2019_2020学年新教材高中数学建立函数模型解决实际问题教学案新人教A版必修第一册

留一( 教师独具内容)

课程标准：结合现实情境中的具体问题，会选择合适的函数模型来解决问题. 教学重点：建立函数模型解决实际问题. 教学难点：建立函数模型.

核心概念掌握 【知识导学】

知识点一

用函数模型解决实际问题的步骤

(1)01审题:弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选 择模型. (2) 02建模:将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3) 03求模:求解函数模型，得到数学结论.

(4) 04还原:利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中.

可将这些步骤用框图表示如下：

知识点二 数据拟合

(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点, 观察这些点的

整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些 数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际, 就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合.

(2)数据拟合的步骤

①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点； ②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式； ③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式； ④做必要的检验.

【新知拓展】

1.常见的函数模型

函数模型 一次函数型

1

函数解析式

/(])=〃+伙以，方为常数，口 F0)

/( r) = a T +hr + c(a

2.次函数型 为常数.\"#0 )

帚函数型

- w\"+〃(Q,力为常数，

指数函数型 /(r)=加,+N〃.仇灯为常数,\">0且,5。0) 对数函数型/(工)=朋砥工+匚加=\"为常数3» 且收1屏0)

2 .分段函数模型:

葬价值测

1 .判一判(正确的打“，”，错误的打“X”)

(1)能用指数型函数 f(x) =ab+c(a, b, c为常数，a>0, b>1)表达的函数模型，称为指 数型函数

模型，也常称为“爆炸型”函数. (

x

) )

n

(2)函数y = 2 • 3x+ 1属于募函数模型.(

⑶当a>1, n>0时，在区间(0, +8)上，对任意的x,总有log axvx〈ax成立.( )

(4)当x>100时，函数y=10x—1比y=lg x增长的速度快.(

答案 (1)， (2) X (3) X (4) V

)

2 .做一做

(1)某种植物生长发育的数量 y与时间x的关系如下表:

X 1 1 2 3 3 8 ・ ■ ■ y

■ ■ ■ 则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是 ( )

A. y= 2x —1 C. y=2x— 1

(2) 如图所示的曲线反映的是

B. y=x2- 1

D. y=1.5x2—2.5x+2

函数模型的增长趋势.

已知直角梯形 ABC3图所示，CD= 2, AB= 4, AD= 2,线段AB上有一点P,过点P作

AB的垂线l ,当点P从点A运动到点B时，记A2 x, l截直角梯形的左边部分面积为 y关于x的函数关系式为

V，则

答案 （1）D （2）对数

2x, 0< x<2,

⑶y= -2x-4 2+6,

2核心素养形成 题型一 函数模型的选择问题

例1某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：

在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金 y（单位：万元）随生源利润x（单位: 万元）的增加而增加，但奖金总数不超过 3万元，同时奖金不超过利润的 20%.现有三个奖励模 型：y = 0.2x,

y=log5x, y=1.02,其中哪个模型符合该校的要求？

［解］借助工具作出函数 y = 3, y=0.2x, y=log 5x, y= 1.02的图象（如图所示），观察 图象可

x

x

知，在区间［5,60］上，y=0.2x, y= 1.02 的图象都有一部分在直线 y=3的上方，只有 y= log 5x的

x

图象始终在y= 3和y= 0.2 x的下方，这说明只有按模型 y= log 5x进行奖励才符合 学校的要求.

金版点睛

不同函数模型的选取标准

(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律； (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律； (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律； (4)募函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.

因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决 实际问题.

［跟踪训练1］据调查：人类在能源利用与森林砍伐中使 CO浓度增加.据测，2015年、

2016年、2017年大气中的 CO浓度分别比2014年增加了 1个单位，3个单位，6个单位.若 用一个函数

模型每年 CO浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函 数f (x) = px+qx+r(其中p, q,「为常数)或函数g(x) =a • bx+c(其中a, b, c为常数)， 又知2018年大气中的CO浓度比

2

2014年增加了 16.5个单位，请问用以上哪个函数作模拟函 数较好？

解 若以f (x) = px+ qx+ r作模拟函数，

2

p=2,

解得

1

q=2, r = 0.

1 p+ q+ r = 1, 则依题意，得 4P+2q+r = 3,

9p+ 3q+ r = 6, • .f (x) =2x + 21x.

2

若以g(x) = a • b+c作模拟函数，

x

则 ab2+c=3,

ab3+c=6.

解得

b

=3 2

8 a=—. ab+c=1, 3

c= - 3.

3 x

2 —3.

