信息论与编码课程习题1——预备知识 概率论与马尔可夫链
一、概率论部分
1、某同学下周一上午是否上课,取决于当天情绪及天气情况,且当天是否下雨与心情好坏没有关系。若下雨且心情好,则50%的可能会上课;若不下雨且心情好,则有10%的可能性不上课;若不下雨且心情不好则有40%的可能性上课;若下雨且心情不好,则有90%的可能不会上课。假设当天下雨的概率为30%,该同学当天心情好的概率为20%,试计算该同学周一上课的可能性是多大?
2、已知随机变量X和Y的联合分布律如又表所示,
X Y 5 0.2 0.1 6 0.3 0.4 且Z1g1X,YX2Y,Z2g2X,YX/Y,1 求:
1)Z1的分布律与数学期望 2)Z2的分布律与数学期望 3)Z1大于10的概率
4)由上面的例子,你是否能得到离散随机变量函数的数学期望的一般表达式?包括一元和多元随机变量函数。
3、已知随机变量X的概率密度函数为fX(x)2 01baxborxabxa,其中
a3,b10,YgXX2为X的函数,求:
1)随机变量X小于或等于5的概率 2)随机变量Y的概率密度函数 3)随机变量Y大于10的概率 4)随机变量Y的数学期望
4、已知随机变量X和Y的联合概率密度函数为
1fXY(x,y)403x1and2y02,ZgX,YX2Y。
others1)求随机变量Z的数学期望 2)求随机变量Z的概率密度函数
3)结合习题3,总结连续随机变量的函数的数学期望的一般表达式,包括包括一元和多元随机变量函数。
二、随机过程部分
P352 T2给定随机过程X(t),tT,x是任意实数,定义另一随机过程
1
湖北大学计信学院蒋碧波
1Y(t)0
X(t)xX(t)x
试将的均值函数和自相关函数用随机过程X(t)的一维和二维分布函数表示出来
P352 T3设随机过程X(t)eAt,t0,其中A是在区间0,a服从均匀分布的随机变量。试求X(t)的均值函数和自相关函数。
P353 T9Xt,Yt,tT是互不相关的随机过程。Zta(t)Xtb(t)Ytc(x),其中
a(t),b(t),c(x)是普通函数。求Zt的均值函数和自相关函数。
三、马尔科夫链部分
11P374 T5、设马氏链Xn,n0的状态空间为I1,2,3,初始分布为p(0)=14,2,4,转
移概率矩阵为
1231231413034131401334
计算PX01,X12,X22
证明PX12,X22|X01p12p22 计算p122PX22|X01 计算p2(2)P{X22}
0.20.80P375 T10 设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为0.200.8。试证明此链具有遍历性,
00.20.8并求其平稳分布(分别利用性质1和性质3求解) 分析:
四、奖励加分题:
1、证明若齐次马氏链具有遍历性,则齐n步转移概率矩阵(n趋近于无穷大)每一列中的元素都相同。
2、当具有遍历性的齐次马氏链处于平稳状态时,经过一次转移后仍处于平稳状态。
湖北大学计信学院蒋碧波 2