简单数学建模100例

“学”以致用

-----简单数学建模步骤

数学教学过程中学习了一个数学公式后，需要做大量的应用题，通过训练来加深理解所学公式。但是在生活中又有多少实际问题是可以直接套用公式的呢数学建模的引入对培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径，让中职学生从中体会到数学是来源于生活并应用于生活的.

一．模型准备 先了解该问题的实际背景和建模目的，尽量弄清要建模的问题属于哪一类学科的问题，可能需要用到哪些知识，然后学习或复习有关的知识，为接下来的数学建模做准备。

二．模型假设 有了模型准备的基础，要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必要合理的简化和假设.明确了建模目的又掌握了相关资料，再去除一些次要因素.以主要矛盾为主来对该实际问题进行适当的简化并提出一些合理的假设。

三．模型构成 在模型假设的基础上，选择适当的数学工具并根据已知的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构（如数学公式、定理、算法等）。

四．模型解析 在模型构成中建立的数学模型可以采用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明等各种传统的和现代的数学方法对其进行求解，其中有些可以借助于计算机软件来做这些工作。

五．模型检验与应用 把模型解析得到的结果与实际情况对比，以检验其合理和有效性，检验后获取的正确模型对研究的实际问题给出

预报或对类似实际问题进行分析、解释，以供决策者参考称为.

。

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@

第一关：接触数学建模

【 1 】一副扑克牌有54张，从中任取 多少张，可以保证一定有5张牌的花色 是一样的

分析 除去大、小鬼还有52张牌，其中4种花色各13张.运气最好的情况下所取

}

的5张牌都是同一花色的，哪运气不佳时至少要取多少张牌，才能保证一定有5张牌的花色是一样的呢

假设 假定至少要取N张，才能保证一定有5张牌的花色是一样的. 模型 逆向地思维

解析 在运气最不好的情况下，每种花色各4张，再加大、小鬼2张，共取18张是保证一定没有5张牌的花色一样

的最大可能。

所以N442119 张就可以保证一定有5张牌的花色是一样的. 检验 在很多情况下采用逆向地思维，可以使解题思路清晰、便捷.

练习题 公园里准备对300棵珍稀树木依次从1—300进行编号，问所有的编号中“1”共会出现的几次

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》

【2】一只猫发现离它10步远的前方有一只老鼠在奔跑，猫便紧追。猫的步子大，它跑5步的路程，老鼠要跑9步。但是老鼠的动作频率快，猫跑2步的时间，老鼠能跑3步。

请问：按照这种速度，猫能追得上老鼠吗如果能，它要跑多少步才能追到。

—

假设 此题两问可归结为一个问题：假定猫跑x步就能追上老鼠 模型 猫与老鼠之间频率的最小公倍数

解析 由频率关系可知，老鼠跑339步时，猫跑了236步.

根据路程关系知，猫跑6步其中有1步是追上老鼠的路程

可得本题的数学模型为 解得x60（步）

x100 6 检验 由此可见，按照现有速度，猫要跑60步才能追得上老鼠.

…

练习题

现有玩具模型20个，交给小黄加工，规定加工合格一个可得5元，不合格一个扣2元，未完成的不得不扣.最后小黄共得到56元.问小黄在加工玩具模型中不合格的共有几个

:

【3】在小傅家门口有一个十字型的交通路口（如图所示），小傅就想了，叔叔需要指挥多少种情况的汽车运行线路

'

]

分析 此问题需要分是否可以原路调头的情况来讨论. 假设 （1）每条线路都有往返双向线

（2）设4条路分别为A,B,C,D；

<

（3）以A为起始，

①如允许原路调头，则有A②如不允许原路调头，则有AA,AB,AB,AC,AC,AD,

D,

模型 分步乘法计数原理

解析 第一步：始线路条数；第二步：终线路条数。

①如允许原路调头：则N44=16（种可能） ②如不允许原路调头，则N43=12（种可能）

检验 如果允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有16种不同的行车情况；如果不允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有12

种不同的行车情况。

…

练习题

铁路京广线（北京—广州）共有36个大站，问用电脑上购票时需要有多少种不同的火车票

|

【4】杭州市车辆管理所的工作人员为汽车牌照的事弄得焦头烂额，现在有个问题要请教一下，数字号码为浙A

B5 的汽车牌照共有多

少块

分析 由条件知，问题为三个

中各可以填入多少种数字或字母

有ni(i假设 假定按要求的汽车牌照共有N种可能，且在第i个

根据汽车牌照的特点，在每个

,

1,2,3)种字符可以填写.

