第0章 随机过程与马尔可夫链习题

一、概率论部分

1、某同学下周一上午是否上课，取决于当天情绪及天气情况，且当天是否下雨与心情好坏没有关系。若下雨且心情好，则50%的可能会上课；若不下雨且心情好，则有10%的可能性不上课；若不下雨且心情不好则有40%的可能性上课；若下雨且心情不好，则有90%的可能不会上课。假设当天下雨的概率为30%，该同学当天心情好的概率为20%，试计算该同学周一上课的可能性是多大？

2、已知随机变量X和Y的联合分布律如又表所示，

X Y 5 0.2 0.1 6 0.3 0.4 且Z1g1X,YX2Y，Z2g2X,YX/Y，1 求：

1）Z1的分布律与数学期望 2）Z2的分布律与数学期望 3）Z1大于10的概率

4）由上面的例子，你是否能得到离散随机变量函数的数学期望的一般表达式？包括一元和多元随机变量函数。

3、已知随机变量X的概率密度函数为fX(x)2 01baxborxabxa，其中

a3,b10，YgXX2为X的函数，求：

1）随机变量X小于或等于5的概率 2）随机变量Y的概率密度函数 3）随机变量Y大于10的概率 4）随机变量Y的数学期望

4、已知随机变量X和Y的联合概率密度函数为

1fXY(x,y)403x1and2y02，ZgX,YX2Y。

others1）求随机变量Z的数学期望 2）求随机变量Z的概率密度函数

3）结合习题3，总结连续随机变量的函数的数学期望的一般表达式，包括包括一元和多元随机变量函数。

二、随机过程部分

P352 T2给定随机过程X(t),tT,x是任意实数，定义另一随机过程

1

湖北大学计信学院蒋碧波

1Y(t)0

X(t)xX(t)x

试将的均值函数和自相关函数用随机过程X(t)的一维和二维分布函数表示出来

P352 T3设随机过程X(t)eAt，t0，其中A是在区间0,a服从均匀分布的随机变量。试求X(t)的均值函数和自相关函数。

P353 T9Xt,Yt，tT是互不相关的随机过程。Zta(t)Xtb(t)Ytc(x)，其中

a(t),b(t),c(x)是普通函数。求Zt的均值函数和自相关函数。

三、马尔科夫链部分

11P374 T5、设马氏链Xn,n0的状态空间为I1,2,3，初始分布为p(0)=14,2,4，转

移概率矩阵为

1231231413034131401334

计算PX01,X12,X22

证明PX12,X22|X01p12p22 计算p122PX22|X01 计算p2(2)P{X22}

0.20.80P375 T10 设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为0.200.8。试证明此链具有遍历性，

00.20.8并求其平稳分布（分别利用性质1和性质3求解） 分析:

四、奖励加分题：

1、证明若齐次马氏链具有遍历性，则齐n步转移概率矩阵（n趋近于无穷大）每一列中的元素都相同。

2、当具有遍历性的齐次马氏链处于平稳状态时，经过一次转移后仍处于平稳状态。

湖北大学计信学院蒋碧波 2