2012-2013学年湖北省襄阳四中、龙泉中学、荆州中考高二(下)期中数学试卷(文科)

2012-2013学年湖北省襄阳四中、龙泉中学、荆州

中考高二（下）期中数学试卷（文科）

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2012-2013学年湖北省襄阳四中、龙泉中学、荆州中考高二（下）期中数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）椭圆 4 A． 22

的焦距为（ ） 6 B． 8 C． 10 D． 2．（5分）设f（x）=3xe，则f′（2）=（ ） 2 24e A．B． 24e 3．（5分）下列命题中为真命题的是（ ） A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题 命题“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否命题 C． 4．（5分）（2007•辽宁）设P为双曲线

12e C． 2D． 12e B． 命题“x＞1，则x＞1”的否命题 2D． 命题“若x＞0，则x＞1”的逆否命题 2上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，

则△PF1F2的面积为（ ） 12 24 A．B． C． D． 5．（5分）（2012•湖北模拟）命题P：若x，y∈R．则|x|+|y|＞1是|x+y|＞1的充分而不必要条件；命题q：函数y=

的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），则（ ）

A．“p或q”为假 B． “p∧q”为真 C． “p∧￢q”为真 D． “￢p∧q”为真 6．（5分）（2012•黄州区模拟）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示． x 0 2 3 4 ﹣1 1 2 0 2 0 f（x） 当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（ ）

2 A． 3 B． 4 C． 5 D． 7．（5分）（2009•浙江）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，

直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（ ）

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www.jyeoo.com A． B． C． D． 8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（3﹣x），且则（ ） A．f（x1）＜f（x2） ，已知x1＜x2，x1+x2＜3，

B． f（x1）＞f（x2） 2

C． f（x1）+f（x2）＜0 D． f（x1）+f（x2）＞0 9．（5分）（2010•天津模拟）已知抛物线y=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线

的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（ ）

A． 10．（5分）已知函数f（x）=x+ax+2bx+c（a，b，c∈R），且函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则z=（a+3）+b的取值范围（ ） A．B． C． （1，2） （，4） （，2） 2

2

3

2

B． 3 C． 9 D． D． （1，4） 二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上） 11．（5分）已知关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式

12．（5分）（2007•江苏一模）抛物线y=﹣x上的点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是 _________

13．（5分）（2012•济宁一模）函数y=a上，则

14．（5分）曲线y=

15．（5分）已知动圆E与圆A：（x+4）+y=2外切，与圆B：（x﹣4）+y=2内切，则动圆圆心E的轨迹方程为 _________ ． 16．（5分）若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是 _________ ．

17．（5分）已知曲线y=（a﹣3）x+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x﹣ax﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为 _________ ．

三、解答题（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（12分）（2013•甘肃三模）设函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R． （1）解不等式f（x）≤5； （2）若

的定义域为R，求实数m的取值范围．

3

3

2

2

2

2

2

1﹣x

2

的解集是 _________ ．

（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）

的最小值为 _________ ．

cosx﹣ 在x=处的切线方程是 _________ ．

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www.jyeoo.com 19．（12分）设命题p：f（x）=

2

在区间（2，+∞）上是减函数；命题q：x1，x2是x﹣ax﹣2=0（a∈[﹣1，1]）

2

的两个实根，不等式m+5m+3≥|x1﹣x2|对任意a∈[﹣1，1]都成立．若“p且q为真”，试求实数m的取值范围． 20．（13分）（2007•北京）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S． （Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域； （Ⅱ）求面积S的最大值．

21．（14分）（2010•宜春模拟）已知线段，CD的中点为O，动点A满足AC+AD=2a（a为正常数）． （1）建立适当的直角坐标系，求动点A所在的曲线方程； （2）若a=2，动点B满足BC+BD=4，且OA⊥OB，试求△AOB面积的最大值和最小值．

22．（14分）（2012•湘潭三模）已知函数

，（其中常数m＞0）

（1）当m=2时，求f（x）的极大值；

（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；

（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．

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2012-2013学年湖北省襄阳四中、龙泉中学、荆州中考高二（下）期中数学试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）椭圆

