带电粒子在匀强磁场中的运动(高频49)

1．匀速圆周运动的规律

若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做 匀速圆周 运动．

2．圆心的确定

(1)已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的 圆心 (如图a所示，图中P为入射点，M为出射点)．

(2)已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以先通过入射点作入射方向的垂线，再连接入射点和出射点，作其 中垂线 ，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图b所示，图中P为入射点，M为出射点)．

3．半径的确定

可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小． 4．运动时间的确定

粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时间表示为t＝

θθRT (或t＝v)． 2π

5．带电粒子在不同边界磁场中的运动

(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)．

(2)平行边界(存在临界条件，如图所示)．

(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)．

[诊断小练]

2πr

(1)根据公式T＝v，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期T与v成反比．( ) (2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关．( )

(3)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期取决于粒子的比荷．( )

(4)带电粒子在匀强磁场中运动时，速度的偏向角等于入射点和出射点连线所对应的圆心角．( )

【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√

命题点1 半径、周期公式的应用

3．(2017·课标卷Ⅱ，18)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点．大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场．若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用．则v2∶v1为( )

A.3∶2 C.3∶1

B．2∶1 D．3∶2

【解析】 相同的带电粒子垂直匀强磁场入射均做匀速圆周运动．

粒子以v1入射，一端为入射点P，对应圆心角为60°(对应六分之一圆周)的弦PP′必为垂直该弦入射粒子运动轨迹的直径2r1，如图甲所示，设圆形区域的半径为R，由几何关系1

知r1＝R.其他不同方向以v1入射的粒子的出射点在PP′对应的圆弧内．

2

同理可知，粒子以v2入射及出射情况，如图乙所示．由几何关系知r2＝R，

可得r2∶r1＝3∶1.

mv

因为m、q、B均相同，由公式r＝可得v∝r，

qB所以v2∶v1＝3∶1.故选C. 【答案】 C

活用两个基本公式解决磁场中的问题

mvq

(1)与半径或轨迹有关的问题：解题关键是掌握半径公式r＝，r与比荷成反比，与

Bqmv成正比，与磁感应强度B成反比．另外有r＝2mEk，r与Ek成正比． qB

2πm

. qB

R23R2－＝22

(2)与时间有关的问题：解题关键是掌握周期公式T＝

4．(2016· 课标卷Ⅱ，18)一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示．图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动．在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角．当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒．不计重力．若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为( )

ωA. 3BωC. B

ωB．

2B2ωD．

B

v2

【解析】 画出粒子的运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力得，qvB＝m，又T

rππ2πr2πm

＝v，联立得T＝，根据粒子的运动轨迹，由几何知识可得，轨迹的圆心角为3－4×2qBππ30°2πm2qω＝＝30°，两个运动具有等时性，则×＝，解得＝，故选A. 6360°qBωm3B

【答案】 A

命题点2 带电粒子在匀强磁场中的运动

5.(2016·课标卷Ⅲ，18)平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q＞0)．粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为( )

mvA. 2qB2mvC. qB

B．

3mv

qB

4mvD．

qB

【解析】 根据题意，粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，则轨迹与ON相切，设切点为C点，入射点为B点，出射点为A点，粒子在磁场中的轨迹圆心为O′点，

根据几何知识可得AB＝2rsin 30°＝r，则三角形O′AB为等边三角形，故∠O′AB＝60°，而∠MON＝30°，∠OCA＝90°，故CO′A为一条直线，所以△AOC为直角三角形，故粒子mvAC2r离开磁场的出射点到O的距离为AO＝＝＝4r，而半径公式r＝，故距离为

sin 30°sin 30°Bq4mv

. Bq

【答案】 D

6．(2013·课标卷Ⅱ，17)空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R，磁场方向垂直于横截面．一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向60°.不计重力，该磁场的磁感应强度大小为( )

A.C.3mv0 3qR3mv0

qR

mv0B．

qR3mv0D． qR

【解析】 如图所示，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即qv0B

2v03mv0＝m，据几何关系，粒子在磁场中的轨道半径r＝Rtan 60°＝3R，解得B＝，选项A

r3qR

正确．

【答案】 A

1．“三步法”解决带电粒子在磁场中的圆周运动问题

2．明确速度偏向角φ与弦AB所对应圆心角关系