用二分法求方程的近似解-经典例题及答案

f(2)10,f(3)20，

所以在区间(2,3)内，方程x22x10有一解，记为x1.取2与3的平均数2.5，因为

f(2.5)0.250，

所以 2x12.5.

再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25)0.43750， 所以 2.25x12.5. 如此继续下去，得

f(2)0,f(3)0x1(2,3)f(2)0,f(2.5)0x1(2,2.5)f(2.25)0,f(2.5)0x1(2.25,2.5)f(2.375)0,f(2.5)0x1(2.375,2.5)f(2.375)0,f(2.4375)0x1(2.375,2.4375)，因为2.375与2.4375精确到

0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为

x12.4.

利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.

点评:①第一步确定零点所在的大致区间(a,b)，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间； ②建议列表样式如下：

零点所区间中点函区间长在区间 数值 度 [2,3] f(2.5)0 1 [2,2.5] f(2.25)0 [2.25,2.5] f(2.375)0 [2.375,2.5] f(2.4375)0 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．

例2：利用计算器，求方程lgx3x的近似解（精确到）． 分析：分别画函数ylgx和y3x 的图象，在两等．因此，这的解．由函数现，方程这个解在区间(2,3)内.

【解】设f(x)lgxx3，利用计算器计算得

个函数图象的交点处，函数值相个点的横坐标就是方程lgx3xylgx与y3x的图象可以发lgx3x有惟一解，记为x1，并且

f(2)0,f(3)0x1(2,3)f(2.5)0,f(3)0x1(2.5,3)f(2.5)0,f(2.75)0x1(2.5,2.75)f(2.5)0,f(2.625)0x1(2.5,2.625)f(2.5625)0,f(2.625)0x1(2.5625,2.625)

因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为

x12.6.

思考:发现计算的结果约稳定在2.58717.这实际上是求方程近似解的另一种方法——迭代法．

除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等．

例3：利用计算器，求方程2xx4的近似解（精确到）． 【解】方程2xx4 可以化为2x4x． 分别画函数y2x

与y4x的图象，由图象可以知道，方程2xx4的解在区间(1,2)内，那么对于区间(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为x1.4. 追踪训练一

1. 设x0是方程lnxx4的解，则x0所在的区间为 （ B ）

A．(3,4) B．(2,3) C．(1,2) D．(0,1)

2. 估算方程5x27x10的正根所在的区间是 （ B ） A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)

3．计算器求得方程5x27x10的负根所在的区间是（ A ） A．（1，0） B．2,1 C．2.5,2 D．3,2.5

4.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到0.1) (1)lg2xx1 (2)3xx4 答案: (1)0.8(2)x13.9,x21.6 一、含字母系数的二次函数问题

例4：二次函数f(x)px2qxr中实数p、q、r满足

pqr0，其中m0，求证： m2m1m（1）pf(m)0)； m1（2）方程f(x)0在(0,1)内恒有解．

分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据：间(0,1) 内的数，且pf(m是区m1m)0，这就启发我们把区间(0,1) 划分为(0，m1mm)和（，1）来处理． m1m1【解】（1）

pf(mm2m)p[p()q()r] m1m1m1pm[pmqr]

(m1)2m1mm(m2)(m1)2pmp2] pm[]pm[(m1)2(m2)(m1)2m2p2m，

(m1)2(m2)由于f(x)是二次函数,故p0，又m0，所以，pf(⑵ 由题意，得f(0)r, f(1)pqr． ①当p0时，由（1）知f(若r0，则f(0)0，又f(所以f(x) 在（0，

m)0 m1m)0． m1m)0, m1m）内有解． m1若r0，则f(1)pqrp(m1)

(prprmm)r0，)0，又f(所以f(x)0在（,1）m2mm2mm1m1内有解．

②当p0时同理可证．

点评：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数p0．若

将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改．

（2）对字母p、r分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对p分类，然后对r分类显然是比较好． 追踪训练二

1．若方程2ax2x10在(0,1)内恰有一则实数a的取值范围是 (B ) A．[,) B．(1,) C．(,1) D．[,1)

2.方程x22x2k10的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k的取值范围是k1；

1218183．已知函数f(x)2mx4，在[2,1]上存在x0，使f(x0)0，则实数m的取值范围是____m1或m2_____________． 4．已知函数fxx3x ⑴试求函数yfx的零点；

⑵是否存在自然数n，使fn1000若存在，求出n，若不存在，请说明理由．

答案：（1）函数yf(x)的零点为x0； （2）计算得f(9)738，f(10)1010，

由函数的单调性，可知不存在自然数n，使fn1000成立．