的焦距为（ ）

8 C． 10 D． 4 6 A．B． 考点： 椭圆的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 利用椭圆的标准方程及其即可． 解答： 解：由椭圆得a=25，b=9．∴22=4，∴2c=8． 因此椭圆的焦距为8． 故选C． 点评： 熟练掌握椭圆的标准方程及其性质是解题的关键． 2．（5分）设f（x）=3xe，则f′（2）=（ ） 22 24e 12e A．B． C． D． 24e 12e 考点： 导数的运算． 专题： 导数的概念及应用． 分析： 利用函数的求导法则即可得到答案． 222解答： 解：由于f（x）=3xe，则f′（x）=6ex， 2故f′（2）=12e， 故答案为 D 点评： 本题考查常用函数求解导函数问题，属于基础概念题． 3．（5分）下列命题中为真命题的是（ ） A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题 B． 命题“x＞1，则x2＞1”的否命题 命题“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否命题 C．D．命 题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题 考点： 四种命题的真假关系． 专题： 阅读型． 分析： 根据题意，依次分析题意，A中命题的逆命题是“若x＞|y|，则x＞y”，正确；B中命题的否命题是“x≤1，则222x≤1”，举反例即可；C中命题的否命题是“若x≠1，则x+x﹣2≠0”，当x=﹣2时，x+x﹣2=0，故错误；D中逆否命题与原命题同真假，只要判断原命题的真假即可． 解答： 解：A中命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题是“若x＞|y|，则x＞y”，无论y是正数、负数、0都成立； 2B中命题的否命题是“x≤1，则x≤1”，当x=﹣1时不成立； 22C中命题的否命题是“若x≠1，则x+x﹣2≠0”，当x=﹣2时，x+x﹣2=0，故错误； 22

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www.jyeoo.com D中逆否命题与原命题同真假，原命题假，故错误． 故选A 点评： 本题考查四种命题及真假判断，属基础知识的考查． 4．（5分）（2007•辽宁）设P为双曲线

则△PF1F2的面积为（ ） 12 A．B． 考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 根据双曲线定义得|PF|﹣|PF|=2a=2，所以12上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，

C． 24 D． ，再由△PF1F2为直角三角形，可以推导出其面积． 解答： 解：因为|PF1|：|PF2|=3：2，设|PF1|=3x，|PF2|=2x， 根据双曲线定义得|PF1|﹣|PF2|=3x﹣2x=x=2a=2， 所以△PF1F2为直角三角形，其面积为，， ， 故选B． 点评： 本题考查双曲线性质的灵活运用，解题时要注意审题． 5．（5分）（2012•湖北模拟）命题P：若x，y∈R．则|x|+|y|＞1是|x+y|＞1的充分而不必要条件；命题q：函数y=

的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），则（ ）

B． “p∧q”为真 C． “p∧￢q”为真 D． “￢p∧q”为真 A．“p或q”为假 考点： 复合命题的真假． 专题： 计算题． 分析： 若|x|+|y|＞1，不能推出|x+y|＞1，而|x+y|＞1，一定有|x|+|y|＞1，故命题p为假．又由函数y=定义域为x∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），q为真命题． 解答： 解：∵|x+y|≤|x|+|y|， 若|x|+|y|＞1，不能推出|x+y|＞1，而|x+y|＞1，一定有|x|+|y|＞1，故命题p为假，￢p为 真 又由函数y=的定义域为|x﹣1|﹣2≥0，即|x﹣1|≥2，即x﹣1≥2或x﹣1≤﹣2． 的故有x∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）． ∴q为真命题，￢q”为假 根据复合命题的真假关系可知，“p或q”为真，“p∧q”为假，“p∧￢q”为假，￢p∧q”为真 故选D． 点评： 本题考查复合命题的真假，解题时要注意公式的灵活运用，熟练掌握复合命题真假的判断方法． 6．（5分）（2012•黄州区模拟）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示． x 0 2 3 4 ﹣1 1 2 0 2 0 f（x）

