2014届步步高大一轮复习讲义5.2

2014高考会这样考 1.考查平面向量基本定理的应用；2.考查向量的坐标表示和向量共线的应用．

复习备考要这样做 1.理解平面向量基本定理的意义、作用；2.运用定理表示向量，然后再进行向量运算．

1． 平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底． 2． 平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

2λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x1＋y21.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

→→

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝x2－x12＋y2－y12. 3． 平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. [难点正本 疑点清源] 1． 基底的不唯一性

只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．

2． 向量坐标与点的坐标的区别

→

在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向→

量a＝OA＝(x，y)．

→→→→→

当平面向量OA平行移动到O1A1时，向量不变即O1A1＝OA＝(x，y)，但O1A1的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．

→→→

1． 在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ，

μ∈R，则λ＋μ＝________. 4答案

3

→→→→→1→

解析 因为AC＝AB＋AD，又AE＝AD＋AB，

2→→1→AF＝AB＋AD，

2

1→1→→→→λ＋μAD＋λ＋μAB， 所以AC＝λAE＋μAF＝22114

得到λ＋μ＝1，λ＋μ＝1，两式相加得λ＋μ＝. 223

→→→

2． 在▱ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则向量BD的坐标为__________．

答案 (－3，－5)

→→→→→→

解析 ∵AB＋BC＝AC，∴BC＝AC－AB＝(－1，－1)， →→→→→

∴BD＝AD－AB＝BC－AB＝(－3，－5)．

3． 已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与b平行，则k＝________.

答案 0

解析 由ka＋b与b平行得－3(2k＋2)＝2(k－3)，∴k＝0. 4． 若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c等于

A．3a＋b C．－a＋3b 答案 B

解析 由已知可设c＝xa＋yb，

4＝x－yx＝3则，∴. 2＝x＋yy＝－1

( )

B．3a－b D．a＋3b

5． (2011·广东)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于( )

1A. 4答案 B

解析 a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，而c＝(3,4)，由(a＋λb)∥c得4(1＋λ)－6＝0，

1B. 2

C．1

D．2

1

解得λ＝. 2

题型一 平面向量基本定理的应用

→

例1 已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且AM

11→→→

＝xAB，AN＝yAC，求＋ 的值．

xy

→→

思维启迪：以AB，AC为基底来表示向量，建立x，y的关系． 解 根据题意知G为三角形的重心， →1→→故AG＝(AB＋AC)，

3

→→→1→→→MG＝AG－AM＝(AB＋AC)－xAB

31→1→＝3－xAB＋3AC， →→→→→GN＝AN－AG＝yAC－AG →1→→＝yAC－(AB＋AC)

31→1→y－AC－AB， ＝33

→→

由于MG与GN共线，根据共线向量定理知 1→1→→→

MG＝λGN⇒3－xAB＋3AC 1→1→

y－AC－AB， ＝λ33



→→

∵AB，AC不共线，

3－x＝－3λ∴113＝λy－311

11－x33⇒＝

11－y－33

11

⇒x＋y－3xy＝0，两边同除以xy得＋＝3.

xy

探究提高 利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加、减法及数乘进行线性运算；向量的表示是向量应用的前提．

→1→

如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，

3

→→2→

若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为_________________．

11答案

3 11

→→

解析 设|BP|＝y，|PN|＝x， x→→→→1→

则AP＝AN＋NP＝AC－BN，①

4x＋yy→→→→→

AP＝AB＋BP＝AB＋BN，②

x＋yx→y→→

①×y＋②×x得AP＝AB＋AC，

x＋y4x＋y令

y283

＝，得y＝x，代入得m＝.

3114x＋y11

题型二 向量坐标的基本运算

→→→→→

例2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN

＝－2b， (1)求3a＋b－3c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； →

(3)求M、N的坐标及向量MN的坐标．

解 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，

－6m＋n＝5，m＝－1，∴解得 －3m＋8n＝－5，n＝－1.

→→→

(3)设O为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c， →→

∴OM＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． →→→

∴M(0,20)．又∵CN＝ON－OC＝－2b， →→

∴ON＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， →

∴N(9,2)．∴MN＝(9，－18)．

探究提高 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运

算法则．

已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2)，B(5,7)，C(－3,4)，则第四个顶点

D的坐标是______________________． 答案 (－4，－1)或(12,5)或(－2,9) 解析 设顶点D(x，y)．

→

若平行四边形为ABCD，则由AB＝(1,5)，

－3－x＝1，x＝－4，→DC＝(－3－x,4－y)，得所以 4－y＝5，y＝－1；

→

若平行四边形为ACBD，则由AC＝(－7,2)，

5－x＝－7，x＝12，→

DB＝(5－x,7－y)，得所以

7－y＝2，y＝5；

→

若平行四边形为ABDC，则由AB＝(1,5)，

x＋3＝1，x＝－2，→

CD＝(x＋3，y－4)，得所以

y－4＝5，y＝9.

