七年级下册数学知识点归纳
第五章 相交线与平行线
一、相交线 两条直线相交,形成 4个角。
1. 邻补角:两个角有一条公共边, 它们的另一条边互为反向延长线。两个角,互为邻补角。
2.对顶角:两个角有一个公共顶点,并且一个角的两条
具有这种关系的
边,分别是另一个角的两条边的反向延长线,具有这种
关系的两个角,互为对顶角。
3.对顶角相等。
二、垂线
~
1.垂直:如果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直。
2.垂线:垂直是相交的一种特殊情形,两条直线垂直,其中一条直 线叫做另一条直线的垂线。
3.垂足:两条垂线的交点叫垂足。
4.垂线特点:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
5.点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫点 到直线的距离。 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中, 垂线段 最短。
三、同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条直线所截形 成 8个角。
1.同位角:在两条直线的上方,又在直线 EF 的同侧,具有这种位置 关系的两个角叫同位角。
2.内错角:在在两条直线之间,又在直线 EF 的两侧,具有这种位置 关系的两个角叫内错角。
3.同旁内角:在在两条直线之间,又在直线 EF 的同侧,
具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。
*
四、平行线
(一 ) 平行线
1. 平行:两条直线不相交。互相平行的两条直线,互为平行线。 a ∥不相交的两条直线叫做平行线。 )
2. 平行公理:经过直线外一点, 有且只有一条直线与这条直线平行。3. 平行公理推论:①平行于同一直线的两条直线互相平行。
②在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行。
(二 ) 平行线的判定:
1. 同位角相等,两直线平行。
在同一平面内, b (
2. 内错角相等,两直线平行。
3. 同旁内角互补,两直线平行。
(
(三 ) 平行线的性质
1. 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
2. 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。
3. 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
4. 两条平行线被第三条直线所截,外错角相等。
以上性质可简单说成:
1. 两条直线平行,同位角相等。
2. 两条直线平行,内错角相等。
3. 两条直线平行,同旁内角互补。
(四 ) 命题、定理
:
1.命题的概念:判断一件事情的语句,叫做命题。
2. 命题的组成:每个命题都是题设、结论两部分组成。
题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果 „„,那么„„”的形式。具有这种形式的命题中,用“如果”开始的部 分是题设,用“那么”开始的部分是结论。
3.真命题:正确的命题,题设是成立,结论一定成立。
4.假命题:错误的命题,题设是成立,不能保证结论一定成立。
5. 定理 ; 经过推理证实得到的真命题。 (定理可以做为继续推理的依 据 )
(五 ) 平移
1. 平移 :平移是指在平面内, 将一个图形沿着某个方向移动一定的距 离,这样的图形运动叫做平移变换 (简称平移 ) ,平移不改变物体的 形状和大小。
2. 平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动, 会得到一个新的图形, 新图
~
形与原图形的形状和大小完全相同。
②新图形中的每一点, 都是由原图形中的某一点移动后得到的, 这两 个点是对应点。连接各组对应点的线段平行且相等。
第六章 实数
一、算术平方根
1.算术平方根:如果一个正数 x 的平方等于 a ,即 x 2=a,那么这个 正数 x 叫做 a 的算术平方根,记作√ a 。 0的算术平方根为 0; 2.平方根:如果一个数 x 的平方等于 a ,即 x 2=a,那么数 x 就叫做 a 的平方根 (或二次方根 ) 。
3.开平方:求一个数 a 的平方根的运算 (与平方互为逆运算 )
4. 平方根性质:正数有 2个平方根 (一正一负) , 它们是互为相反数; 负数没有平方根。
二、立方根
1.立方根:如果一个数 x 的立方等于 a ,即 x 3=a,那么数 x 就叫做 a 的立方根 (或三次方根 ) 。
2.开立方:求一个数 a 的立方根的运算 (与立方互为逆运算 ) 。
[
3.立方根性质:正数的立方根是正数;负数的立方根是负数。 0的 立方根是 0;
三、实数
1.无理数:无限不循环小数。如:π、√ 2、√ 3
2. 实数:有理数和无理数统称实数。 实数都可以用数轴上的点表示。
第七章
平面直角坐标系
一、平面直角坐标系
(一 ) 有序数对
1.有序数对
用两个数来表示一个确定个位置,其中两个数各自表示不同的意义, 我们把这种有顺序的两个数组成的数对, 叫做有序数对, 记作 (a,b ) 2. 坐标:数轴 (或平面 ) 上的点可以用一个数 (或数对 ) 来表示, 这个数 (或数对 ) 叫做这个点的坐标。
(二 ) 平面直角坐标系
1.平面直角坐标系:在平面内画两条互相垂直,并且有公共原点的 数轴。 这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系, 简称直角坐标系。
2. X 轴:水平的数轴叫 X 轴或横轴。向右方向为正方向。
3. Y 轴:竖直的数轴叫 Y 轴或纵轴。向上方向为正方向。
4.原点:两个数轴的交点叫做平面直角坐标系的原点。
5. 在平面直角坐标系中对称点的特点:
①关于 x 成轴对称的点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数。 ②关于 y 成轴对称的点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数。 ③关于原点成中心对称的点的坐标, 横坐标与横坐标互为相反数, 纵 坐标与纵坐标互为相反数。