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www.jyeoo.com 当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（ ）

2 4 5 A．C． D． 考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性． 专题： 数形结合；导数的概念及应用． 分析： 根据导函数图象，画出原函数的草图，利用1＜a＜2，即可得到函数y=f（x）﹣a的零点的个数． 解答： 解：根据导函数图象，可得1是函数的极小值点，函数y=f（x）的图象如图所示 3 B． 因为f（0）=f（3）=2，1＜a＜2， 所以函数y=f（x）﹣a的零点的个数为4个 故选C． 点评： 本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减． 7．（5分）（2009•浙江）已知椭圆

+

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，

直线AB交y轴于点P．若 A． =2B． ，则椭圆的离心率是（ ） C． D． 考点： 椭圆的简单性质． 专题： 数形结合． 分析： 先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用 =2，得到a与c的关系，从而求出离心率． 解答： 解：如图，由于BF⊥x轴，故xB=﹣c，yB =∵=2， ﹣t）． ，设P（0，t）， ∴（﹣a，t）=2（﹣c，∴a=2c，

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www.jyeoo.com ∴e==， 故选 D． 点评： 本题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用，体现了数形结合的数学思想． 8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（3﹣x），且

，已知x1＜x2，x1+x2＜3，

则（ ） A．B． C． D． f（x1）＜f（x2） f（x1）＞f（x2） f（x1）+f（x2）＜0 f（x1）+f（x2）＞0 考点： 函数单调性的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由可判断f（x）的单调性，由x1＜x2，x1+x2＜3可分x1＜x2＜及x1＜＜x2两种情况进行讨论，借助单调性可作出判断． 解答： 解：由得， 当x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增； 因为x1＜x2，x1+x2＜3， 所以x1＜x2＜时，f（x）递减，f（x1）＞f（x2）； 当x1＜＜x2时，3﹣x1＞，且3﹣x1＞x2，f（x）在（，+∞）上递增， 所以f（3﹣x1）=f（x1）＞f（x2）； 综上，f（x1）＞f（x2）， 故选B． 点评： 本题考查函数的单调性及其应用，考查导数与单调性的关系，考查学生推理论证能力． 9．（5分）（2010•天津模拟）已知抛物线y=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线

的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（ ）

A． B． 3 C． 9 D． 2

考点： 圆锥曲线的综合． 专题： 计算题． 分析： 根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M（1，4），双曲线的左顶点为A（﹣a，0），AM ©2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com 的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，由双曲线一条渐近线与直线AM平行能求出实数a． 2解答： 解：∵抛物线y=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5， 2∴抛物线y=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其准线的距离为5， 根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8． ∴抛物线y=16x， ∴M（1，±4）， ∵m＞0， ∴取M（1，4）， ∵双曲线∴AM的斜率为的左顶点为A（﹣， ，0）， 2双曲线的渐近线方程是， 由已知得解得a=． ， 故选A． 点评： 本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线和抛物线性质的灵活运用． 10．（5分）已知函数f（x）=x+ax+2bx+c（a，b，c∈R），且函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则z=（a+3）+b的取值范围（ ） A．B． C． （1，2） （，4） （，2） 2

2

3

2

D． （1，4） 考点： 函数在某点取得极值的条件． 专题： 压轴题． 分析： 据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值． 解答： 解：∵f（x）= ∴f′（x）=x+ax+2b ∵函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值 2∴f′（x）=x+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根 f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0 2即22 （a+3）+b表示点（a，b）到点（﹣3，0）的距离的平方， ©2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com 由图知（﹣3，0）到直线a+b+2=0的距离，平方为为最小值， （﹣3，0）与（﹣1，0）的距离2，平方为4为最大值 故选项为B 点评： 本题考查函数极值存在条件及线性规划求最值． 二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上） 11．（5分）已知关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式 考点： 其他不等式的解法． 专题： 计算题；转化思想． 分析： 关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），可得 =1，且a＜0，由此对于x的不等式的解集是 （﹣1，2） ．

