巧用圆的参数方程解题

来源：华佗小知识

教学参谋

解法探究2015年9月

巧用圆的参数方程解题

筅湖南省隆回县第二中学

高中数学重视数学知识的发生、发展和应用的过程.圆的参数方程这一内容，在高中数学作为选修部分出现，在高考中的直接分量不多，故在平时教学中要求较低.但在高三复习“解决与圆相关的某些问题”时，若巧用圆的参数方程，常能化繁为简，化难为易，收到事半功倍的效果.下面举例说明.

彭利波

（2）y-x的最小值；（3）（x-4）2+（y-3）2的最大值和最小值.

解析：令x=2+姨3cosα，y=姨3sinα，α∈［0，2π）.

摇3sinαy

，则t=姨摇，即姨3sinα-（1）令t=x2+姨3cosα

摇

（α+φ）=2t，其中φ满足cosφ=姨3tcosα=2t，得姨3+3t2sin

2t姨3，sinφ=-姨3t，则有sin（α+φ）=摇.由摇摇222姨3+3t姨3+3t姨3+3t2t摇摇

33.所|sin（α+φ）|≤1，即摇≤1，得-≤t≤姨姨

姨3+3t213-1281

如图9，应使d∈0，.因此P（C）==.

241

事实上，设A为小方块中心，当OB=d时，铜板中心位于以A为中心，1-2d为边长的正方形的边上，随着d从0增

大到，铜板中心分布的区域长度线性递减，所以将研

究对象铜板中心转化为铜板中心到小方块边的最短距离是不合理且不等价的.

正解：由已知得，铜板中心等可能分布在小方块的任一处，如图9，

A当铜板中心位于以A为中心，边长为

的正方形内部（含边界）时，甲能4

12图9

晋级下一轮，故P（C）==.

116

因此，在解决几何概型问题时，首先要认真审题，明确问题的原始条件，正确判断该问题是否为几何概型，要正确使用概率公式，必要时在遵循研究对象合理替换、保持等可能性的原则下进行等价转化，实现解题过程的简化.

当然，本文不能将几何概型习题的陷阱及误解一一呈现，仅以几例警示学生在平时的学习中一定要熟练区分几何概型的测度，避免掉入陷阱，出现以上误解.一般情况下，对于几何概型问题，关键是要认真审题，分析问题考查的测度，考虑到底是体积比、面积比、长度比、角度比，还是弧长比等，从而正确解决问题.F

摇

摇摇

一、求与圆有关的最值问题

例1

若实数x，y满足（x-2）2+y2=3.求：y

的最大值和最小值；x

（1）

事实上，此法用弦的中点来代替弦的两端点作为研究对象.我们知道，圆内除圆心外的任意一点的确可以唯一确定一条以该点为中点的弦.但是，以圆心为中点

点.因此，这个对象的转化是不等价的.

M正解：等长的弦所对的圆心角相等，

固定点M在图8的位置，点N在自M到P的半圆周上均匀地运动时，圆心角∠MONO

1N也均匀地从0增加到π.因此，我们可以把1

PN问题转化为图8中，过圆心O在直径MP的

图8

右侧任意作射线ON交圆周于点N，求

2π

∠MON超过的概率.此时基本事件构件区域为［0，π］，

2ππ-2π13，π，故P而事件A构成的区域为=.（A）=3π3

例5甲、乙、丙三人玩游戏，游戏规则为：在不远处有一小方块，要将一枚铜板扔到这张方块上，已知铜板

的直径是方块边长的，谁能将铜板完整地扔到这张

方块上就可以晋级下一轮.现在甲一扔，铜板落在小方块上且没有掉下来，问他能晋级下一轮的概率有多大？

学生的错误解答：记“甲能晋级下一轮”这个事件为C，假设小方块的边长为1.过铜板中心O向小方块最近的边作垂线OB，设OB=d.依题意得，甲已经将铜板扔到了

小方块上，故d∈0，.而要使铜板完整地落入方块，

2&，#，42&82

高中版

2015年9月以

yx的最大值为姨摇3，y

的最小值为-姨摇3.（2）y-x=姨摇3sinα-姨摇3cosα-2=姨摇

6sin󰀢α-π4

󰀣-2，当sin󰀢α-π=-1时，y-x的最小值为-姨摇

46-2.（3）（x-4）2+（y-3）2=（姨摇

3cosα-2）2+（姨摇

3sinα-3）2=16-6姨摇

3sinα-4姨摇

3cosα=16-2姨摇

39sin（α+φ），其中φ摇

摇

满足cosφ=3姨1313，sinφ=2姨1313.由|sin

（α+φ）|≤1，得（x-4）2+（y-3）2的最大值为16+2姨摇

39，最小值为16-2姨摇

39.

