一元二次方程根的分布

课 题：一元二次方程根的分布 授课人：徐成 教学目的：

1．熟练掌握二次函数的图象和性质；

2．掌握用韦达定理、根的判别式解决含参数的二次方程的实根分布的基本方法； 3．培养学生运用数形结合、分类讨论、函数与方程以及等价转化等重要的数学思想分析、解决有关二次的问题的能力；

4．激发学生学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新的精神。 教学重点：

1．一元二次函数图象的应用、数形结合数学思想的渗透。

2．用韦达定理解“含参数的二次方程的实根分布”问题的基本方法。 教学难点：韦达定理的正确使用及利用数形结合列出方程实根分布的充要条件。 教学方法：启发式、探究式、讲练结合 课时安排：1课时 教 具：传统教学 教学过程： 一、 复习引入： 1．根与系数的关系（韦达定理）：

bxx212a 设方程axbxc0（a0）的两个实根为x1、x2，则cx1x2a2．根的判别式b24ac 二、讲解新课：

例题： 当m取什么实数时，方程x(m3)xm0 分别有： ①两个正根； ②两个根都大于

1； 22解 ：设方程x2(m3)xm0的两实根为x1、x2

方法一：利用根的的判别式、根与系数关系（韦达定理）求解 ①若方程x2(m3)xm0有两个正根，则需满足：

1

b24ac0(m3)24m0b3m0m0m1 x1x20am0cx1x20a∴此时m的取值范围是(0,1]；

②学生可能出现的错解：若方程x2(m3)xm0的两个根都大于

1，则需满足： 2b24ac0(m3)24m0b1xx13m11mm1 2a14mx1x2c14a4错因：对题意的理解不透，没有正确列出二次方程实根分布的充要条件，而这仅仅是必要条件。由满足此不等式组的x1、x2，不一定能满足方程有

111两个根都大于 ，比如x1，x23时，即方程的两个根并不都大于。此时

223需要引导学生转化为第①小题的形式来解。

正解：若方程x2(m3)xm0的两个实根都大于，则需满足：

b24ac0(m3)24m0116m55(x)(x)001mm1 222462m0(x11)(x21)022∴此时m的取值范围是(

5,1]； 612针对训练题：为了使同学们对这种方法的掌握，在原题中加上以下两个问题：

③两个负根； ④两个根都小于1；

解：③若方程x2(m3)xm0有两个负根，则需满足：

2

b24ac0(m3)24m0b3m0mm9 x1x20am0cx1x20a∴此时m的取值范围是[9，+)

④（利用转化思想）若方程x2(m3)xm0的两个根都小于1，则需满足：

b24ac0(m3)24m0(x1)(x1)01m0mm9 12(x1)(x1)02m2021∴此时m的取值范围是[9，+)；

评述：解这类题要充分利用判别式和韦达定理。

此时提出问题：除了以上方法解答以外，还有其它方法吗？通过复习“三个二次”，即二次函数、二次方程、二次不等式的密切关系，启发学生利用二次函数图象来解决这些问题，然后让学生分组探讨，最后由教师点评、归纳。 方法二：图象法

①若方程x2(m3)xm0有两个正根，则二次函数图象与x轴的交点在y轴的右边，如图所示：

y f (0 )0 O x1 x 2 b   0 2 a x

即：

(m3)24m0b3m0m0m122af(0)m03

（在点评过程中要突出所得的条件不等式是充要条件）

②若方程x2(m3)xm0的两个根都大于x=

1的右边，如图所示： 21，则二次函数图象与x轴的交点在直线2y f ( 1)  0  2x1 x 2 x b x   2 a O

即：

(m3)24m05b3m1mm12262a16m5f()024③若方程x2(m3)xm0有两个负根，则二次函数图象与x轴的交点在y轴的左边，如图所示：

y x1 b   0 2 a x 2 O x

即：

(m3)24m0b3m0mm922af(0)m0④若方程x2(m3)xm01，则二次函数图象与x轴的交点在直线y的两个根都小于

x=1的左边，如图所示：

4

O f ( 1 )  0  x1 x 1 x 2 b x   2 a

即：

(m3)24m03m b1mm92 2a f(1)2m20

评述：1、在利用图象法解决二次方程实根布分布问题时，应正确画出图象，并列出与之等价的不等式组，即二次方程实根分布的充要条件。

2、将二次函数图象（抛物线）限定在所需位置，从以下四个方面考虑：

①开口方向；②判别式；③对称轴的位置；④特殊点的函数值。

在方法二的讲解中，教师只对第一小题作分析，余下的三个小题由学生分组讨论完成，学生代表发言，在黑板书写出结论，然后，请学生代表作点评，教师适当补充，作好指导。

师生共同归纳：（由特殊到一般）

设一元二次方程为ax2bxc0（a0），对应的二次函数为f(x)ax2bxc，分析函数图象：从判别式、对称轴、区间端点对应函数值符号三个方向可以得到如下规律：

1. 方程ax2bxc0（a0）两根均小于实常数k

二次函数f(x)ax2bxc图象与x轴有交点，这些交点位于x轴上点（k，0）的左侧 0bk 如图所示： 2af(k)0y f ( k )  0  O x2 k x b x   a 2 x1

5

0特别地：方程ax2bxc0（a0）两根均小于0x1x20

xx0122．方程ax2bxc0（a0）两根均大于实常数k

二次函数f(x)ax2bxc图象与x轴有交点，这些交点位于x轴上点（k，0）的右侧 0bk 如图所示： 2af(k)0y f ( k )  0  k x1O x2 b x   a 2 x

0特别地：方程ax2bxc0（a0）两根均大于0x1x20

xx012

以上结论的出现也交给学生完成，分组讨论后得出。

三、课堂小结：

1、用韦达定理解“含参数的二次方程的实根分布”问题的基本方法

2、二次方程根的分布问题，可用韦达定理或借助二次函数图象列出不等式（组）求解 3、三个二次的关系是中学数学中基础问题，以函数为核心，三者密切相连。 为了能让学生见识一下其它情形的一元二次方程的根的分布，拓展视野；同时也体会一下分类讨论思想在这类问题中是如何运用的； 从而培养学生的交流与合作精神，及提高数学的思维方式。 四、课后思考：

当m取什么实数时，方程x2(m3)xm0 分别有 （1）一个正根，一个负根 （2）一个根大于1，一个根小于1

6

提示：（1） f(0)0mm0

（2）f(1)02m20mm1

五、板书设计（略）

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