2014届步步高大一轮复习讲义7.2

2014高考会这样考 1.考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题；2.会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型；3.以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围 问题．

复习备考要这样做 1.结合二次函数的图像，理解“三个二次”的关系，掌握二次不等式的解法；2.理解简单的分式不等式、高次不等式的解法，和函数单调性结合解一些指数不等式、对数不等式．

1．一元二次不等式的解法

(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)或ax2＋bx＋c<0 (a>0)．

(2)求出相应的一元二次方程的根.

(3)利用二次函数的图像与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表： 判别式 Δ＝b－4ac 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 (a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 [难点正本 疑点清源]

1．一元二次不等式的解集及解集的确定

一元二次不等式ax2＋bx＋c<0 (a≠0)的解集的确定受a的符号、b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图像，数形结合求得不等式的解集．

若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx＋c>0(或<0)(其中a>0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2(x10)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．

2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．

有两相异实根x1，x2(x1x2} {x|x1< x0 Δ＝0 Δ<0

1．不等式x2<1的解集为________． 答案 {x|－12．函数y＝x2＋x－12的定义域是____________． 答案 (－∞，－4]∪[3，＋∞)

解析 由x2＋x－12≥0得(x－3)(x＋4)≥0， ∴x≤－4或x≥3.

3．已知不等式x2－2x＋k2－1>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为_____________． 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)

解析 由题意，知Δ＝4－4×1×(k2－1)<0，

即k2>2，∴k>2或k<－2.

x－1

4．(2012·重庆)不等式≤0的解集为

2x＋1

1－1，1 －，1 A. B.22

11

－∞，－∪[1，＋∞) D.－∞，－∪[1，＋∞) C.22答案 A 解析

x－1≤0，x－1

≤0等价于不等式组① 2x＋12x＋1>0，

( )

x－1≥0，

或② 2x＋1<0.

1

解①得－2

1

－，1. ∴原不等式的解集为2

1

5．若不等式ax2＋bx－2<0的解集为{x|－24A．－28 B．－26 C．28 D．26 答案 C



解析 由已知得12

－2×＝－4a

∴a＝4，b＝7，∴ab＝28.

1b－2＋＝－4a

，

题型一 一元二次不等式的解法

例1 已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，

(1)求a，b的值；

(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.

思维启迪：(1)先化简不等式为标准形式，再依据解集确定a的符号，然后利用根与系数的关系列出a，b的方程组，求a，b的值．

(2)所给不等式含有参数c，因此需对c讨论写出解集．

解 (1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，b>1且a>0.由根与系数的关系，

31＋b＝，aa＝1，得 解得

2b＝2.

1×b＝.

a



(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0， 即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.

当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2所以，当c>2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2探究提高 (1)解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图像写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．

(1)不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20的解集

为________． 答案 {x|－3解析 令f(x)＝ax2＋bx＋c，则f(－x)＝ax2－bx＋c，结合图像，可得ax2－bx＋c>0的解集为{x|－3(2)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax (a∈R)．

解 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0⇒(ax－2)(x＋1)≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0⇒x≤－1.

22

x－(x＋1)≥0⇒x≥或x≤－1. ②当a>0时，原不等式化为aa2

x－(x＋1)≤0. ③当a<0时，原不等式化为a22当>－1，即a<－2时，原不等式等价于－1≤x≤； aa2

当＝－1，即a＝－2时，原不等式等价于x＝－1； a22

当<－1，即a>－2，原不等式等价于≤x≤－1. aa

2－1，； 综上所述，当a<－2时，原不等式的解集为a

当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；

2当－2当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；

2

，＋∞. 当a>0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪a题型二 一元二次不等式恒成立问题

例2 已知不等式ax2＋4x＋a>1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．

思维启迪：化为标准形式ax2＋bx＋c>0后分a＝0与a≠0讨论．当a≠0时，有

a>0， 2Δ＝b－4ac<0.

解 原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1>0对一切实数恒成立，显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，

a＋2>0，从而有 2

Δ＝4－4a＋2a－1<0，

a>－2，

整理，得

a－2a＋3>0，a>－2，

所以所以a>2.

a<－3或a>2，

故a的取值范围是(2，＋∞)．

探究提高 不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，

a>0，c>0；当a≠0时，不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当aΔ<0；

a<0，

＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时，

Δ<0.

