专题 圆锥曲线的定义

回访1 圆锥曲线的定义与方程

1

1．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±x，则该双

2曲线的标准方程为________．

2．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，则C的方程为________． 回访2 圆锥曲线的重要性质

x22

3．(2017·全国卷Ⅱ)若a>1，则双曲线2－y＝1的离心率的取值范围是( )

a

A．(2，＋∞) B．(2，2) C．(1，2) D．(1,2)

4．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的1

距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )

41123A. B. C. D. 3234

回访3 弦长问题

15．(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与

2抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )

A．3 B．6 C．9 D．12

1

热点题型1 圆锥曲线的定义、标准方程

x2y2

【例1】(1)(2017·哈尔滨模拟)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，

ab点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )

2

x2y2x2y2x222yA.－＝1 B．－＝1 C.－y＝1 D．x－＝1 41212433

(2)(2016·通化一模)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，→→

Q是直线PF与C的一个交点，若FP＝4FQ，则|QF|＝( )

75

A. B．3 C. D．2 22

[变式训练1] (1)(2016·郑州二模)经过点(2,1)，且渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切的双曲线的标准方程为( )

x2y2x22y2x2y2x2

A.－＝1 B.－y＝1 C.－＝1 D.－＝1 1111211111111333

(2)(2017·衡水模拟)已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为( )

x2y2x2y2x2y2x2y2

A.＋＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.＋＝1 121136353232

2

热点题型2 圆锥曲线的几何性质

y2

【例2】(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x－＝1的右焦点，P是C上

3

2

一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )

1123A. B. C. D. 3232

x2y2

(2)(2017·合肥二模)已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率

ab→→

为e.P是椭圆上一点，满足PF2⊥F1F2，点Q在线段PF1上，且F1Q＝2QP.若→→F1P·F2Q＝0，则e2＝( )

A.2－1 B．2－2 C．2－3 D.5－2

x2y2[变式训练2] (1)(2016·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：2－2＝1的左，右焦

ab1

点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )

3

3

A.2 B. C.3 D．2

2

x2y2

(2)(名师押题)已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2

ab的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )

A.

2

B．2－3 C.5－2 D.6－3 2

专题 圆锥曲线中的综合问题

3

回访1 圆锥曲线的定值、定点问题

x2y22

1．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，2)在

ab2C上．

(1)求C的方程；

(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

回访2 圆锥曲线中的最值与范围问题

x2y2

2．(2016·全国卷Ⅱ)已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线

43交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA. (1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积； (2)当2|AM|＝|AN|时，证明：3回访3 与圆锥曲线有关的探索性问题

3．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交

4

抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.

(1)求

|OH|

|ON|

； (2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．

热点题型1 圆锥曲线中的定点问题

题型分析：主要考查直线、曲线过定点或两直线的交点在定直线上，以解

5

答题为主．

【例1】 (2017·郑州二模)已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y＝－1相切．

(1)求圆心M的轨迹方程；

(2)动直线l过点P(0，－2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点.

热点题型2 圆锥曲线中的定值问题

题型分析：圆锥曲线中的定值问题是近几年高考的热点内容，解决这类问

6

题的关键是引入变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立，数式变换等寻找不受参数影响的量．

x2y23【例2】 (2016·重庆二模)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)上一点P1，2与椭

ab圆右焦点的连线垂直于x轴，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(均不在坐标轴上)．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设O为坐标原点，若△AOB的面积为3，试判断直线OA与OB的斜率之积是否为定值？

热点题型3 圆锥曲线中的最值、范围问题

题型分析：圆锥曲线中的最值、范围问题是高考重点考查的内容，解决此

7

类问题常用的方法是几何法和代数法．

x22

【例3】 (2017·东北三省四市模拟)已知椭圆C：2＋y＝1(a＞0)，F1，F2分别

a是其左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点． (1)求椭圆C的方程；

(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的1

垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是－4，0，求线段

AB长的取值范围．

8

专题 圆锥曲线的定义、方程、几何性质

回访1 圆锥曲线的定义与方程

9

1

1．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±x，则该双

2曲线的标准方程为________．

x221－y＝1 [法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x， 42∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)， ∴λ＝16－4×(3)2＝4， x22

∴双曲线的标准方程为－y＝1.

4

1

法二：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而3<2，

2

11

∴点(4，3)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)．

22

∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为 x2y2

－＝1(a>0，b>0)． a2b2由已知条件可得 b1a＝2，163a2－b2＝1，

2

a＝4，解得2

b＝1，

x22

∴双曲线的标准方程为－y＝1.]

