维普资讯 http://www.cqvip.com ２００７￣ｉＥ８月 第２４卷第４期 ．．沈阳航空工业学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈｅｎｙａｎｇ ＩｎｓｔｉｔｕｔＣ ｏｆ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃａｌ Ｅｎｇｌｎｅｅｒｌｎｇ Ａｕｇ．２００７ Ｖｏ１．２４ Ｎｏ．４ 文章编号：１００７—１３８５（２００７）０４—００９５一ｏ２ 一个 阶微分方程的两点边值问题 刘 颖 （沈阳航空学院理学系，辽宁沈阳 １１００３４） 摘 要：有一些ｎ阶非线性微分方程的两点边值问题已被人们讨论过，大多是在微分方程的右端 函数有界、满足李普希兹条件或在相应边值问题存在上下解的情况下讨论的ｏ［３１，［４１在这篇文章 里，讨论了一个ｎ阶非线性微分方程的两点线性边值问题，是首先通过ｎ一２次累次积分将原方 程化成了一个二阶微积分方程边值问题，并用拓扑度理论讨论了解的存在性，同时给出了解的唯 一性条件。推广了文献［Ｉ］的结果。 文献标识码：Ａ 关键词：边值问题；拓扑度；存在唯一性 中国分类号：Ｏ１７５．８ 文献［１］用降阶法和拓扑度理论讨论了 ＝中（ｔ， ０， ｌ，…， 一２， 一１）∈，×［一 ， ］ ，而 ｆ（、ｔ。ｘ。ｘ 。 、） 满足 ｃ。，＝。，ａｏ．ｊｒ ｓｄ 而 。ｘ＇（０；：：： ：； ： ，…， ４／．（ｔ， ０， ｌ，…， 一２， 一１） ＞厂（ｔ， ０， ｌ， …， ， ），对任意 ０， ， 一一， ， ， 等边值问题解的存在性，在这篇文章里用类似的 方法讨论了 Ｙ‘ ＝ ｔ， ， ０， ｌ，…３∈Ｒ。 ‘ ’） （１） 其中，＝［０，１］． 则有边值问题（１），（２）有唯一解 （ｔ）满足 Ｉ ‘ ’（ｔ）Ｉ≤Ｍ， ＝０，１，…，ｎ一２，Ｉ 满足 “’（０）＝０，ｉ＝０，１，…，ｎ一３， ‘ ’（ｔ）Ｉ Ｎ，ｔ∈，，其中Ｎ＝ｍａｘ［Ｎ０，２Ｍ］，且 、。 ｆ【ａｏ ：：一 ０ —６。 一：： ０ ０ ‘ 一 ’（１）＋ｂｌ ‘ 一”（１）：０ ａｌ ２ Ｎｏ满足 设 ＝２ 十一 的边值问题解存在性，并同时给出了解唯一的充 分条件，ａ‘，ｂ‘ ０，ａ ＋ｂ ＞０（ ＝０，１）。 ２ 主要结果证明 ｙ（ｔ）＝ ‘ ’（ｔ），因 ‘ ’（０）＝０，则 ‘‘’（ｔ） １ 主要结果 定理１ 设 ＝ … Ｙ（￡）ｄ ・ｄ￡，即将ｙ（￡）从０到￡积分ｎ一 （１）／．