2

当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是

______________． 答案 (－∞，－5]

x2＋44

x＋在解析 方法一 当x∈(1,2)时，不等式x＋mx＋4<0恒成立⇒m<－＝－xx

44

x＋，φ(x)＝－x＋∈(－5，－4)，故m≤－5. x∈(1,2)上恒成立，设φ(x)＝－xx方法二 设f(x)＝x2＋mx＋4，因为当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，

f1≤0，5＋m≤0，所以即解得m≤－5.

f2≤0，8＋2m≤0，

题型三 一元二次不等式的实际应用

例3 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量

为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 思维启迪：(1)依据“年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量”写出；(2)年利润有所增加，即y－(12－10)×10 000>0，解此不等式即可得x的范围．

解 (1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000 ×(1＋0.6x) (0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有

2

y－12－10×10 000>0，－6 000x＋2 000x>0， 即 01

解得03

1

0，范围内． 所以投入成本增加的比例应在3

探究提高 不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键．

某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500

万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________． 答案 20 解析 由题意得，

3 860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7 000， 化简得(x%)2＋3·x%－0.≥0， 解得x%≥0.2，或x%≤－3.2(舍去)． ∴x≥20，即x的最小值为20.

解与一元二次不等式有关的恒成立问题

典例：(12分)设函数f(x)＝mx2－mx－1.

(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围； (2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．

审题视角 (1)对于x∈R，f(x)<0恒成立，可转化为函数f(x)的图像总是在x轴下方，可讨论m的取值，利用判别式求解．

(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：方法一是利用二次函数区间上的最值来处理；方法二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般方法二比较简单． 规范解答

解 (1)要使mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，显然－1<0；

m<0，

若m≠0，则⇒－4Δ＝m＋4m<0

所以－4(2)要使f(x)<－m＋5在[1,3]上恒成立，即 13

x－2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．[6分] m24有以下两种方法：

13

x－2＋m－6，x∈[1,3]． 方法一 令g(x)＝m24当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，[8分] 所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，

66

所以m<，则077当m＝0时，－6<0恒成立； 当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，

所以g(x)max＝g(1)⇒m－6<0，所以m<6，所以m<0.

6

综上所述：m的取值范围是{m|m<}．[12分]

713

x－2＋>0， 方法二 因为x2－x＋1＝24

6

又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<2.[8分]

x－x＋1

6666

因为函数y＝2＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．[10分]

77x－x＋1123

x－＋24

6

所以，m的取值范围是m|m<7.[12分]



对于给定区间上的不等式恒成立问题， 一般可根据以下 几步求解：

第一步：整理不等式(或分离参数)； 第二步：构造函数g(x)；

第三步：求函数g(x)在给定区间上的最大值 或最小值；

第四步：根据最值构造不等式求参数； 第五步：反思回顾，查看关键点，易错点， 完善解题步骤．

温馨提醒 1.与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值．

2．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是

变量，求谁的范围，谁就是参数．

3．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方． 4．本题易错点：忽略对m＝0的讨论．这是由思维定势所造成的.

方法与技巧

1．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a<0的情况转化为a>0

时的情形．

2．f(x)>0的解集即为函数y＝f(x)的图像在x轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．

3．简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解． 失误与防范

1．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0 (a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．

A组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

x－3

1．不等式<0的解集为

x＋2

A．{x|－2x－3

解析 不等式<0可转化为(x＋2)(x－3)<0，

x＋2解得－211

－，－，则不等式x2－bx－a<0的解集是( ) 2．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是32

A．(2,3)

11C.3，2 答案 A

111解析 由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－＋232

－1＝b，－1×－1＝－1.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a<0即为x2－5x＋6<0，3a23a解集为(2,3)．

B．(－∞，2)∪(3，＋∞)

11

－∞，∪，＋∞ D.32

C．{x|x<－2，或x>3}

( )

B．{x|x<－2} D．{x|x>3}

3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的值的集合是 A．{a|0解析 由题意知a＝0时，满足条件．

a>0

a≠0时，由得0Δ＝a－4a≤0

B．{a|0≤a<4} D．{a|0≤a≤4}

( )

4．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集为{x|x<－3或x>1}，则函数y＝f(－x)的图像可以为

( )

答案 B

解析 由f(x)<0的解集为{x|x<－3或x>1}知a<0，y＝f(x)的图像与x轴交点为(－3,0)，(1,0)，∴f(－x)图像开口向下，与x轴交点为(3,0)，(－1,0)．

二、填空题(每小题5分，共15分)

ax－11

－，＋∞，则a＝________. 5．已知关于x的不等式<0的解集是(－∞，－1)∪2x＋1

答案 －2

ax－111

－，＋∞，故－应是ax－1＝0的解析 由于不等式<0的解集是(－∞，－1)∪22x＋1根，∴a＝－2.

x2－9

6．(2012·江西)不等式>0的解集是________．

x－2

答案 {x|－33}

x－3x＋3

解析 不等式可化为>0，即(x－3)(x＋3)(x－2)>0，利用数轴穿根法可知，不

x－2等式的解集为{x|－33}．

7．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________. 答案 2

解析 根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3，当a＝2时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a＝－3时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m＝2.