求解即可． 解答： 解：由题意关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），可得=1，且a＜0， 关于x的不等式，可变为（x﹣2）（x+1）＜0，即得（x﹣2）（x+1）＜0， ∴﹣1＜x＜2 不等式的解集：（﹣1，2） 故答案为：（﹣1，2）． 点评： 本题考查一次不等式的解法，求解问题的关键是根据不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），解出参数a，b所满足的条件，求解分式不等式不等式．考查转化思想． 12．（5分）（2007•江苏一模）抛物线y=﹣x上的点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是

2

考点： 抛物线的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 先对y=﹣x2求导得到与直线4x+3y﹣8=0平行的切线的切点坐标，再由点到线的距离公式可得答案． 解答： 解：先对y=﹣x2求导得y′=﹣2x 令y′=﹣2x=﹣ 易得x0= 即切点P（，﹣） 利用点到直线的距离公式得 d=故答案为： 点评： 本题主要考查抛物线的基本性质和点到线的距离公式．考查综合运用能力． = ©2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com 1﹣x13．（5分）（2012•济宁一模）函数y=a（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则

的最小值为 4 ．

考点： 基本不等式；指数函数的图像与性质． 专题： 计算题；压轴题；转化思想． ﹣分析： 最值问题长利用均值不等式求解，适时应用“1”的代换是解本题的关键．函数y=a1x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，知A（1，1），点A在直线mx+ny﹣1=0上，得m+n=1又mn＞0，∴m＞0，n＞0，下用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值． 解答： 解：由已知定点A坐标为（1，1），由点A在直线mx+ny﹣1=0上， ∴m+n=1， 又mn＞0，∴m＞0，n＞0， ∴=（）（m+n）==2++≥2+2•=4， 当且仅当两数相等时取等号． 故答案为4．． 点评： 均值不等式是不等式问题中的确重要公式，应用十分广泛．在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．当均值不等式中等号不成立时，常利用函数单调性求最值．也可将已知条件适当变形，再利用均值不等式，使得等号成立．有时也可利用柯西不等式以确保等号成立，取得最值． 14．（5分）曲线y= 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的综合应用． 分析： 求函数的导数，利用导数的几何意义求切线方程即可． 解答： 解：y=cosx﹣ 的导数为，所以cosx﹣ 在x=处的切线方程是 x+y﹣1=0 ．

． 当x=时，y=处的切线方程是， ，即x+y﹣1=0． 所以在x=故答案为：x+y﹣1=0． 点评： 本题主要考查导数的有何意义，利用导数可以求出切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求直线方程即可． 15．（5分）已知动圆E与圆A：（x+4）+y=2外切，与圆B：（x﹣4）+y=2内切，则动圆圆心E的轨迹方程为 ．

考点： 双曲线的标准方程；双曲线的定义． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 利用两圆相内切与外切的性质可得＜2×4．再利用双曲线的定义可得：动圆的圆心E在以定点A（﹣4，0），B（4，0）为焦点的双曲线的右支上． 2222解答： 解：由圆A：（x+4）+y=2，可得圆心A（﹣4，0），半径=；由圆B：（x﹣4）+y=2可得圆心B（4，0），半径=． 2222