中可以填入1~0共10个阿

拉伯数字和A,B,C,D……，26个英语字母，即ni模型 分步乘法计数原理. 解析 因为各 故N中填入的字符数符合N36(i1,2,3)

n1n2n3

363636=46656

检验 数字号码为浙A

B5 的汽车牌照共有46656块。不难发现，无论B和5在何位置，所得结论不变.

练习题

出租车在开始10千米以内收费元，以后每走1千米，收费元，问走20千米需收多少钱

`

第二关：初识数学建模

把20个苹果全部分给小明、小惠、小曼三人，要求每人最少分3个，可以有多少种不同的分法

假设 先取9个苹果，平均每人3个，剩下的11个再按不同情况讨论. )

模型 排列数公式

解析 可以有 ：

(11,0,0),(10,1,0),(9,2,0),(9,1,1),(8,3,0),(8,2,1),(7,4,0),(7,3,1),

(7,2,2),(6,5,0),(6,4,1),(6,3,2),(5,5,1),(5,4,2),(5,3,3),n 15种不同种类，对每一种类再考虑小明、小惠、小曼的不同次序，用排列数公式Am即可求解.

①对（11,0,0），（9,1,1），（7,2,2），（5,5,1），（5,3,3）五类，各类可以有3种次序排法，故共有15种分发法.

②对其余的10类，各类可以有6（A33）种次序排法，故共有60种分发法

检验 所以按要求可以有75种不同的分法. 练习题

水果店进了十筐苹果，每筐10个，共100个，每筐里的苹果重量都一样， :

其中有九筐每个苹果的重量都是1斤，另一筐中每个苹果的重量都是斤，

但是外表完全一样，用眼看或用手摸无法分辨。现在要你用一台普通的大秤 一次把这筐重量轻的找出来。你可以办到么

;

？

【6】有243颗外形一模一样的珠子，其中有一颗稍重一点。用一架没有砝码的天平，至少称几次才能找出这颗珠子来 分析与假设

①将243颗珠子平均分成3份，每份81颗，任取其2份放置在天平两边，若平衡则稍重的一颗在另1份中；若不平衡则

稍重的一颗在天平下沉的1份中.

\"

②在找出含有稍重珠子的一份中（含81颗），再将其81颗珠子平均分成3份，每份27颗，任取其2份放置在天平两边，

若平衡则稍重的一颗在另1份中；若不平衡则稍重的一颗在天平下沉的1份中.

③在找出含有稍重珠子的一份中（含27颗），再将其27颗珠子平均分成3份，每份3颗，任取其2份放置在天平两边，若平衡则稍重的一颗在另1份中；若不平衡则稍重的一颗在天平下沉的1份中.

④在找出含有稍重珠子的一份中（含1颗），再将其3颗珠子平均分成3份，每份1颗，任取其2颗放置在天平两边，若平衡则另1颗稍重的一颗；若不平衡则稍重的一颗为天平下沉的1颗.

模型 “三分法”

解析 按“分析与假设”所述可知，至少称4次才能找出这颗珠子来.

检验 此题的关键是珠子的颗数243，可以平均分成3份，每份81颗，而81又可以平均分成3份，每份27颗，而27又可以平均分

成3份，每份3颗，而3可以平均分成3份，每份1颗，最后找出异样的珠子.

练习题

小敏把100只彩色小灯泡串联起彩灯，用来布置教室，可是其中有只小灯泡坏了，这可急坏了小敏。你能用最速捷的方法很快地找出了那只损坏的小灯泡吗

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【7】水果店进了十筐苹果，每筐

10个，共100个，每筐里的苹果重 量都一样，其中有九筐每个苹果的 重量都是1斤，另一筐中每个苹果 的重量都是斤，但是外表完全 一样，用眼看或用手摸无法分辨。 ^

现在要你用一台普通的大秤一次把

这筐重量轻的找出来。你可以办到么

分析与假设 普通的大秤上是有刻度，可以称得具体重量.从这点考虑不妨将十筐苹果进行标号Ai(i1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)

并取与标号对应的苹果数——1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，共计55个，再用所给的大枰称得这55个苹果的总重量

若此55个苹果重量均为1斤（理想状态），则总重量应为55斤，由题目条件知其中某一框苹果重量均为斤，假定为第j框时，那么所取苹果数为j个，大枰称得总重量就要比55斤少j两. 模型 等差数列的求和

解析 利用框数与所取苹果数的对应关系，考虑大枰称得总重量与理想状态55个苹果的总重量之间的差

按“分析与假设”所述可解得.若大枰称得总重量为54斤3两，比55斤差7两，即得框号为A7的这框苹果重量为斤.

