例1:利用计算器,求方程x22x10的一个近似解(精确到). 【解】设f(x)x22x1, 先画出函数图象的简图. (如右图所示) 因为
f(2)10,f(3)20,
所以在区间(2,3)内,方程x22x10有一解,记为x1.取2与3的平均数2.5,因为
f(2.5)0.250,
所以 2x12.5.
再取2与2.5的平均数2.25,因为f(2.25)0.43750, 所以 2.25x12.5. 如此继续下去,得
f(2)0,f(3)0x1(2,3)f(2)0,f(2.5)0x1(2,2.5)f(2.25)0,f(2.5)0x1(2.25,2.5)f(2.375)0,f(2.5)0x1(2.375,2.5)f(2.375)0,f(2.4375)0x1(2.375,2.4375),因为2.375与2.4375精确到
0.1的近似值都为2.4,所以此方程的近似解为
x12.4.
利用同样的方法,还可以求出方程的另一个近似解.
点评:①第一步确定零点所在的大致区间(a,b),可利用函数性质,也可借助计算机或计算器,但尽量取端点为整数的区间,尽量缩短区间长度,通常可确定一个长度为1的区间; ②建议列表样式如下:
零点所区间中点函区间长在区间 数值 度 [2,3] f(2.5)0 1 [2,2.5] f(2.25)0 [2.25,2.5] f(2.375)0 [2.375,2.5] f(2.4375)0 如此列表的优势:计算步数明确,区间长度小于精度时,即为计算的最后一步.
例2:利用计算器,求方程lgx3x的近似解(精确到). 分析:分别画函数ylgx和y3x 的图象,在两等.因此,这的解.由函数现,方程这个解在区间(2,3)内.
【解】设f(x)lgxx3,利用计算器计算得
个函数图象的交点处,函数值相个点的横坐标就是方程lgx3xylgx与y3x的图象可以发lgx3x有惟一解,记为x1,并且
f(2)0,f(3)0x1(2,3)f(2.5)0,f(3)0x1(2.5,3)f(2.5)0,f(2.75)0x1(2.5,2.75)f(2.5)0,f(2.625)0x1(2.5,2.625)f(2.5625)0,f(2.625)0x1(2.5625,2.625)
因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6,所以此方程的近似解为
x12.6.
思考:发现计算的结果约稳定在2.58717.这实际上是求方程近似解的另一种方法——迭代法.
除了二分法、迭代法,求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等.
例3:利用计算器,求方程2xx4的近似解(精确到). 【解】方程2xx4 可以化为2x4x. 分别画函数y2x
与y4x的图象,由图象可以知道,方程2xx4的解在区间(1,2)内,那么对于区间(1,2),利用二分法就可以求得它的近似解为x1.4. 追踪训练一
1. 设x0是方程lnxx4的解,则x0所在的区间为 ( B )
A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1)
2. 估算方程5x27x10的正根所在的区间是 ( B ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
3.计算器求得方程5x27x10的负根所在的区间是( A ) A.(1,0) B.2,1 C.2.5,2 D.3,2.5
4.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到0.1) (1)lg2xx1 (2)3xx4 答案: (1)0.8(2)x13.9,x21.6 一、含字母系数的二次函数问题
例4:二次函数f(x)px2qxr中实数p、q、r满足
pqr0,其中m0,求证: m2m1m(1)pf(m)0); m1(2)方程f(x)0在(0,1)内恒有解.
分析:本题的巧妙之处在于,第一小题提供了有益的依据:间(0,1) 内的数,且pf(m是区m1m)0,这就启发我们把区间(0,1) 划分为(0,m1mm)和(,1)来处理. m1m1【解】(1)
pf(mm2m)p[p()q()r] m1m1m1pm[pmqr]
(m1)2m1mm(m2)(m1)2pmp2] pm[]pm[(m1)2(m2)(m1)2m2p2m,
(m1)2(m2)由于f(x)是二次函数,故p0,又m0,所以,pf(⑵ 由题意,得f(0)r, f(1)pqr. ①当p0时,由(1)知f(若r0,则f(0)0,又f(所以f(x) 在(0,
m)0 m1m)0. m1m)0, m1m)内有解. m1若r0,则f(1)pqrp(m1)
(prprmm)r0,)0,又f(所以f(x)0在(,1)m2mm2mm1m1内有解.
②当p0时同理可证.
点评:(1)题目点明是“二次函数”,这就暗示着二次项系数p0.若
将题中的“二次”两个字去掉,所证结论相应更改.
(2)对字母p、r分类时先对哪个分类是有一定讲究的,本题的证明中,先对p分类,然后对r分类显然是比较好. 追踪训练二
1.若方程2ax2x10在(0,1)内恰有一则实数a的取值范围是 (B ) A.[,) B.(1,) C.(,1) D.[,1)
2.方程x22x2k10的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内,则k的取值范围是k1;
1218183.已知函数f(x)2mx4,在[2,1]上存在x0,使f(x0)0,则实数m的取值范围是____m1或m2_____________. 4.已知函数fxx3x ⑴试求函数yfx的零点;
⑵是否存在自然数n,使fn1000若存在,求出n,若不存在,请说明理由.
答案:(1)函数yf(x)的零点为x0; (2)计算得f(9)738,f(10)1010,
由函数的单调性,可知不存在自然数n,使fn1000成立.