8 (

•-gx) = o

3

利用f(x) , g(x)对2018年CO浓度作估算, 则其数值分别为f(4) =10单位，g(4) =10.5单位,

. |f(4) — 16.5|>| g(4) — 16.5| ,

故g(x)=8・ x—3作模拟函数与2018年的实际数据较为接近，

3

用g(x)=8・祗x—3作

2

3

模拟函数较好.

2

3

题型二建立函数模型解决实际问题

例2某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为 过程中平均每生产一件产品有 污水进行处理，并准备实施.

方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理 1立方米污水所用原料费为 且每月排污设备损耗费为 30000元；

方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理， 问：

每处理1立方米污水需付14元的排污费，

50元，其成本价为25元，因为在生产

0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计了两套方案对

2元，并

(1)工厂每月生产 3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应 选择哪种方

案？通过计算加以说明；

(2)若工厂每月生产 6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？

［解］设工厂每月生产 x件产品时，选择方案一的利润为 由题意知

y1,选择方案二的利润为 y2,

y1= (50 — 25) x-2X0.5 x- 30000= 24x- 30000. y2= (50 —25) x- 14X0.5 x= 18x.

(1)当 x=3000 时，y1 = 42000, y2= 000,

••・y1(2)当 x=6000 时，y1= 114000, y2= 108000,

.•.y1>y2, .••应选择方案一处理污水.

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建立函数模型是为了预测和决策，预测准不准主要看建立的函数模型与实际的拟合程度

.

而要获得好的拟合度，就需要丰富、详实的数据

［跟踪训练2］某公司预投资100万元，有两种投资可供选择： 甲方案年利率10%按单利计算，5年后收回本金和利息； 乙方案年利率9%按每年复利一次计算， 哪种投资更有利？这种投资比另一种投资 万元)

解 按甲方案，每年利息 100X10%^ 10,5年后本息合计150万元； 按乙方案，第一年本息合计 100X1.09,第二年本息合计 计 100X 1.09 5=153.86 万元.

故按乙方案投资5年可多得利息3.86万元，更有利. 题型三用分段函数模型解决实际问题

例3提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.

在一般情况下，大桥上

5年后收回本金和利息.

5年可多得利息多少万元？(结果精确到 0.01

100X 1.09 2,…，5年后本息合

的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达 到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为

0;当车流密度不超过 20辆/千米时，车流速

度为60千米/小时.研究表明：当 20WXW200时，车流速度 v是车流密度x的一次函数.

(1)当0WXW200时，求函数v(x)的表达式；

(2)车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆 /小 时)f (x)

=x • v(x)可以达到最大，并求出最大值.

［解］(1)由题意，当 0wxw20 时，v(x)=60; 当 20< xw200 时，设 v(x) = ax+ b,

(精确到1辆/小时)

200a+ b=0,

由已知得

解得

20a+b=60,

1 ―3' 200 b=

3 .

故函数v(x)的表达式为

60, 0v(x) = 1

-200-x , 20(2)依题意并结合(1)可得

60x, 0当0WXW20时，f(x)为增函数，故当x=20时，f(x)在区间［0,20］上取得最大值60X20

= 1200;

1000010000

当 20<,

当且仅当 x=

时，等号成立.

所以当x=100时，f(x)在区间(20,200］上取得最大值

10000 3

10000

综上可得，当x=100时，f(x)在区间［0,200］上取得最大值 3333. 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3

3333辆/小时.

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解决分段函数问题需注意的几个问题

(1)所有分段的区间的并集就是分段函数的定义域.

(2)求分段函数的函数值时，先要弄清自变量在哪个区间内取值，然后再用该区间上的解 析式

来计算函数值.

(3)求分段函数的最值时， 先求函数在每一段范围内的最值，

然后比较这几个最值的大小,

最后求出分段函数的最值.

［跟踪训练3］为了预防流感，某学校对教室用过氧乙酸熏蒸进行消毒.已知药物在释放 过程中，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后， (

… 一，， 1 t -a , 1 , , , _ 一

一

(1)从药物释放开始，写出 y与t的函数关系式; (2)据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米

0.25毫克以下时，学生可进教室,

y

问这次消毒多久后学生才能回到教室.

解 （1）由图象可知，当 0WtW0.1时，y=10t；

1

当 t = 0.1 时，由 1 = 16 .，得 a= 0.1 ,

・・・当 t>0.1 时，y= 116 t

0.1

10t, 0< t <0.1 ,

y

=

16

1

t-0,1

，t>0.1. 1 ti

.

（2）由题意可知，

能进教室.

— .<0.25 ,解得t>0.6 ,即这次消毒0.6 X 60= 36（分钟）后，学生才

题型四 建立拟合函数模型解决实际问题

例4 18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的 平均距离（天文单位）如下表:

2 3 4 5 6 7

行星 上

（金星）（地球）（火星）（ ）（木星）（土星）（ ）

1

1

,

距离 0. 7 1.0 L 6 5.2 10.0

他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷 神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星 外面的行星与太阳的距离大约是多少？

［解］由数值对应表作散点图如图.

