数学攻略

作者：シ魚 来源：百度高考吧

到了高三，我和我的同学的一个普遍感觉就是，数学忽然变得简单了。经过分析，我认为应该是因为考察的内容更加全面了，所以不像以前那样考查得比较细致。很多题目难度基本上是在专题学习时遇到的简单题的难度。

所以，一个结论就是，高一高二学习得比较扎实的学生，在高三各大持１３０＋，是一件并不困难的事情。甚至高三只需要做一下学校发的卷子，就能轻松维持这个水平。

高三的数学是怎么样的？基本就是做题。学校会将各地高考题、模拟题发给你们做，而高三的过程无非就是做完一份，讲一份。

那么怎样才能考到高分？一个扎实的基础是必要的。

如果你觉得你的基础不太好，那你必须自己抽时间把基础过一遍，可以买一些以经典题为主的教辅（不是五三这样的）刷一遍。 数学尖子也建议过一遍基础。

（我觉得学校的复习还是比较粗糙的，很多比较细的东西会跳过，导致有些其实比较经典的题目，在考试的时候还卡住很多人，仅仅是因为课堂上没有涉及，但其实这个真的是很旧的题了。短短的半年确实没有办法涵盖所有内容，所以想学好数学的人还是要花功夫的。） 好了，接下来就是攻破一些大题了。这时候你就可以翻开你的五三（好吧，其他的资料也可以），只做导数、圆锥曲线、函数、数列这四个部分（或许还有别的？我暂时想到这些）。

上面的空位很少，建议自己开一个本子写。五三上的题目，只能说不简单，如果你一看就没思路，估计你再想半个小时也想不出来了，所以果断看答案，学学答案的思路。

至于你领悟的怎么样，最好能在下次遇到类似题时能快速回放出这个解法，并成功地运用吧，这就算是对答案的彻底领悟。

现在就谈到了我对高考数学的看法了。奥数考数学思维，高考呢？考查的其实是对通法通解的熟练运用，就连难题（只限于广东）也只是多种通法通解的拼凑。

所以你能在高考数学拿到高分，有时并不是因为你的思维有多好，而是因为你对通法通解把握得很灵活。所以我在上文提到的学习答案的思路，就是一个很好的方法。

你想不到怎么解题不是吗？你一开始学习数学根本不知道什么裂项、分离参数、换主元、放缩、加强不等式、点差法的吧，其实学习数学也算是借鉴前人对这一类题目的巧法，然后考试时用上。 现在你对这些名词可能感到很熟悉了，但一开始难道不会觉得这些方法实在太神奇了吗。

所以说，到了高三，当你已经积累了那些常规方法时，你要做的就是慢慢在学习中积累一些看起来不那么常规但是很巧妙的方法。

当你觉得别人考１４０好强大好膜拜，当你觉得有些方法好难想到学神们实在太聪明了，学神才不会告诉你他们之前学习过这个方法，只不过在考试时借用一下而已，其实我真的不相信有人能够在如此紧张的考试氛围下生出奇思妙想自创出一些非常好的解法，如果想到了，那都是因为接触过类似的。 这么看来，刷题的意义也许体现在这里，看到这里，你应该知道要刷什么题，怎么刷题了吧？

如果有兴趣提升数学思维，可以买一些比较偏竞赛的书籍练习。

【数列、不等式常用放缩】

法１ 裂项放缩

除了一般的裂项法，有一些裂项需要很强的眼力才能观察出来，比如下题。大家可以做的就是多积累此类可裂项的式子，在类似的式子变形的时候也能一眼看穿。

给出最后一条的证明

纠正：合比性质应改为等比性质

法2 单调放缩

观察式子是否具有单调性，可直接放缩为首项

法2补充例题，解法基本一样

补充：a1=1

法3 放缩为等比数列

一般通项特点是分子为常数，分母为指数项和一次项的和或差，此时常常将分母放缩为仅有一个指数项，有时需要改变幂，有时需要配凑一个系数，这些都需要你的数学功底。

法4.分式放缩

这是一道非常经典的放缩题，高考不会出原题，但其中的思想十分值得借鉴。比如解答中使用的分式不等式，以及先平方再放缩一部分，保留一部分的解法。变式题有时可以出现三次方的处理。

法5 用基本不等式放缩

这里的基本不等式，并不指放缩为常数，而是放缩为一个代数式。往往用于处理带根号的式子，通过放缩可达到去根号的效果，大大简化运算。不仅用于一般的放缩证明，也在大题中发挥着作用，是一种非常好的解题技巧。

纠正：解答第一行应该为根号下n(n+1)

法6 作差(作商)裂项

这是一个非常强大的方法，当放缩的目标式是含n的代数式而不是常数时，都可考虑这个方法。

若视目标式为数列的和，通过目标式相邻项作差，可得到该数列的通项公式，实际上就将目标式裂项成了多个通项的和，此时，就只需要证明原式通项与目标式通项的大小，将题目简化。