(三 ) 象限
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1.象限:X 轴和 Y 轴把坐标平面分成四个部分,也叫四个象限。右 上面的叫做第一象限, 其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、 第三象限和第四象限。象限以数轴为界,横轴、纵轴上的点及原点不 属于任何象限。一般,在 x 轴和 y 轴取相同的单位长度。
2.象限的特点:
①特殊位置的点的坐标的特点:
(1) .x 轴上的点的纵坐标为零; y 轴上的点的横坐标为零。
(2) . 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限 角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
(3) . 在任意的两点中,如果两点的横坐标相同,则两点的连线平行 于纵轴;如果两点的纵坐标相同,则两点的连线平行于横轴。
②点到轴及原点的距离:
点到 x 轴的距离为 |y|;
点到 y 轴的距离为 |x|;
点到原点的距离为 x 的平方加 y 的平方再开根号;
~
③各象限内和坐标轴上的点和坐标的规律:
第一象限:(+, +)
第二象限:(-, +)
第三象限:(-, -)
第四象限:(+, -) 。
x 轴正方向:(+, 0)
x 轴负方向:(-, 0)
y 轴正方向:(0, +)
y 轴负方向:(0, -) 。
坐标原点 :(0, 0)
!
x 轴上的点纵坐标为 0,
y 轴横坐标为 0。
二、坐标方法的简单应用
(一 ) 用坐标表示地理位置的过程:
1.建立坐标系,选择一个合适的参照点为原点,确定 X 轴和 Y 轴的 正方向。
2.根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度。
3.在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称。
(二 ) 用坐标表示平移
在平面直角坐标系内, 如果把一个图形各个点的横坐标都加 (或减去 ) 一个正数 a ,相应的新图形就把原图形向右 (左 ) 平移 a 个单位长度; 如果把它各个点的纵坐标都加 (或减去 ) 一个正数 a ,相应的新图形 就把原图形向上 (下 ) 平移 a 个单位长度。
第八章 二元一次方程组
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二元一次方程组
1. 二元一次方程:含有两个未知数的方程并且所含未知项的最高次 数是 1,这样的整式方程叫做二元一次方程。
2.方程组:有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中 含有两个未知数, 且含未知数的项的次数都是一次, 那么这样的方程 组叫做二元一次方程组。
3.二元一次方程组的解:二元一次方程的两个方程的公共解叫二元 一次方程组的解
消元
二元一次方程组有两种解法:一种是代入消元法 , 一种是加减消元法 . 1.代入消元法:把二元一次方程中的一个方程的一个未知数用含另 一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求 得这个二元一次方程组的解。
2.加减消元法:两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等 时,把这两个方程的两边分别相加或向减,就能消去这个未知数,得 到一个一元一次方程。
第九章 不等式与不等式组
不等式
一、 不等式及其解集
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1.不等式:用不等号 (包括:>、 <、≠ ) 表示大小关系的式子。
2.不等式的解:使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解。
3.不等式的解集:使不等式成立的未知数的取值范围,叫不等式的 解的集合,简称解集。
不等式的基本性质 :
性质 1:如果 a>b,b>c,那么 a>c(不等式的传递性 ).
性质 2:不等式的两边同加 (减 ) 同一个数 (或式子 ) ,不等号的方向不 变。如果 a>b,那么 a+c>b+c(不等式的可加性 ).
性质 3: 不等式的两边同乘 (除以 ) 同一个正数,不等号的方向不变。 不等式的两边同乘 (除以 ) 同一个负数,不等号的方向改变。
如果 a>b,c>0,那么 ac>bc;如果 a>b,c<0,acb,c>d,那么 a+c>b+d. (不等式的加法法则 )性质 5:如果 a>b>0,c>d>0,那么 ac>bd. (可乘性 )
性质 6:如果 a>b>0,n∈ N,n>1,那么 a n >bn , 且 . 当 0》实际问题与一元一次不等式
解一元一次不等式的一般方法:
①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左, 就取在左边的未知数的 解集为不等式组的解集,此乃 “同小取小”
②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右, 就取在右边的未知数的 解集为不等式组的解集,此乃 “同大取大”
③若两个未知数的解集在数轴上相交, 就取它们之间的值为不等式组 的解集。若 x 表示不等式的解集,此时一般表示为 a ④若两个未知数的解集在数轴上向背, 那么不等式组的解集就是空集, 不等式组无解。此乃 “向背取空”一元一次不等式组
1. 不等式组:几个含有相同未知数的不等式合起来, 叫做不等式组。
2.不等式组的解:几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们组成 的不等式组的解集。解不等式组就是求它的解集。
3.解不等式组:先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公 共部分,利用数轴可以直观地表示不等式的解集。
