.3x2y0

C.xy50 D.xy50或3x2y0 7.直线3x+4y=b与圆xy2x2y10相切，则b=

A.-2或12 B.-2或-12 C.2或12 D.2或-12

x＋y－7≤0，

22

8.设x，y满足约束条件x－3y＋1≤0，则z＝2x－y的最大值为

3x－y－5≥0，

9.抛物线yax的准线方程是y1，则a的值为 A.

2A.10 B.8 C.3 D.2

11 B. C.4 D.4 44

x2y210.已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆

ab2x-2+y=3相切，则双曲线的方程为 )(2x2y2x2y2x2y222A.-=1 B.-=1 C.-y=1 D.x-=1 91313933x2y211.已知椭圆E:221(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线

abl:3x4y0交椭圆E于A,B两点．若AFBF4，点M到直线l的距离不小于

则椭圆E的离心率的取值范围是 A.(0,4，53333] B.(0,] C.[,1) D.[,1) 224412.已知命题：

①若A、B、C、D是空间任意四点，则有ABBCCDDA0；

②b0,则a和b共线的充要条件是：R,使ab；

③若a和b共线，则a与b所在直线平行；

④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OPxOAyOBzOC（其中x、y、

z∈R），且x+y+z=1，则P、A、B、C四点共面. 则上述命题中正确命题的个数是

A.1 B.2 C.3 D.4

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（20分）

13.若命题p:∀x∈R,x2-1>0，则命题p的否定为﹁p： .

14.已知A,B是球O的球面上两点，且∠AOB=900，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为 .

15.设a，b是关于t的方程t2cosθ＋t sinθ＝0的两个不等实数根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两x2y2

点的直线与双曲线2－2＝1的公共点的个数为________．

cosθsinθ16.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)， 原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点， b

则＝______________． a

三、解答题

17（10分）如图，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB2，AC3，BD4，求CD的长．

22xy18（12分）已知命题p：方程1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；命题q：4tt1

2实数t满足不等式t(a3)ta20. ⑴若命题p为真，求实数t的取值范围；

⑵若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

19（12分）已知过点A0,1且斜率为k的直线l与圆C：x2y31交于M，N两点.

⑴求k的取值范围；

⑵若OMON12，其中O为坐标原点，求MN.

20（12分）设抛物线C：y=4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点． (1)设L的斜率为1，求|AB|的大小； (2)求证：OA·OB是一个定值．

222

21（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的

中点．

(1)证明：PB∥平面AEC； (2)设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E-ACD的体积．

x2y26

22（12分）已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离

ab3

为3.

(1)求椭圆C的方程；

3

(2)设直线L与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线L的距离为，求△AOB面积的

2

最大值．

2015―2016学年度第二学期高二开学考试

理科数学参

一选择题

题1 2 3 4 5 6 号 7 8 9 10 11 12 A C 答D A B C B D C B A D 案 二填空题

13 ∃x0∈R,x02-1≤0， 14 144π 15 0 16 1＋2 三解答题

17（10分）如图，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB2，AC3，BD4，求CD的长．

解：CDCAABBD----------------------------4分

22CD(CAABBD)222CAABBD2(CAABABBDBDCA)222 |CD|17 CAABBD2BDCA9416243cos12017所以CD的长为17．……………………10分

x2y218（12分）已知命题p：方程1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；命题q：

4tt1

2

实数t满足不等式t-(a+3)t+(a+2)<0

⑴若命题p为真，求实数t的取值范围；

⑵若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围。 解：（1）由4-t>t-1>0得1t （2）t2-(a+3)t+(a+2)<0的解是t=1或t=a+2

5 ---------------------------------4分 2

当1-1时t2-(a+3)t+(a+2)<0的解集是1P是q的充分不必要条件即 pq

a2a5 21 2当a+2≤1,即a≤-1时，不满足p是q的充分不必要条件，

a1 -------------------------------------------------------------12分 219（12分）已知过点A1,0且斜率为k的直线l与圆C：x2y31交于M，N

22两点.

⑴求k的取值范围；

⑵若OMON12，其中O为坐标原点，求MN.

----------------------------------------------------------------------4分 （II）设M(x1,y1),N(x2,y2). 将y=kx+1代入方程x-2所以x1+x2=()2+(y-3)=1,整理得(1+k2)x2-4(k+1)x+7=0,

24(k+1)7,xx=. 12221+k1+k4k(1+k) OM?ONx1x2+y1y2=1+k2 x1x2+kx1+x2+1=+8,

1+k24k(1+k)由题设可得+8=12，解得k=1，

1+k2所以l的方程为y=x+1. 故圆心在直线l上，

所以|MN|=2.------------------------------------------------------------------------12分

20（10分）设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点． (1)设L的斜率为1，求|AB|的大小； (2)求证：OA·OB是一个定值．



(1)解 ∵F(1,0)，∴直线L的方程为y＝x－1，

y＝x－1，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2得x2－6x＋1＝0，⊿>0

y＝4x

∴x1＋x2＝6，x1x2＝1.

∴|AB|＝x1+x2+p＝8. 4分

x＝ky＋1，

(2)证明 设直线L的方程为x＝ky＋1，由2得y2－4ky－4＝0. ⊿>0

y＝4x

→→

∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，OA＝(x1，y1)，OB＝(x2，y2)．

→→∵OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2 2

＝ky1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.

→→

∴OA·OB是一个定值． 12分

21（12）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

(1)证明：PB∥平面AEC； (2)设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E-ACD的体积．

图1-3 18．解：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO. 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点． 又E为PD的中点，所以EO∥PB. 因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，

所以PB∥平面AEC. 4分 (2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直．

→→

如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，|AP|为单位

3131→

长，建立空间直角坐标系A-xyz，则D(0，3，0)，E0，，，AE＝0，，.

2222

→设B(m，0，0)(m>0)，则C(m，3，0)，AC＝(m，3，0)． 设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，

mx＋3y＝0，→AC＝0，n1·

则即31

→y＋z＝0，AE＝0，n1·22

3可取n1＝，－1，3.

m又n2＝(1，0，0)为平面DAE的法向量，

1

由题设易知|cos〈n1，n2〉|＝，即

2

3132＝，解得m＝. 23＋4m2

1

因为E为PD的中点，所以三棱锥E-ACD的高为. 2

11313

所以三棱锥E-ACD的体积V＝××3××＝. 12分

32228x2y26

22（12分）已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离

ab3

为3.

(1)求椭圆C的方程；

3

(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的

2

最大值．

4分

12分