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练习题

某单位某月1～12日安排甲、乙、丙三人值夜班，每人值班4天.要求三个人各自值班日期数字之和相等。已知甲头两天值夜班，乙9、10日值夜班，问丙在自己第一天与最后一天值夜班之间，最多有几天不用值夜班

】

【8】甲、乙两人去沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可带一个人4天的食物和水。如果允许将部分食物存放于途中，其中1人最远可深入沙漠多少千米（要求最后两人返回出发点）

\\

分析与假设 要使其中一位探险者尽可能走得远，另一位须先回，留下食物和水给另一位，所以必须分头行动.问题是在何处留下食物和

水

①经过商议让甲走得更远（最远走44080千米，但回程就没有食物和水了），需要乙在适当的地点留小足够的食物和水.

②第1天乙在10千米处留下1份食物和水，到20千米处吃1份留下1份，第2天走到30千米处留下1份食物和水后马上往回返，

到20千米处再吃1份，第3天走20千米回出发点.

③第1天甲20千米处吃1份，第2天走到40千米处吃1份，第3天走到60千米处吃1份，第4天走到65千米处然后往回返，到50千米处吃1份（到此为止甲自带的食物和水已吃完），第5天走到30千米处吃1份（此处食物和水是乙留下的），第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点

模型 错位推进法

解析 所谓“错位推进法”对于本题来说，关键点为“乙在30千米和10千米处给甲留下食物和水”，根据分析与假设推知结论——其中

的1位沙漠探险家最多可深入沙 漠65千米.

检验 从“第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点”，感觉似乎还有10千米可以走，但已经回出发点了. 考虑一下甲是否还可以再

往前推进5千米呢

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练习题

在一排10个花盆中种植3种不同的花卉，要求每3个相邻的花盆中所种的花的品种各不相同，问共可有多少种不同的种植方法

，

【9】家里有两个容积分别为5升和6升的空水壶.问大明怎样用这两个水壶得到3升的水. 分析 从5升的满水壶倒出2升即可得到3升的水，问题是如何使6升的水壶空出2

升的空间（即得到4升水)，问题是如何使5升的水壶空出1升的空间（即得到4升水），问题是如何使6升的水壶空出1升的空

间（即得到5升水），此问题不难解决.

|

假设 由上分析可以如下操作：

① 将5升的满水壶的水全部倒出6升的空水壶中，在6升的水壶中得到1升的空间.

② 用5升水壶取满水，倒满6升水壶中的1升空间，此时的5升水壶空出了1升的空间. ③ 将5升水壶中的4升水倒进6升的空水壶，在6升水壶中的得到2升的空间. ④ 用5升水壶取满水，倒满6升水壶中的2升空间,.

此时在5升的水壶里剩下的就是3升的水了.

模型 逆向推理综合法

解析 按分析及假设即可将问题解决，得到3升的水. 《

检验 逆向推理综合法是一种非常有用的数学思维方法，用途非常广泛.

练习题

某盐溶液的浓度为20%，加水后溶液的浓度稀释为15%.如果再加同样多的水，问溶液的浓度为多少

'

—

\"

【10】箱子里放着一箱梨，第一个人拿了梨总数的一半又多半只，第二个人拿了剩下梨的一半又多半只，第三个人拿了第二次剩下的一半又多半只，第四个人3拿了第三次剩下的一半又多半只，第五个人拿了第四次剩下的一半又多半只。这时箱子里的梨正好拿完，而且每人手里的梨都没有半只的，请问箱子里原来有多少只梨

假设 假定箱子里原来有x只梨，则有条件

①第一个人拿梨数：

x1x1； 222x111x1 )2224②第二个人拿梨数：(x③第三个人拿梨数：(xx1x111x1 )24228—

④第四个人拿梨数：(xx1x1x111x1 )2482216x1x1x1x111x1 )248162232⑤第五个人拿梨数：(x模型 解一元一次方程 解析 解方程(121111)(x1)xx31 481632检验 按题意验证当箱子里原来有31只梨时，题目条件符合.