二、判断直线与圆的位置关系

例2

已知圆的方程为x2+y2=2，直线y=x+b，当b为何

值时.

（1）直线与圆有两个交点；（2）直线与圆只有一个交点.

解析：令x=姨摇

2cosα，y=姨摇

2sinα，α∈［0，2π）.代入

直线方程y=x+b中，得姨摇2sinα=姨摇

2cosα+b，即b=2sin󰀢α-

4.（1）当-14<1时，则该不等式组在α∈［0，2π）上有两个不同的解，即-2（2）当sin󰀢α-π4

4=±1时，则该方程在α∈［0，2π）上有唯一解，即b=±2时，直线与圆有一个交点.

三、计算圆上的点到直线的距离取最值时的点的坐标

例3

已知圆C：（x+1）2+（y+2）2=4，直线l：4x+3y-12=

0.求圆上点P到直线l距离最大时的坐标.

解析：令P的坐标为（-1+2cosα，-2+2sinα），α∈

［0，2π）.

当直线PC与直线l垂直时，点P到直线的距离取得最值，由题意有k-PC

·k1，即2-（-2+2sinα）l=--1-（-1+2cosα）·󰀢-4

34=-1，得

sinαcosα=3

，解得sinα=3435，cosα=5；或sinα=-5，

cosα=-

.经检验，当sinα=

35，cosα=45

，即P󰀢35，-454时，点P解法探究

教学参谋

到直线的距离取最小值，不合题意，舍去；当sinα=-3

，cosα=-

󰀢13165

，即P-5，-54时，点P到直线的距离取最大

值.从而P󰀢-1316

5，-5

4即为所求.四、用于确定点的个数

例4

求圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距

离为姨摇

2的点的个数.

解析：圆x2+y2+2x+4y-3=0化为标准方程为（x+1）2+y+2）2=8，令圆上点P的坐标为

（-1+2姨摇

2cosα，-2+2姨摇

2sinα），α∈［0，2π），则点P到直线x+y+1=0的距离d

（|-1+2姨摇

2cosα）+

（-2+2姨摇

2sinα）+1|=

姨摇

2-2+4sin󰀢α+

π4

4.又d=姨摇

2姨摇

2，则4sin󰀢α+

π4

4摇-2=2.当4sin󰀢α+π

44-2=2，即sin󰀢α+π4

4=1时，在α∈［0，2π）上有唯一解；当4sin󰀢α+π

44-2=-2，即sin󰀢α+π4

4=0时，在α∈0，2π）上有两个解.

综上可知，满足条件的点的个数有3个.

五、求参数的取值范围

例5

已知圆x2+（y-1）2=1上任一点P（x，y），不等式

x+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围.

解析：令x=cosα，y=1+sinα，α∈［0，2π）.由不等式x+y+m≥0恒成立，所以cosα+1+sinα+m≥0恒成立，即m≥-（cosα+1+sinα）恒成立.令μ=-（cosα+1+sinα）=-1-姨摇

2·sin󰀢α+π44，由sin󰀢α+π4

4≤1，得μ摇

max=-1+姨2.又m≥μ恒成立，且μ存在最大值，则有m≥μmax，即m≥-1+姨摇

六、求动点轨迹方程

例6

在圆x2+y2=4上任取一个点P，过点P作x轴的垂

线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？

解析：设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（2cosα，2sinα），α∈［0，2π），则x=2cosα，y=sinα，α∈［0，2π）.由

cos2α+sin2α=1，得x2

+y2=1.所以点M的轨迹是一个椭

圆.F

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