综上所述，第四个顶点D的坐标为(－4，－1)或(12,5)或(－2,9)． 题型三 共线向量的坐标表示

例3 平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题：

(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；

(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d. 思维启迪：(1)向量相等对应坐标相等，列方程解之． (2)由两向量平行的条件列方程解之．

(3)设出d＝(x，y)，由平行关系列方程，由模为5列方程，联立方程组求解． 解 (1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，

－m＋4n＝3

所以

2m＋n＝2

m＝9

，得8

n＝9

5

.

(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， ∵(a＋kc)∥(2b－a)，

16

∴2×(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，∴k＝－. 13

(3)设d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，

4x－4－2y－1＝0

由题意得， 22

x－4＋y－1＝5

x＝3x＝5

解得或，∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)．

y＝－1y＝3

探究提高 (1)运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合． (2)根据平行的条件建立方程求参数，是解决这类题目的常用方法，充分体现了方程思想在向量中的应用．

(2011·北京)已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)．若(a－2b)与c

共线，则k＝________. 答案 1

解析 a－2b＝(3，1)－2(0，－1)＝(3，3)， 又∵(a－2b)与c共线，∴(a－2b)∥c， ∴3×3－3×k＝0，解得k＝1.

忽视平面向量基本定理的使用条件致误

→→→→→

典例：(12分)已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e

＝t(a＋b)，那么t为何值时，C，D，E三点在一条直线上？

易错分析 本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决，但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时，容易忽视平面向量基本定理的使用条件，出现漏解，漏掉了当a，b共线时，t可为任意实数这个解． 规范解答

→→

解 由题设，知CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线→→

上的充要条件是存在实数k，使得CE＝kCD，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb， 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.[4分] ①若a，b共线，则t可为任意实数；[7分]

t－3＋3k＝0，6

②若a，b不共线，则有解之得t＝.[10分]

52k－t＝0，

综上，可知a，b共线时，t可为任意实数； 6

a，b不共线时，t＝.[12分]

5

温馨提醒 平面向量基本定理是平面向量知识体系的基石，在解题中有至关重要的作用，在使用时一定要注意两个基向量不共线这个条件．

方法与技巧

1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．

3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用． 失误与防范

1．要区分点的坐标和向量坐标的不同，向量的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减始点坐标；向量坐标中既有大小的信息，又有方向的信息．

x1y12．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等

x2y2

于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.

A组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 与向量a＝(12,5)平行的单位向量为

125，－ A.1313

125－，－ B.1313

125125，或－，－ C.13131313125±，± D.1313答案 C

解析 设e为所求的单位向量， a12，5.故应选C. 则e＝±＝±1313|a|

→→→

2. 如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP＝xOA＋yOB，

( )

→→

且BP＝2PA，则 21

A．x＝，y＝

3313

C．x＝，y＝

44答案 A

( )

12

B．x＝，y＝ 3331

D．x＝，y＝ 44

→→→→→→→2→→2→→

解析 由题意知OP＝OB＋BP，又BP＝2PA，所以OP＝OB＋BA＝OB＋(OA－OB)＝

332→1→

OA＋OB， 3321所以x＝，y＝.

33

3． 已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于

13

A．－a＋b

2231C．－a－b

22答案 B

解析 设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，

－1＝λ＋μ∴，∴2＝λ－μ

( )

13

B.a－b 2231D．－a＋b

22

3μ＝－2

1λ＝2

13

，∴c＝a－b.

22

→→→→

4． 在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，

→

则BC等于

( )

A．(－2,7) C．(2，－7) 答案 B

B．(－6,21) D．(6，－21)

→→→→→→

解析 BC＝3PC＝3(2PQ－PA)＝6PQ－3PA ＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)． 二、填空题(每小题5分，共15分)

11

5． 若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b) (ab≠0)共线，则＋的值为________．

ab

1答案

2

→→

解析 AB＝(a－2，－2)，AC＝(－2，b－2)， 依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，

111

即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.

ab2

6． 已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．

1

答案

2

解析 因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b， 所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)， v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)，

又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0， 1

即10x＝5，解得x＝. 2

→|AC|→2→1→

7． 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足OC＝OA＋OB，则＝________.

33|AB|

1

答案

3

2→1→

解析 ∵OC＝OA＋OB，

33

1→1→1→→→→

∴OC－OA＝－OA＋OB＝(OB－OA)，

333→|AC|1→1→

∴AC＝AB，∴＝.

3→3

|AB|三、解答题(共22分)

8． (10分)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在实数k，使得ka＋b与a－3b共线，且方向

相反？

解 若存在实数k，则ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)． a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．

1

若向量ka＋b与向量a－3b共线，则必有(k－3)×(－4)－(2k＋2)×10＝0，解得k＝－.