练习题

去年某种货物的进价为15元/公斤，今年该货物的进口量增加了一半，进口价增加了20%，问今年该货物的进口价是多少

[

—

`

第二关：初识数学建模

{

11】暑假里，班里共30名学生，其中有姓赵、姓钱、姓孙、姓李、姓周各6位，为了进行社会调查，需要分成15个小组，现要使每个小组的姓都不同，该如何分呢

分析 题目没有问共有多少种分法，而是问如何分，也就是说只要找出方法即可，如何描述把事情说清楚是关键.

)

假设 ①以姓氏赵、钱、孙、李、周分成5组，每组6人，用对应的字符Ai,Bi,Ci,Di,Ei(i1,2,3,4,5,6)表示.

②用一个大圆作为辅助工具，将其6等分，把Ai(i1,2,3,4,5,6)依次放在圆上的6个等弧上，再将Bi(i1,2,3,4,5,6)依次放在

圆上的6个等弧上，对Ci,Di,Ei作同样的操作.此时大圆上已有30个字符（次序以Ai,Bi,Ci,Di,Ei(i1,2,3,4,5,6)排列）.

③从圆上任一字符开始，依次两个一组，两个一组，所得15个小组中每个小组的姓都不同. 模型 “等分圆特征的利用”.

解析 根据分析、假设的讨论即得问题的解答.

检验 巧妙利用几何图形，借助其几何特征，使问题的讨论更有条理，这也是一种数学模型. 练习题

100人参加7项活动，要求每人只能参加1项活动，而且每项活动参加的人数都不能相同，问参加人数第四多的活动最多有多少人

[

【12】2001个学生排成一排，从左向右1至2报数，与从右向左1至5报数，其中两种报数时都是偶数的共有多少人

分析 根据题目中条件的周期性，可采用通过局部（10个）结论推广到全体的方法. 假设 不妨取最右端的局部：

…… 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

… 1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001

… 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 》

不难得出，在最右的10个数字中满足条件的只有2个. 模型 数型结合法 解析 2

20011400（人） 10

检验 两种报数时多是偶数的共有400人.

练习题

￥

第三关：尝试数学建模

同学们来试着完成以下数学问题的建模吧！

1、某市将在今年12月举办一个全国招商引资交 流会议，目前确定参加的人数已经达到4300人。 在安排会场的时候，负责人打算租用一个设置50 排座位的大剧院，第一排有48个座位，往后每排 都比前一排多2人。估算一下这个大剧院是否可 用

：

2、杭州市车辆管理所的工作人员为汽车牌照的事弄得焦头烂额，现在有个问题要请教一下，

数字号码为浙A

B5 的汽车牌照共有多少块

(

【13】小新开着一艘帆船在河里航行，一阵狂风吹来，把小新的草帽吹落水中，6分钟后小新才发现草帽被风吹走了，于是开船返回去追，试问小新需要几分钟方可追上落水的草帽.

分析 此题按帆船逆水与顺水两种情况讨论 *

假设 ①设船速为x米/分，水速为y米/分

②当船顺水行驶时，船6分钟共向前行驶路程为6xy,草帽向前漂的路程为6y，两者相距6x.

③当船逆水行驶时，船6分钟共向前行驶路程为6xy,草帽向后漂的路程为6y，两者相距6(xy)6y6x.

模型 船要追上草帽所需时间=船帽距离/船行速度 解析 船要追上草帽所需时间=6x/x=6（分钟）

检验 由上述推论可知，船往回返到追上草帽所需时间同等于草帽落水到发现草帽落水所化时间，此结论对判断能否打捞草帽十分有

用.

练习题

*

如左图，有正整数1、2、3、4…16,每一个数在正方形中占有一

- 4 5 ,小格,图中已填入若干数字,试将其余数字填入正方形的空格处,使每 一行，每一列，每一条对角线上的4个数字的和都相等.