由于数学教辅都被我扔了或送了，我找了很久例题没有满意的，就稍稍引用了一下高一期末题和一道周练题来解释。

法7 连续放缩法

名字是乱起的。这是一个非常奇妙的解法，连续放缩直到首项，得到一个不含通项的式子。常常与抽象数列(已知递推式但难以求解的数列)结合考察，如下题。

我记得我还做过一个通项an出现在分母，分子为1的连续放缩题，可惜未能找出。

纠正：结果应为2的n次方

法8 配对放缩

这次找了一个难度比较大的例题，拐的弯太多，大家可以看看我的分析。 配对通常将第一项和最后一项、第二项和倒数第二项...依此类推，合并在一起来进行处理，有时会用到基本不等式。

先看这道例题，左边是加法，右边是乘积，用配对如何放缩呢？

一个想法是，各两项放缩成一堆数的加法，然后这些数可以前后抵消！

右边的式子，非常明显，分子就是通项为ｆ（ｎ）－ｆ（ｎ+1）的和，那么，我们就要考虑放缩为这个形式了。

当我们把对应两项配对后，尝试着统一一下格式，也就是将两式通分。稍微观察一下就会发现分母各不相同，这样肯定是没法加起来的，所以我们看看能不能暴力地将它们统一，也就是全部放缩为ln2lnn，以达到和右式一样的格式。 （运用放缩法时，有时你需要尽可能猜测一些有利于得出答案的放缩形式，也就是从结果推原因，至于是否成立，验证就好，不成立就放弃这个猜想。这样能更快地找对方向，干盯着左边的式子往往很难突破。）

事实证明，以上猜想是可行的，我们需要证明一下，所以答案前面的一堆废话就是在用导数证明了，到了红笔画出的才是我们想要得到的不等式。 得到我们想要的不等式的证明，用的也是非常好也非常常用的技巧，也就是构造函数，利用单调性来证明，大家留意一下这个格式，以后可能能用上的。

做到这一步，得到的式子已经非常漂亮了，可惜还不够。为什么说这是难题？就是因为它的步骤非常复杂，很多人就算走对了方向也容易在中途放弃。 当然这个时候离答案已经不远了，我们只需要证明我们得到的这些数字小于右式。

我们注意到题目给出了一个已经不等式，把ｘ２ｘ１替换掉就能得到一个f(n+1)-f(n)的式子，这个在做抽象函数题目时经常用到，应该比较容易想到。 这样看来，我们的问题解决了，答案基本出来了。 我们再思考一下。 从头到尾，整道题并没有用非常高端的解法，都是我们常见的小技巧，比如：配对、统一格式、作差裂项（通过作差将一个式子转化为多个式子的和，前面有介绍）、构造函数利用单调性等等。

所以我们平时做的就是尽可能积累并且熟练这些技巧，至于你用的如何，确实需要看你对数学的悟性了，难度就在于你思维方向的把握是正确，不过熟能生巧也不是没有道理的，再好的思维都要建立在你熟练的基础上，有人叫你多刷题就是这个道理。

放缩法还有很多的，二项式放缩、积分放缩、分组放缩、切线放缩等等，这些考试用的比较少，所以就不介绍了，我已经把名字列出来了，大家有兴趣可以到网上搜。

一个附件：经典放缩式

【立体几何不完全介绍】

Part1 二面角

1.基本方法

E点是按三垂线定理常规做法得到的：过P做BD1垂线，垂足为E 2.二面角补充例题

3.补形法求二面角

在解题中，我们有时会遇到求二面角却没有给出交线的题目，由于三垂线定理必须用到交线，这时候我们往往需要补形。

纠正：是AB=AD不是AB=CD 找交线的一般方法：两平面中各延长一条直线，得到一个交点，根据立几的性质定理可知交点在交线上。这时用相同方法找出另一个交点或者利用已经条件得到另一个交点，两点确定一条直线，交线就出来了。

