相似三角形之常用辅助线

相似三角形之经常使用辅助线之马矢奏春创作

创作时间：二零二一年六月三十日 在与相似有关的几何证明、计算的过程中, 经常需要通过相似三角形, 研究两条线段之间的比例关系, 或者转移线段或角.而有些时候, 这样的相似三角形在问题中, 其实不是十分明显.因此, 我们需要通过添加辅助线, 构造相似三角形, 进而证明所需的结论.

专题一、添加平行线构造“A”“X”型

定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交, 所构成的三角形与原三角形相似．

定理的基本图形： 例1、平行四边形ABCD中, E为AB中点, AF：FD＝1：2, 求AG：GC 变式练习： 已知在△ABC

中, AD

ABBDACCD是∠BAC的平分线．求

证：． （本题有多种解法, 多想想）

例2、如图, 直线交△ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于

BDF,若DCFC＝FA=2,求BE:EA的比值.

变式练习：如图, 直线交△ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线BDFE

交于F,若 ＝ =2,求BE:EA的比值.

DCED例3、BE＝AD, 求证：EF·BC＝AC·DF

变式1、如图, △ABC中, AB创作时间：二零二一年六月三十日

创作时间：二零二一年六月三十日

DE, BC的延长线相交于点F, 证明：AB·DF=AC·EF.

例4、已知：如图, 在△ABC中, AD为中线, E在AB上, AE=AC, CE交AD于F, EF∶FC=3∶5, EB=8cm, 求AB、AC的长.

BDAE1AF变式：如图, CDDE2, 求BF

A A .（试用多种方法解）

A A E 说明：此题充沛展示了添加辅助线, 构造相似形的方法F E F E F E F 和技巧．在解题中方法要灵活, 思路要开阔． B D C B D C B D C B D 总结：

C （1）遇燕尾, 作平行, 构造字一般行. （2）引平行线应注意以下几点：

1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项, 在同一直线的线段的端点作为引平行线的点.

2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例.

专题二、作垂线构造相似直角三角形 一、基本图形 A 2如图，ABC中，ABAC，BDAC，那么BC2CACD吗？试说明例1、D E 理由？（用多种解法） F v

C B 变式练习：平行四边形ABCD中, CE⊥AE, CF⊥AF, 求证：AB·AE＋AD·AF＝AC

创作时间：二零二一年六月三十日

2

创作时间：二零二一年六月三十日

例2、如图, RtABC中, CD为斜边AB上的高, E为CD的中点, AE的延长线交BC于F, FGAB于G, 求证：FG=CF•BF 【练习】

1．如图, 一直线与△ABC的边AB, AC及BC的延长线分别交于D,

AEBFECCF, 则E, F.求证：若

2D是AB的中点.

A

2．如图, 在△ABC中, AB=AC, D在AB上, E在ACD 的延长线上, BD=3CE, DE交BC于F, 求DF：FE的值.

B E C A D F

3.已知：AM：MD=4：1, BD：DC=2：3, 求AE：EC. 4、如图, ABC的AB边和AC边上各取一点D和E, 且使AD＝AE, DE延长线与BC延长线相交于创作时间：二零二一年六月三十日 BFBDCFCE F, 求证：B D B F C E A C F E 创作时间：二零二一年六月三十日