三、解答题(共22分)

8．(10分)求不等式12x2－ax>a2 (a∈R)的解集．

解 原不等式可化为(3x－a)(4x＋a)>0.

aa

当a>0时，不等式的解集为x|x<－4或x>3；

当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；

aa

当a<0时，不等式的解集为{x|x<或x>－}．

34

9．(12分)某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(18

成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．

5

(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．

x1＋8x. 1－·解 (1)依题意，y＝1001001050

x

1－－80≥0. 又售价不能低于成本价，所以10010所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为x∈[0,2]． (2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260， 113

化简得8x2－30x＋13≤0.解得≤x≤. 24

1

所以x的取值范围是2，2.

B组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共15分)

1．不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－12ax的解集为

( )

A．{x|0B．{x|x<0，或x>3} D．{x|x<－2，或x>1}

b

－a＝1解析 由题意知a<0且－1,2是方程ax＋bx＋c＝0的两根，∴c

a＝－2

2

，∴b＝－a，

c＝－2a，

∴不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax， 即为a(x2＋1)－a(x－1)－2a>2ax， ∴x2－3x<0，∴02．若不等式x2－2ax＋a>0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式at2＋2t－3<1的解集为 答案 B

( )

A．(－3,1) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

C．∅

D．(0,1)

解析 不等式x2－2ax＋a>0对一切实数x∈R恒成立，则Δ＝(－2a)2－4a<0，即a2－a<0，解得0所以不等式at2＋2t－3<1转化为t2＋2t－3>0，解得t<－3或t>1，故选B.

2x－2x－3≤0，

3．若不等式组2的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )

x＋4x－1＋a≤0

A．(－∞，－4] C．[－4,20] 答案 B

B．[－4，＋∞) D．[－40,20)

解析 设f(x)＝x2＋4x－(1＋a)，根据已知可转化为存在x0∈[－1,3]使f(x0)≤0.易知函数f(x)在区间[－1,3]上为增函数，故只需f(－1)＝－4－a≤0即可，解得a≥－4. 二、填空题(每小题5分，共15分) x＋1 x<0，

4．已知f(x)＝则不等式x＋(x＋1)f(x－1)≤3的解集是________．

－x－1 x≥0，

答案 {x|x≥－3}

x， x<1

解析 ∵f(x－1)＝，

－x， x≥1

∴x＋(x＋1)f(x－1)≤3等价于 x≥1x<1

或， x＋x＋1x≤3x＋x＋1－x≤3

解得－3≤x<1或x≥1，即x≥－3.

5．设关于x的不等式x2－x<2nx (n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为__________________． 答案 10 100

解析 由不等式x2－x<2nx (n∈N*)，可得其解集为(0,2n＋1)，其中整数解有2n个，即an＝2n，

100×2＋200

∴S100＝＝10 100.

2

6．若关于x的不等式4x－2x1－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为__________．

＋

答案 (－∞，0]

解析 ∵4x－2x1－a≥0在[1,2]上恒成立，

＋

∴4x－2x1≥a在[1,2]上恒成立．

＋

令y＝4x－2x1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.

＋

∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4.

由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x＝1时，y有最小值0.∴a的取值范围为 (－∞，0]． 三、解答题

7．(13分)已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b. (1)解关于a的不等式f(1)>0；

(2)若不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．

解 (1)∵f(1)>0，∴－3＋a(6－a)＋b>0， 即a2－6a＋3－b<0.

Δ＝(－6)2－4(3－b)＝24＋4b.

①当Δ≤0，即b≤－6时，原不等式的解集为∅. ②当Δ>0，即b>－6时，

方程a2－6a＋3－b＝0有两根a1＝3－6＋b， a2＝3＋6＋b，

∴不等式的解集为(3－6＋b，3＋6＋b)． 综上所述：当b≤－6时，原不等式的解集为∅；

当b>－6时，原不等式的解集为(3－6＋b，3＋6＋b)． (2)由f(x)>0，得－3x2＋a(6－a)x＋b>0， 即3x2－a(6－a)x－b<0.∵它的解集为(－1,3)， ∴－1与3是方程3x2－a(6－a)x－b＝0的两根．

∴b

－1×3＝－，3

a6－a－1＋3＝，

3

a＝3－3，a＝3＋3，解得或

b＝9b＝9.