（ｔ， ０， ｌ，…， 一２， 一１）关于 （ｉ＝０， １，…，ｎ一３）不增，对任意的ｔ， ０，…，扎ｌ， …， 一２次，简记为 “’（￡）＝（１ ｎ＿，－２ｙ（ｔ）ｄｔ， ＝０， ， 一ｌ∈Ｒ １，…，ｒｔ一３．原边界条件化为 （２）存在一个常数Ｍ＞０，使得当Ｉ Ｉ＞Ｍ 日寸， ｔ， ， ，…， ，０）＞０，ｔ∈， （３）ｆ（ｔ， ０， 一， 一２， ）满足Ｎａｇｕｍｏ条 …（￡）＝厂（￡，（１）Ｊ ０ 一 Ｙ（￡）ｄｔ，（１）Ｊ 一’Ｙ（￡）ｄｔ， ０ ，ｌ Ｙ（ｔ）ｄｔ，Ｙ（￡），Ｙ （￡）） （３） 件，即存在一个正值函数ｈ（ｓ），在０≤ｓ＜ａ。，使 得Ｉ ｔ， ０， 一， ， ）Ｉ≤ｈ（Ｉ Ｉ），其 原边界条件化为 ａ０ｙ（０）一ｂ０Ｙ （０）＝０，ａｌＹ（１）＋ｂｌＹ （１）＝ 收稿日期：２００７—０４一ｌ８ ０ （４） 作者简介：刘颖（１９６６～）。女，辽宁昌图人，副教授 下面证明 若 Ｙ（ｔ）是边值问题（３）一（４）的解，则 维普资讯 http://www.cqvip.com 沈阳航空工业学院学报 第２４卷 Ｉ Ｙ（ｔ）Ｉ≤Ｍ，ｔ∈１ Ｉ Ｙ （ｔ）Ｉ≤Ｎ，ｔ∈１ （５） （６） 一ｙ（Ｏ）＞Ｍ，Ｙ（１）＞ｙ（ｏ）＋ ，由口。ｙ（ｏ）一 ｂ。Ｙ （０）＝０，因Ｙ （０）＞Ｍ，所以口。ｙ（ｏ）＝ 反证法，假设结论不真，设在，上ｍａｘ Ｉ Ｙ（ｔ） Ｉ＞Ｍ，不妨设Ｙ（ ）在点ｔ。∈１有一个正的最大 ｂ。Ｙ （０） ０，所以Ｙ（１）＞Ｍ，与Ｉ Ｙ（ｔ）Ｊ＜Ｍ矛 盾，若Ｙ （ｔ）＜一Ｍ，类似可证）．不妨设ｔ。＞ｔ。， 由介值定理，存在 ， （ｔ。 ＜ ｔ。）使得Ｉ 值．且Ｙ（ｔ。）＞Ｍ，那么ｔ。∈（０，１）．如果不是这 样，如果ｔ。＝０，由（４）式中的第一个条件ｂ。Ｙ （０） ＝口。ｙ（ｏ） ０，如果Ｙ （０）＞０，与Ｙ（ｔ）在ｔ。＝０ Ｙ （ ）ｌ＝Ｍ，Ｉ Ｙ （ ）ｌ＝Ｎ，且当 ＜ｔ＜ 时 Ｍ＜Ｊ Ｙ （ｔ）Ｊ＜Ｎ，不妨设Ｍ＜Ｙ （ｔ）＜Ｎ由Ⅳ 取正最大值矛盾．如果Ｙ （０）＝０，那么 ｙ（Ｏ）・ （０）＝ｙ（ｏ）・，（０，０，…，０，ｙ（Ｏ），０） ｙ（ｏ）・，（０，ｙ（Ｏ），…，ｙ（Ｏ），ｙ（Ｏ），０）＞０因此 （０）＞０，与 （０） ０矛盾．所以ｙ（Ｏ）不是正最 大值． 同样，若ｔ。＝ｌ，而由（４）式中的第二个条件， ６。Ｙ （１）＝一口。Ｙ（１）ｓ ０，女日果Ｙ （１）＜０，与Ｙ（ｔ） 在ｔ。＝０取正最大值矛盾．