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www.jyeoo.com 设动圆的半径为R，由题意可得，． ∴＜2×4． 由双曲线的定义可得：动圆的圆心E在以定点A（﹣4，0），B（4，0）为焦点的双曲线的右支上． 222∵，c=4．∴b=c﹣a=14． ∴动圆圆心E的轨迹方程为． 故答案为． 点评： 熟练掌握两圆相内切与外切的性质及其双曲线的定义是解题的关键． 16．（5分）若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是 [3，+∞） ． 考点： 绝对值不等式的解法． 专题： 计算题． 分析： 先求出不等式|x﹣1|＜a的解集为集合B，再根据条件可知{x|0＜x＜4}⊂B，建立关于a的不等式组，解之从而确定 a的取值范围． 解答： 解：|x﹣1|＜a⇒1﹣a＜x＜a+1 由题意可知﹣≤x＜0 0＜x＜4是1﹣a＜x＜a+1成立的充分不必要条件 ∴解得a≥3 ∴实数a的取值范围是[3，+∞） 故答案为：[3，+∞） 点评： 本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用，属于基础题． 17．（5分）已知曲线y=（a﹣3）x+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x﹣ax﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用． 332分析： 根据曲线y=（a﹣3）x+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，利用f（x）=x﹣ax﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立． 3解答： 解：因为y=（a﹣3）x+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即332

．

y'=3在x＞0时有解， 所以3（a﹣3）x+1=0，即a﹣3＜0，所以此时a＜3． 32函数f（x）=x﹣ax﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立， 即f'（x）=3x﹣2ax﹣3≤0恒成立，即因为函数所以，所以在[1，2]上单调递增，所以函数． 2， 的最大值为， ©2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com 综上故答案为：． ． 点评： 本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用． 三、解答题（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（12分）（2013•甘肃三模）设函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R． （1）解不等式f（x）≤5； （2）若

的定义域为R，求实数m的取值范围．

考点： 绝对值不等式的解法；函数的值域． 专题： 计算题；压轴题；分类讨论；转化思想． 分析： （1）对不等式）|2x﹣1|+|2x﹣3|≤5，分x≥，＜x＜和x＜三种情况进行讨论，转化为一元一次不等式求解， 把求的结果求并集，就是原不等式的解集． （2）函数f（x）的最小值． 解答： 解：（1）或或 的定义域为R，转化为则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解，求不等式的解集为（2）若 的定义域为R，则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解 又f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣2x+3|=2，f（x）的最小值为2， 所以m＞﹣2． 点评： 问题（1）考查绝对值的代数意义，去绝对值的过程体现了分类讨论的思想方法，属中档题；问题（2）考查应用绝对值的几何意义求最值，体现了转化的思想，属中等题． 19．（12分）设命题p：f（x）=

2

在区间（2，+∞）上是减函数；命题q：x1，x2是x﹣ax﹣2=0（a∈[﹣1，1]）

2

的两个实根，不等式m+5m+3≥|x1﹣x2|对任意a∈[﹣1，1]都成立．若“p且q为真”，试求实数m的取值范围． 考点： 复合命题的真假． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 分别求出命题p，q为真命题的等价条件，然后利用“p且q”是真命题，求实数a的取值范围即可． 解答： 解：因为f（x）=在区间（2，+∞）上是减函数； 所以m≤2，即命题p：m≤2…（3分） 命题2= ∴m+5m+3≥3，∴m≤﹣5或m≥0，即q：m≤﹣5或m≥0…（8分） 若“p且q为真”，则p真且q为真， ©2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com ∴ 即m∈（﹣∞，﹣5]∪[0，2]…（12分） 点评： 本题主要考查全称命题和特称命题的应用以及复合命题的真假关系，比较基础． 20．（13分）（2007•北京）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S． （Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域； （Ⅱ）求面积S的最大值．