4.补形法补充例题

给一道补交线的补充例题，有难度。

（P图后红线被吞） 5.求异面直线的距离：几何法

在解这道题之前，我们要先认识一个正方体里经典的线面垂直。它的证法也相当经典，建议大家一定要把其证明搞熟，具体不进行介绍。接下来这题就需要这个经典线面垂直的思想。

6.一个定理的认识

接下来给大家介绍一个比较有用的定理，在部分题目会用到这个定理。（由于不是教材内容，考试不能直接用，所以你必须掌握它的证法）

关于这道题的证明，很多人可能会这样做，直接过P点作平面a的垂线。我在此需要郑重声明：如果你不想考试扣分，请不要采取这种开挂的证法。

当你过P点做了垂线后，你无法保证这条垂线在平面y内，虽然它的确在平面y内。这时候就需要你证明它在平面y内，否则就是失败的。所以你倒不如老老实实先做直线m的垂线。

7.上述定理的补充例题

配一道例题，重点是第二问，第一问也顺便给出解答。

8.点面距求法

9.存在性问题

【解析几何】

做解几，在很多人看来，就是死算。

事实上，不离十，解几的确离开不运算。

而我打算从两个方面来谈解几：一是运算的方向选择；二是解几一些题型和与其它知识的结合。

运算技巧一：用向量式处理三点共圆问题

这道题很有意义，因为它还涉及到了另外两个比较重要的知识点，一是根据对称性判断定点在x轴或是y轴上，该题中关联的直线x=4是关于x轴对称的，所以定点在x轴上。 二是根据恒成立的运用。如果一个式子关于某个参数恒成立，我们往往把含参数的式子放在一起，不含参数的式子放在一起。由于该参数的变化不影响等式的成立，所以前后两个式子的值都为零。由此可解得未知数。

文中看不清的：M(x1,0)

运算技巧二：巧用加减乘除处理形式相近的式子

纠正：B（x1,-y1） 以上例题同时采用了设而不求的方法，点A,B一直只以参数形式的坐标出现。如果你把它们联立解出的话估计这道题你很难再做出来。

运算技巧三：用平方处理式子

纠正：①式应为X1方+2Y1方=4，后面同理

运算技巧四：设而不求

在做圆锥曲线题目的时候，我们常常要面临参数的选择。究竟是直接设点的坐标，还是先设直线方程，然后再联立得到点的坐标？或者说，直线方程和点的坐标一起来呢？

这就需要你对运算繁简有一个观察。比如以上这题，确实可以设直线BC的方程为y=kx+b再运算。

你可以想象你将会得到一个多么繁琐的式子，后面的运算让你根本不敢做下去。这个时候考虑一下设点的坐标是否会更简洁？总之不要在一个运算方法上吊死。

如果你对抛物线的特点把握得比较好，直线BC的斜率用BC坐标表示的结果你应该是能背下来的，或者说能条件反射地知道怎么推导。这个时候你就踏上了正确的运算方向。

运算技巧五:点差法

运算技巧六：参数的选择

数学中有一个常用的思想。 也就是说有N个未知数，如果恰有又有N个对应的方程，那么这些数据都是可以求出来的。

但是如果有N个未知数，却只能得到N-1个对应的方程，那么我们顶多得到其中两个数据的约束关系，所以只能求一下参数的取值范围了。

第二个最简单的例子就是函数了，有x,y两个未知数，却只有一条表达式，所以我们最多求一下自然定义域、值域之类的，得不出具体的值。

就比如说上面这道题，看起来变量很多，但最核心的变量还是斜率和Ｐ点坐标，其中所有的关系式也是非常多的。 这也给我们了一个启示，在涉及到过某点圆的两条切线问题时，可优先考虑设斜率和某点坐标为参数。

另外，该题还用到了一个常用的方法，过直线交曲线于两点，其中一点坐标已知（或者说为主要的变量），那么就可以用韦达定理快速得到另外一个点的坐标。

不过很多人容易处于定性思维忽略了另一个点已知的事实，仅仅得到x1+x2和x1x2的值就开始做其他工作了，这样你就硬生生地漏掉了一个条件。

运算技巧七：充分利用每一个条件

注：考试时不要直接写由点差法得，要适当证明 题型一：最值问题

1.通过点在圆锥曲线内的充要条件约束取值范围

常与中点弦问题结合考查

2.通过隐藏条件（a>b）约束取值范围

3.转化为基本不等式

4.用函数（导数）性质求最值

题型二：轨迹 1.定义法

定义法的题目较单一，基本都是这些经典题了，大家记住解法即可。

如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 经典题一

经典题二

经典题三

经典题四

经典题五

经典题六

2.交轨法

在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

交轨法的核心在于引入新的参数然后消去

3.相关点法

如果动点P的运动是由另外某一点P*的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P*的坐标，然后把P*的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。

4.几何法

若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。

还剩下直译法和参数法，直译法没有技术含量,交轨法用到了参数法，都不讲了。

【求参数的取值范围】

法1：分段讨论

像上题不把f(x)直接写出而是采取一种抽象函数化的答题方式在高考压轴题中其实非常常见，我们所需关注的更多的是函数所具有的性质，而不是函数本身。希望大家用心领悟，以后能够将这种方法运用到自己的解答中，才算得上吃透该题。

法2：数形结合

法3：利用根的分布

法4：分离参数法（经典解法）

法5：利用判别式

法6：换主元

法7：线性规划

线性规划往往用于双变量问题

法8:充分利用函数性质

【附件】