3 15 12 8 14

)

【14】两根同样长的蜡烛，点完粗蜡烛要3小时，点完细蜡烛要1小时。现同时点燃两根蜡烛，一段时间后同时熄灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的3倍。

问两根蜡烛燃烧了多长时间

分析及假设 ①设两根蜡烛额长度为l厘米，粗、细蜡烛的燃烧速度分别为x、y（厘米/小时）.则有yl3x； ②点燃两根蜡烛一段时间后同时熄灭，粗、细蜡烛的长度分别为R、r，则R3r. ：

模型 代数方法，等量关系叠代

解析 根据条件有：

lrl3r （燃烧时间相同） yx 化简为l4r，即细蜡烛燃烧后的长度是原来长度的

13（也即燃烧了）. 4433ll3 所以燃烧的时间为44（小时）.

yl4检验 为了明确各量之间的相互关系，在必要的地方可以加注.

练习题

将自然数1—100分别写在完全相同的100张卡片上，然后打乱卡片，先后随机取出4张，问这4张先后取出的卡片上的数字呈增序的几率是多少

:

>

【15】一个十位数字为0的三位数，恰好是各数字之和的34倍.现交换个位于百位数字后得到一个新的三位数，求新数是各数字和的几倍 假设 三位数可记为a0b.其值为100ab；则新三位数可记为b0a.其值为100ba 模型 代数方法

解析 由条件100ab34(a0b)2ab 所以

·

100ba201a67

a0b3a

即新数是各数字和的67倍.

练习题

;

;

【16】果农要用绳子捆扎甘蔗，有三种规格的绳子可供选择：长绳子1米，每根可捆扎7根甘蔗；中绳子米，每根可捆扎5根甘蔗；短绳子米，每根可捆扎3根甘蔗.现在有甘蔗46根，问果农共有多少种绳子的取法其中最节约的是哪一种

分析 先求三种绳子各需多少根，根据长、中、短绳子的价值（长度于所捆甘蔗的根数之比），不难发现，用短绳子比较合算. 假设 设所需三种绳子的根数以次为(x、y、z) 模型 求不定方程的自然数解

解析 有条件可得方程7x5y3z46x465y3z，

7要使x有自然数解需分子465y3z是7的倍数，按0，7,14,21,28,35,42讨论可得：（0,8,2），（1,6,3），（2,4,4），（3,2,5），（4,0,6）. 其中最合算的是（0,8,2），即最合算方法是：用8根中绳子和2根短绳子即可捆扎46根甘蔗.

练习题

从1，2，3，…，30这30个数中，取出若干个数，使其中任意两个数的积都不能被4整除，问最多可取几个数

【17】甲、乙、丙三人跑步比赛，从跑道起点出发，跑了20分钟，甲超过乙一圈，又跑了10分钟，甲超过丙一圈，问再过多长时间丙超过

乙一圈

分析 为了将所给条件对应的关系理清楚，需要假设大量的未知数，但大部分都会在方程的化简中消去. 假设 ①再过t小时丙超过乙一圈；

②环形跑道总长为a；

③甲、乙、丙三人跑步速度分别为v1,v2,v3

模型 待定系数法解方程

v1v2av1v23a33v3v2a， 解析 由条件有：v1v3avv2a1322

121111 化简：(v3v2)t(v3v2)aataat1t（小时）

2222 根据未知数可得方程：v3(t)v2(t)a

即再过30分钟丙超过乙一圈.

练习题

十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，问当你抬头看到信号灯时亮绿灯的概率为多少

12

【18】平面上n条直线相交于一点，问图形有 多少对对顶角

分析 先画示意图，从图上看其对顶角的对数靠

数是数不清楚的，只有根据对顶角的形成 情况来讨论.即讨论从n条直线每次取两条 （一对）的总数.

假设 共有m对对顶角 模型 分步计数原理

解析 每两条直线形成2对对顶角，

第一条直线可从所给的n条直线中选出，共有n种选法.第二条直线可从剩下的n1条直线中选出，共有n1种选法.但两条直

线的顺序可以交换.

n(n1) 则从n条直线中选出2条（一对）的方法共有.

2 所以m2(n1)n(n1)n. 2

练习题

某公司将今年的盈利进行再分配，先扣除1/6的税，再扣除剩下1/3作为公司经费，然后留下剩下的1/4作为公司的发展基金，最后剩下的以年终奖金的形式分给员工.已知员工总数为50名，且每人分到1万元奖金，问公司今年的盈利总共为多少万元