31041

－，，所以ka＋b＝－(a－3b)． 这时ka＋b＝333即两个向量恰好方向相反，故题设的实数k存在．

→→→

9． (12分)如图所示，M是△ABC内一点，且满足条件AM＋2BM＋3CM

→→

＝0，延长CM交AB于N，令CM＝a，试用a表示CN. →→→→→→

解 因为AM＝AN＋NM，BM＝BN＋NM， →→→

所以由AM＋2BM＋3CM＝0，得 →→→→→

(AN＋NM)＋2(BN＋NM)＋3CM＝0，

所以AN→＋3NM→＋2BN→＋3CM→

＝0.

又因为A，N，B三点共线，C，M，N三点共线， 由平面向量基本定理，设AN→＝λBN→，CM→＝μNM→

， 所以λBN→＋3NM→＋2BN→＋3μNM→

＝0. 所以(λ＋2)·BN→＋(3＋3μ)NM→

＝0.

由于BN→和NM→

不共线，由平面向量基本定理，

得λ＋2＝0， λ＝－2，3＋3μ＝0，所以μ＝－1.

所以CM→＝－NM→＝MN→，CN→＝CM→＋MN→＝2CM→

＝2a.

B组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共15分)

1． 若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝35，则b等于 (A．(－3,6) B．(3，－6) C．(6，－3)

D．(－6,3)

答案 A

x2＋y2＝35解析 方法一 设b＝(x，y)，由已知条件

，

x－2y



5 x2＋y2＝－1，

整理得x2＋y2＝45，

x＝－3，x－2y＝－15. 解得

y＝6，

∴b＝(－3,6)．

方法二 设b＝(x，y)，由已知条件x2＋y2＝35，y＋2x＝0，

解得x＝－3，或x＝3，y＝6， y＝－6，

(舍去)， ∴b＝(－3,6)．

方法三 ∵|a|＝5，∴1

12|a|a＝5，－5，

则b＝－351|a|a

＝(－3,6)．

2． 已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于

A．(－2，－4)

B．(－3，－6)

)

( )

C．(－4，－8) 答案 C

D．(－5，－10)

解析 由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)⇒m＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．

π

3． 已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝22，且∠AOC＝，4

→→→

设OC＝ λOA＋OB(λ∈R)，则λ的值为 A．1 答案 D

解析 过C作CE⊥x轴于点E(图略)． π

由∠AOC＝，知|OE|＝|CE|＝2，

4→→→→→所以OC＝OE＋OB＝λOA＋OB， →→即OE＝λOA，

2

所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝. 3二、填空题(每小题5分，共15分)

4． △ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，

且p∥q，则角C＝________. 答案 60°

解析 因为p∥q，则(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0， a2＋b2－c21所以a＋b－c＝ab，＝，

2ab2

2

2

2

( )

1

B. 3

1C. 2

2D. 3

1

结合余弦定理知，cos C＝，

2又0°1→→

5． 已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且AC＝2CB，则实数a＝________.

2

答案 2

→→

解析 设C(x，y)，则AC＝(x－7，y－1)，CB＝(1－x,4－y)，

x－7＝21－xx＝3→→

∵AC＝2CB，∴，解得.

y－1＝24－yy＝3

1

∴C(3,3)．又∵C在直线y＝ax上，

21∴3＝a·3，∴a＝2.

2

→→→

6． 设OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A、B、

12

C三点共线，则＋的最小值是________．

ab答案 8

→→

解析 据已知得AB∥AC，

→→

又∵AB＝(a－1,1)，AC＝(－b－1,2)， ∴2(a－1)－(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1， 122a＋b4a＋2b∴＋＝＋ ababb4a

＝4＋＋≥4＋2ab

b4a·＝8， ab

b4a11

当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，

ab4212

∴＋的最小值是8. ab三、解答题

→→→

7． (13分)已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4，6)，OM＝t1OA＋t2AB.

(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；

(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线； →→

(3)若t1＝a2，求当OM⊥AB且△ABM的面积为12时a的值． →→→

(1)解 OM＝t1OA＋t2AB＝t1(0,2)＋t2(4,4) ＝(4t2,2t1＋4t2)．

4t2<0，

当点M在第二或第三象限时，有

2t＋4t≠0，12

故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.

→

(2)证明 当t1＝1时，由(1)知OM＝(4t2,4t2＋2)． →→→

∵AB＝OB－OA＝(4,4)，

→→→→AM＝OM－OA＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2AB， ∴A、B、M三点共线．

→

(3)解 当t1＝a2时，OM＝(4t2,4t2＋2a2)．

→→→

又AB＝(4,4)，OM⊥AB，∴4t2×4＋(4t2＋2a2)×4＝0， 1→

∴t2＝－a2，故OM＝(－a2，a2)．

4

→

又|AB|＝42，点M到直线AB：x－y＋2＝0的距离 |－a2－a2＋2|d＝＝2|a2－1|.

2∵S△ABM＝12，

1→1∴|AB|·d＝×42×2|a2－1|＝12， 22解得a＝±2，故所求a的值为±2.