—09X7632—

il

I

I

||

|

■

.

~7)\\ I 2

由图采用指数型函数作模型，设

3~4 5 6~X

f (x) = a • bx+ C.

ab+c= 0.7 ,①

代入(1,0.7) , (2,1.0) , (3,1.6)得 ab + c=1.0,② ab3+

2

c= 1.6 ,③

(③—②)+(②—①HHb=2,代入①②,

,

20

解得

x

3

2a+ c=0.7 ,

r

3 x 2

4a+ c= 1.0 , f (5) =26= 5.2 , f(6) = 10, 5

1- f()=加 2 +5.

，符合对应表值，，f(4) =2.8, f(7) =19.6,

所以谷神星大约在离太阳 2.8天文单位处.在土星外面的行星与太阳的距离大约是 天文单位.

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对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并 结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测 的一般步骤是：

19.6

(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图.

(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.如果所有 实际点都落到

了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实 际应用中，这种情况一般不会发生.因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使 两侧的点数大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.

(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.

(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.

［跟踪训练4］某商场经营一批进价是每件 30元的商品，在市场销售中发现，此商品的

销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：

销售单价元) 日销售量”件)

・F ・

■ , ■

30 40 45 50 60 30 15

0

■ ■ ■

■ ■ ■

(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对 (x, y)对应的点，并确定 y与x

的一个函数关系式 y = f (x)；

条直线上，设此直线为 y=kx+b,

50k+b= 0,

?

45k+b= 15

k=—3, b= 150.

，y=—3x+150(xC N, xW50),

经检验点(30,60) , (40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为 x< y = - 3x+ 150( xC N,

50).

(2)依题意有 P= y(x—30) = ( —3x+ 150)( x-30) =—3(x —40)2+ 300,

・•・当x=40时，P有最大值300.

故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润.

一堂水平达标 1 .四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程

的

函数关系是fi（x）=x, f2（x） = 2x, f3（x） = log 2X, f 4（x） =2x.如果它们一直运动下去，最终在 最前面的物体具有的函数关系是 （ ）

2

fi（x）（ i =1,2,3,4）关于时间x（x>1）

A. fi（x） = x

2B. f2（x） = 2x

x

C. f 3（x） = log 2x

答案 D

D. f 4（x） = 2

解析 由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大，故选 D.

2.某种动物繁殖数量 y（只）与时间x（年）的关系为y=alog 2（x+1）,设这种动物第一年

）

B. 400 只 D. 600 只

有100只，到第7年它们发展到（

A. 300 只 C. 500 只

答案 A

解析 由已知第一年有 100只，得a= 100.将a= 100, x= 7代入y= alog 2(x+1),得y = 300.

3.某同学最近5年内的学习费用 y（千元）与时间x（年）的关系如图所示，则可选择的模

拟函数模型是（

）

A. y=ax + b C. y=aex+b

答案 B

B. y= ax2+ bx+ c D. y= aln x+ b

解析 二次函数模型的表达式为 y=ax+bx+ c（a, b, c为常数，aw0）,其函数图象与 题图中的图形相符，因此可选择的模拟函数模型为二次函数模型.故选 B.

2

4.如图所示，由桶1向桶2倒水，开始时，桶1中有aL水，桶2中无水，t分钟后，桶 1中剩余

水为y1 L ,满足函数关系式 y1 = ae—,假设经过5分钟，桶1和桶2中的水一样多，

nt

则再过 _________ 分钟，桶1中的水只有a L.

8

答案 10

解析 由题意，可得ae 5n=a, n = 1ln 2 ,令ae- 1t ln 2 =-a,解得t = 15,从而再经过

2

10分钟，桶1中的水只有a L.

8

5 5 8

5.医院通过撒某种药物对病房进行消毒.已知开始撒放这种药物时，浓度激增，中间有 一段时间，

药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始下降.若撒放药物后

内的浓度变化可用下面的函数表示，其中 x表示时间(单位：小时)，f(x)表示药物的浓度：

2 .

3小时

—x + 4x+ 40 0f (x) = 43 1(1)撒放药物多少小时后，药物的浓度最高？能维持多长时间？

(2)若需要药物浓度在 41.75以上消毒1.5小时，那么在撒放药物后，能否达到消毒要求？ 并简

要说明理由.

解 (1)当 0• .f (x)在(0,1］上单调递增，其最大值为 f (1) =43; f (x)在(2,3］上单调递减，故当 2因此，撒放药物1小时后，药物的浓度最高为

43,并维持1小时.

(2)当 0当 2- 13 -