4

2．(2013·全国卷Ⅰ改编)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，则C的方程为________．

x2y2

＋＝1(x≠－2) [由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N43

的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.

10

因为圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2，短x2y2

半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．]

43回访2 圆锥曲线的重要性质

x22

3．(2017·全国卷Ⅱ)若a>1，则双曲线2－y＝1的离心率的取值范围是( )

a

A．(2，＋∞) C．(1，2)

B．(2，2) D．(1,2)

a2＋1

C [由题意得双曲线的离心率e＝a.

2a＋112

∴e＝2＝1＋2. aa

11

∵a＞1，∴0＜2＜1，∴1＜1＋2＜2，

aa∴1＜e＜2. 故选C.]

4．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的1

距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )

41A. 32C. 3

1B. 23D. 4

B [不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线xy

l的方程为c＋b＝1，即bx＋cy－bc ＝0.由题意知回访3 弦长问题

1

5．(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与

2

11

|－bc|1c11

＝×2b，解得＝，即e＝.故选B.] 224a22b＋c

抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( ) A．3 C．9

B．6 D．12

B [抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)， ∴椭圆中c＝2，

c1

又a＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，

2x2y2

从而椭圆方程为＋＝1.

1612∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2， ∴xA＝xB＝－2，

将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3， 由图象可知|AB|＝2|yA|＝6. 故选B.]

热点题型1 圆锥曲线的定义、标准方程

题型分析：圆锥曲线的定义、标准方程是高考常考内容，主要以选择、填空的形式考查，解题时分两步走：第一步，依定义定“型”，第二步，待定系数法求“值”．

x2y2

【例1】(1)(2017·哈尔滨模拟)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，

ab点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( ) x2y2

A.－＝1 412x22

C.－y＝1 3

x2y2

B．－＝1

124y2

D．x－＝1

3

2

(2)(2016·通化一模)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上→→

一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP＝4FQ，则|QF|＝( ) 7

A. 2

B．3

12

5

C. 2

D．2

b

(1)D (2)B [(1)根据题意画出草图如图所示，不妨设点A在渐近线y＝ax上．

由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2.

bb

又点A在双曲线的渐近线y＝ax上，∴a＝tan 60°＝3. 又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝3， y2

∴双曲线的方程为x－＝1.故选D.

3

2

|PQ|3→→

(2)如图所示，因为FP＝4FQ，所以＝，过点Q作QM⊥l垂足为M，

|PF|4则MQ∥x轴，

所以

|MQ||PQ|3

＝＝，所以|MQ|＝3，由抛物线定义知|QF|＝|QM|＝3.] 4|PF|4

[方法指津]

求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”

1．定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． 2．计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn＞0)．

[变式训练1] (1)(2016·郑州二模)经过点(2,1)，且渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切的双曲线的标准方程为( )

13

x2y2

A.－＝1 11113y2x2

C.－＝1 11113

x22

B.－y＝1 2y2x2

D.－＝1 1111

3

(2)(2017·衡水模拟)已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为( ) x2y2

A.＋＝1 1211x2y2

C.－＝1 32

x2y2

B.－＝1 3635x2y2

D.＋＝1 32

(1)A (2)D [(1)设双曲线的渐近线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由题意知|－2|x2

＝1，解得k＝±3，则双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为2－

ak2＋1y2

＝1， b22212a2－b2＝1，ba＝3，

则有

11a2＝，

3解得故选A. b2＝11，

(2)由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝23＞|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，且a＝3，c＝1，∴b＝2，∴动点Px2y2

的轨迹方程为＋＝1，故选D.]

32

热点题型2 圆锥曲线的几何性质

题型分析：圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点和热点，其中求圆锥曲线的离心率是最热门的考点之一，建立关于a，c的方程或不等式是求解的关键．

y2

【例2】(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x－＝1的右焦点，P是C上

3

2

一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )

14

1A. 32C. 3

1B. 23D. 2

x2y2

(2)(2017·合肥二模)已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离

ab→

心率为e.P是椭圆上一点，满足PF2⊥F1F2，点Q在线段PF1上，且F1Q＝→→→2QP.若F1P·F2Q＝0，则e2＝( ) A.2－1 C．2－3

B．2－2 D.5－2

2

y2

(1)D (2)C [(1)因为F是双曲线C：x－＝1的右焦点，所以F(2,0)．

3因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)． y2P因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±3，

3所以P(2，±3)，|PF|＝3.

又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1， 113所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝.

222故选D.

