角平分线培优

一. 例题讲解： 例1、（1）如图1，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC=PD，则∠1_____∠2；

（2）如图2，AB⊥BC于B，AD⊥DC于D，若CB=CD，且∠1=30°，则∠BCD=______；

（3）在R⊿tABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若DC=7，则D到AB 的距离是_______； （4）如图3，在⊿ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15cm，则 ⊿DEB的周长为________

（5）如图4，到三条直线a、b、c的距离相等的点共有______个。

例2、如图5，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F是OC上另一点，连接DF、EF。 求证：DF=EF

例3、如图6，BD平分∠ABC，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N。 求证：PM=PN

例4、如图7，已知AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。 求证：DE=DF

例5、如图8，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于O点，∠1=∠2。 （1）图有______对全等三角形； （2）选择其中一对给予证明。

二. 巩固练习

1. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点

2. 在RtABC中，C90，AD平分BAC，交BC于点D，若BC32，且BD:CD9:7，则点D到AB的距离为（ ）

A. 18 B. 16 C. 14 D. 12

3. 如图，直线l1,l2,l3表示三条互相交叉的公路，现要修建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有（ ）

A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处

Dn，ABm，4. 如图，在RtABC中，C90，BD是ABC的平分线，交AC于D，若C则ABD的面积是（ ）

11 B. mn C. mn D. 2mn mn

32ODBC，OEAC，OFAB，5. 如图，ABC中，C90，点O为ABC的三条角平分线的交点，

点D,E,F分别是垂足，且AB10cm，BC8cm，CA6cm，则点O到三边AB,AC,BC的距离分别等于

A. （ ）cm

A. 2、2、2

B. 3、3、3 C. 4、4、4

D. 2、3、5

6. 如图，已知BA,CA分别是DBC，ECB的平分线，BDDE，CEDE，垂足分别为D,E，则DA与EA有怎样的数量关系____________。

7. 已知ABC中，C90，AD平分A，ADBD2CD，点D到AB的距离等于5.6cm，则BC的长为___________cm。



DFBC于F，AB18cm，BC12cm，8. 如图，BD是ABC的平分线，SABC36cm2，DEAB于E，则DE的长是__________。

9. 如图，AB//CD，B90，E是BC的中点，DE平分ADC。求证：AE平分DAB。



10. 如图，已知在四边形ABCD中，BD180，AC平分BAD，CEAD，E为垂足。求证：ABAD2AE。



三. 拓展提高：

1、△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，两腰AB、AC的垂直平分线交于点P，则（ ） A、点P在△ABC 内 B、点P在△ABC 底边上

C、点P在△ABC 外 D、点P的位置与△ABC 的边长有关

2、如果三角形两边的垂直平分线的交点恰好落在第三边上，则这个三角形是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形 3、已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°,则∠AEB等于( ) A、95° B、15° C、95°或15° D、170°或30°

4、如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好

平分∠ABC，则AB的长与AD＋BC的长的大小关系是（ ） A、CD＞AD＋BC B、CD＝AD＋BC C、CD＜AD＋BC D、无法确定 5、在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，M是AB上一点，连接MD、MC,MD、MC分别平分∠ADC、

∠BCD，求证：（1）AM=BM ； （2）∠DMC=90°.

6、如图4，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点。①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF，以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②③ ,①③②，②③①。

（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）； （2）请证明你认为正确的命题。

7、如图5，以△ABC两边AB、AC为边，向外作等边△

ABD和等边△ACE，连接BE、CD交于O点，求证：OA平分∠DOE

8、如图6，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点

B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF. （1）求证：AD⊥CF；

（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由。