考点： 椭圆的应用；函数解析式的求解及常用方法． 专题： 计算题；应用题；压轴题． 分析： （I）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系，由图可得C的横坐标，进而可以表示出c的纵坐标，由解析式分析x的取值范围，即函数的定义域，可得答案； 2222（II）利用导数计算，记f（x）=4（x+r）（r﹣x），（0＜x＜r），对其求导可得f′（x）=8（x+r）（r﹣2x），求得其导函数的零点，分析其单调性，可得当时，S也取得最大值，即可得答案． 解答： 解：（I）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O﹣xy（如图）， 则点C的横坐标为x， 点C的纵坐标y满足方程， 解得=， 其定义域为{x|0＜x＜r}． 222（II）记f（x）=4（x+r）（r﹣x），（0＜x＜r）， 2则f′（x）=8（x+r）（r﹣2x）． 令f′（x）=0，得因为当． 时， 时，f′（x）＞0；当f′（x）＜0，所以因此，当是f（x）的最大值． ． 时，S也取得最大值，最大值为． 即梯形面积S的最大值为 ©2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com 点评： 本题考查椭圆方程及其性质的应用与根据导数求函数的最值的方法；第一注意结合题意，建立合适的坐标系，其次在运用导数求函数的最值时，注意自变量的实际意即函数的定义域． 21．（14分）（2010•宜春模拟）已知线段，CD的中点为O，动点A满足AC+AD=2a（a为正常数）． （1）建立适当的直角坐标系，求动点A所在的曲线方程； （2）若a=2，动点B满足BC+BD=4，且OA⊥OB，试求△AOB面积的最大值和最小值． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 计算题；分类讨论；方程思想． 分析： （1）先以O为圆心，CD所在直线为轴建立平面直角坐标系，对开2a与2的大小关系进行分类讨论，从而即可得到动点A所在的曲线； （2）当a=2时，其曲线方程为椭圆，设A（x1，y1），B（x2，y2），OA的斜率为k（k≠0），则OA的方程为y=kx，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式），求得△AOB面积，最后求出面积的最大值即可，从而解决问题． 解答： 解：（1）以O为圆心，CD所在直线为轴建立平面直角坐标系 若若若，即，即，即，动点A所在的曲线不存在； ，动点A所在的曲线方程为，动点A所在的曲线方程为； （4分） （2）当a=2时，其曲线方程为椭圆由条件知A，B两点均在椭圆 上，且OA⊥OB 设A（x1，y1），B（x2，y2），OA的斜率为k（k≠0）， 则OA的方程为y=kx，OB的方程为，解方程组，得， 同理可求得，， △AOB面积=（8分） ©2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com 令1+k=t（t＞1）则2 令当k=0时，可求得S=1，故所以，即 ，故S的最小值为，最大值为1（12分） 点评： 本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、基本不等式、椭圆方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）．属于中档题． 22．（14分）（2012•湘潭三模）已知函数

，（其中常数m＞0）

（1）当m=2时，求f（x）的极大值；

（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；

（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围． 考点： 基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 专题： 综合题． 分析： （1）利用导数，我们可以确定函数的单调性，这样就可求f（x）的极大值； （2）求导数，再进行类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性； （3）曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，意味着导数值相等，由此作为解题的突破口即可． 解答： 解：（1）当m=2时， （x＞0） 令f'（x）＜0，可得∴f（x）在故或x＞2；令f'（x）＞0，可得和（2，+∞）上单调递减，在 ， 单调递减 （2）①当0＜m＜1时，则此时f（x）在（0，m），，故x∈（0，m）∪（x＞0，m＞0） 时，f′（x）＜0；x∈（m，）时，f'（x）＞0 上单调递减，在（m，）单调递增； ②当m=1时，则，故x∈（0，1），有恒成立， 此时f（x）在（0，1）上单调递减； ③当m＞1时，则， ©2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com 故此时f（x）在∪（m，1）时，f'（x）＜0；，（m，1）上单调递减，在时，f'（x）＞0 单调递增 （3）由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2） 即 ⇒ ∵x1≠x2，由不等式性质可得∴⇒恒成立，又x1，x2，m＞0 对m∈[3，+∞）恒成立 令，则对m∈[3，+∞）恒成立 ∴g（m）在[3，+∞）上单调递增，∴故 从而“对m∈[3，+∞）恒成立”等价于“” ∴x1+x2的取值范围为 点评： 运用导数，我们可解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键 ©2010-2014 菁优网

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参与本试卷答题和审题的老师有：wyz123；孙佑中；caoqz；wubh2011；szjzl；zlzhan；yhx01248；qiss；wsj1012；wdlxh；danbo7801；wdnah；俞文刚；maths；刘长柏；sj2012；394782；吕静（排名不分先后） 菁优网

2014年3月10日

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