2

b2→→b

(2)由PF2⊥F1F2可得Pc，±a，不妨设Pc，a，又由F1Q＝2QP得

2

b22c2b24c22b4→→c2b

－3，3a＝－＋2＝0，整理得b4Q3，3a，则F1P·F2Q＝2c，a·

33a

＝2a2c2，(a2－c2)2＝2a2c2，整理得c4－4a2c2＋a4＝0，即e4－4e2＋1＝0，又椭圆离心率0＜e＜1，解得e2＝2－3，故选C.] [方法指津]

1．求椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的方法

求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c

c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求a的值． 2．双曲线的渐近线的求法及用法

(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．

15

ba

(2)用法：①可得a或b的值．

②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．

x2y2

[变式训练2] (1)(2016·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：2－2＝1的左，右焦

ab1

点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )

3A.2 C.3

3B. 2D．2

x2y2

(2)(名师押题)已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过

ab点F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) A.2 2

B．2－3 D.6－3

C.5－2

b2

(1)A (2)D [(1)法一：如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝a.又sin1|MF1|1

∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|.由双曲线的定义得2a＝|MF2|

3|MF2|32b2

－|MF1|＝2|MF1|＝a，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率ec

＝a＝2.

法二：如图，因为MF1⊥x轴， b2

所以|MF1|＝a. 1

在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝得

3

16

tan∠MF2F1＝

2. 4

c2－a2|MF1|2b222

所以＝，即＝，即＝，

2c42ac42ac4整理得c2－

2

ac－a2＝0， 2

2

e－1＝0. 2

两边同除以a2得e2－

解得e＝2(负值舍去)． (2)设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，

若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝2m. 由椭圆的定义可知△F1AB的周长为4a， ∴4a＝2m＋2m，m＝2(2－2)a. ∴|AF2|＝2a－m＝(22－2)a. ∵|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2， ∴4(2－2)2a2＋4(2－1)2a2＝4c2， ∴e2＝9－62，e＝6－3.]

专题 圆锥曲线中的综合问题

[高考真题回访]

回访1 圆锥曲线的定值、定点问题

x2y22

1．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，2)在

ab2C上．

(1)求C的方程；

(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值． a2－b2242

[解] (1)由题意有a＝，2＋2＝1，

2ab解得a2＝8，b2＝4.

2分 3分

17

x2y2

所以C的方程为＋＝1．

84

4分

(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．

x2y2

将y＝kx＋b代入＋＝1，得

84(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0． 故xM＝

x1＋x2－2kbb

＝2，yM＝k·xM＋b＝2． 22k＋12k＋1

6分 8分

yM1

于是直线OM的斜率kOM＝x＝－，

2kM1

即kOM·k＝－. 2

11分 12分

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值． 回访2 圆锥曲线中的最值与范围问题

x2y2

2．(2016·全国卷Ⅱ)已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线

43交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积； (2)当2|AM|＝|AN|时，证明：30.

π

由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为. 4又A(－2,0)，因此直线AM的方程为y＝x＋2. x2y2

将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0.

43解得y＝0或y＝

1212，所以y1＝. 77

4分

11212144

因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝．

27749(2)证明：设直线AM的方程为y＝k(x＋2)(k＞0)， x2y2

代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0.

43

18

16k2－1223－4k2

由x1·(－2)＝得x1＝，

3＋4k23＋4k2121＋k2故|AM|＝|x1＋2|1＋k＝. 3＋4k221

由题意，设直线AN的方程为y＝－k(x＋2)， 12k1＋k2故同理可得|AN|＝.

3k2＋4由2|AM|＝|AN|得

2k

， 2＝23＋4k3k＋4

9分 7分

即4k3－6k2＋3k－8＝0.

设f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则k是f(t)的零点．f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，所以f(t)在(0，＋∞)单调递增．又f(3)＝153－26＜0，f(2)＝6＞0，因此f(t)在(0，＋∞)上有唯一的零点，且零点k在(3，2)内，所以3＜k＜2．

12分

回访3 与圆锥曲线有关的探索性问题

3．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.

(1)求

|OH|

； |ON|

(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由． t

[解] (1)如图，由已知得M(0，t)，P2p，t．



2

1分

2t

又N为M关于点P的对称点，故Np，t，



p

故直线ON的方程为y＝tx，

将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0,

19

2

2t22t

解得x1＝0，x2＝p.因此Hp，2t．



4分 6分

所以N为OH的中点，即

|OH|

＝2． |ON|

(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：7分 p2t

直线MH的方程为y－t＝x，即x＝p(y－t).

2t代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t， 即直线MH与C只有一个公共点，

所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．

9分

12分

热点题型1 圆锥曲线中的定点问题

题型分析：主要考查直线、曲线过定点或两直线的交点在定直线上，以解答题为主．

【例1】 (2017·郑州二模)已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y＝－1相切．

(1)求圆心M的轨迹方程；

(2)动直线l过点P(0，－2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点.

[解] (1)由题意，得点M与点(0,1)的距离始终等于点M到直线y＝－1的距离，由抛物线定义知圆心M的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线y＝－1为准p

线的抛物线，则＝1，p＝2.

2∴圆心M的轨迹方程为x2＝4y． (2)证明：由题知，直线l的斜率存在， ∴设直线l：y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

20

4分

则C(－x2，y2)，

2

x＝4y，联立得x2－4kx＋8＝0，

y＝kx－2，

x1＋x2＝4k，∴ x1x2＝8.

6分

2

x21x2－y1－y244x1－x2

kAC＝＝＝，

4x1＋x2x1＋x2

x1－x2

则直线AC的方程为y－y1＝(x－x1)，

4即y＝y1＋

x1－x2

(x－x1) 4

8分

2

x1－x2x1x1－x2x1＝x－＋ 444

x1－x2x1x2＝x＋．

44∵x1x2＝8，∴y＝

10分

x1－x2x1x2x1－x2

x＋＝x＋2， 444

12分

故直线AC恒过定点(0,2)．

热点题型2 圆锥曲线中的定值问题

题型分析：圆锥曲线中的定值问题是近几年高考的热点内容，解决这类问题的关键是引入变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立，数式变换等寻找不受参数影响的量．

x2y23【例2】 (2016·重庆二模)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)上一点P1，2与椭

ab圆右焦点的连线垂直于x轴，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(均不在坐标轴上)．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设O为坐标原点，若△AOB的面积为3，试判断直线OA与OB的斜率之积是否为定值？

21

192＋2＝1，a2＝4，

[解] (1)由题意知a4b解得2

b＝3，a2＝b2＋1，

3分

x2y2

∴椭圆C的标准方程为＋＝1．

43(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， x2y2＋＝1，由43y＝kx＋m，

6分

得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，

5分 6分

由Δ＝(8km)2－16(4k2＋3)(m2－3)＞0，得m2＜4k2＋3． －8km4m2－12∵x1＋x2＝2，x1x2＝2，

4k＋34k＋3

434k2＋3－m211

∴S△OAB＝|m||x1－x2|＝|m|·＝3，

224k2＋3

8分

化简得4k2＋3－2m2＝0，满足Δ＞0，从而有4k2－m2＝m2－3(*)， 9分

22y1y2kx1＋mkx2＋mkx1x2＋kmx1＋x2＋m

∴kOA·kOB＝＝＝

x1x2x1x2x1x222

－12k2＋3m24k2－m234k－m＝＝－·2，由(*)式，得2＝1，

4m－34m2－12m－3

33

∴kOA·kOB＝－，即直线OA与OB的斜率之积为定值－． 12分

44

热点题型3 圆锥曲线中的最值、范围问题

题型分析：圆锥曲线中的最值、范围问题是高考重点考查的内容，解决此类问题常用的方法是几何法和代数法．

x22

【例3】 (2017·东北三省四市模拟)已知椭圆C：2＋y＝1(a＞0)，F1，F2分别

a是其左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点． (1)求椭圆C的方程；

(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的1

垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是－4，0，求线段

AB长的取值范围．

[解] (1)因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，所以b＝c＝1，a＝2，

22

x22

所以椭圆C的方程为＋y＝1．

2

4分

(2)根据题意，直线A，B的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝k(xx22

＋1)，与＋y＝1联立，

2

消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)， 2k2－24k2

则x1＋x2＝－，x1·x2＝，

1＋2k21＋2k2y1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝k(x1＋x2＋2)＝2k2k

M－1＋2k2，1＋2k2. 

2k2k1则直线AB的垂直平分线为y－＝－kx＋1＋2k2，令y＝0，得xP＝

1＋2k2－k2

， 1＋2k2－k211

因为xP∈－4，0，即－＜＜0，

41＋2k21

所以0＜k2＜，

2

|AB|＝1＋k2[x1＋x22－4x1·x2] ＝

4k222k2－2

 1＋k－1＋2k2－4·1＋2k2

2

2k

，即

1＋2k222·1＋k2＝ 1＋2k21

＝21＋1＋2k2.

11∵＜2＜1， 22k＋132

∴|AB|∈，22．

2

12分

23

24