如果Ｙ （１）＝０，由 ｒ１ Ｉ Ｙ（ｔ）ｄｔ＝Ｙ（ ）・ｔ ｓ Ｙ（１），其中ｔ∈１， ∈１， Ｊ Ｕ Ｉ 由此逐次可推得（Ｉ） － Ｙ（ ）ｄｔ≤Ｙ（１）（￡＝０， Ｊ Ｕ ｌ，…， 一３），男 么 ｔ＊ｌ Ｙ（１）・ （１）＝Ｙ（１）・厂（１，（Ｉ） Ｙ（ ）ｄｔ， Ｊ ０ ｔ＊ｌ ｌ （Ｉ）ｕ ｙ（ｔ）ｄｔ，…，｝ｙ（ｔＪ ０ ）ｄｔ，ｙ（１），Ｙ （１））≥ Ｙ（１）・，（１，Ｙ（１），…，Ｙ（１），Ｙ（１），０）＞０ 因此 （１）＞０，与 （１）≤０矛盾．所以Ｙ（１） 不是正最大值． 因此ｔ。∈（０，１），且Ｙ （ｔ。）＝０， （ｔ。）≤０， ，Ｉ 而由Ｉ Ｙ（ ）ｄｔ＝Ｙ（ ）・ Ｙ（ ），其中 ∈１， Ｊ Ｕ ｔ ∈１，由此逐次可推得（１） Ｙ（１）ｄｔ Ｙ（ ）（ Ｊ ０ ＝０，１，…， 一３）， Ｉ ），（ 。）・ （ 。）＝Ｙ（ 。）・厂（ 。，（１） Ｙ（ ）ｄｔ， Ｊ ０ Ｉ Ｉ （１）Ｊ ０ ’ｙ（ｔ）ｄｔ，…，ｌＪ ０ ｙ（ｔ）ｄｔ，ｙ（ Ｉ），ｙ （ １）） ，，（ｔＩ）・ （ｔＩ，Ｙ（ｔ。），…，Ｙ（ｔ ），Ｙ（ｔ。），０）＞０ （ｔ。）＞０，与 （ｔ。） ０矛盾．所以），（ｔ）≤ ．同理可证Ｙ（ｔ） 一Ｍ． 下面证明（６）式成立：反证法，假设（６）式不 成立，即存在ｔ。∈１，使得Ｉ ｙ （ｔ。）ｌ＞Ｎ，则由（５） 式，存在ｆ。∈１，使得ｌ Ｙ （ｔ。）ｌ ｓ Ｍ．（因为，否则 假设对所有的 ｔ∈１都有Ｙ （ｔ）＞Ｍ或Ｙ （ｔ）＜一 ｅｌ ｒｌ ，若，， （ｔ）＞ ，Ｉ，， （ ）ｄｔ＞｝ｇｄｔ＝Ｍ，Ｙ（１） 的定义有 ｊ ｈ ｙ（ （）） ｔ 一ｊ＝ ｈ （５） ＞２ ’ 另一方面由假设（３） Ｉ』ｉｙ＂㈩… ㈣一 ），（ ）ｌ＜２Ｍ， 矛盾． 证明最后一步，考虑边值问题 （ ） ＝ （ ， （１） Ｙ（ｔ）ｄｔ， （｝）Ｊ ０ 一 ｙ（ｔ）ｄｔ，…，｝ｙ（ｔＪ ０ ）ｄｔ，ｙ（ ），Ｙ （ ）） （７） 口。ｙ（ｏ）一ｂ。Ｙ （０）＝０，口。Ｙ（１）一ｂ。Ｙ （１）＝ ０，其中０≤ １ （８） 如果（７）（８）式有解 （ｔ），则Ｊ （ｔ）ｌ Ｍ，ｌ （ｔ）ｌ Ｎ，记 ｎ＝｛Ｙ（ｔ）∈Ｇ ［，］，Ｉ Ｙ（ｔ）ｌ＜Ｍ＋１，Ｉ Ｙ （ｔ）Ｊ＜Ｎ＋１，ｔ∈，｝ 定义映射 ：西一Ｇ‘（，） （Ｙ（ ））＝ ｝Ｇ（ ，５）厂（５，（Ｉ） Ｙ（ ）ｄｔ， …，ｌ Ｙ（ｔ）ｄｔ，Ｙ（５），Ｙ （５））ｄｓ 这罩 Ｇ（ｔ，Ｓ）＝ ｔ＋ｂ０）［口ｌ ｓ一１）一ｂＩ 。Ｉ ｂ０＋。。 ，０ ｔ Ｓ≤１ ｌ＋口０口Ｉ ｓ＋ｂ０）［口Ｉ ｔ一１）一ｂ。 。Ｉ ｂ０＋。０ ，０ Ｓ ｔ １ １＋口０口１ 是 ＝０，口０ｙ（ｏ）一ｂ。Ｙ （０）＝０，口。Ｙ（１）＋ ｂ．Ｙ （１）：０的格林函数，则 是全连续算子且０ （ｉｄ一 ）ａ ），所以有 ｄｅｇ（ｉｄ一 ， ，０）＝ｄｅｇ（ｉｄ—ＴＩ， ，０）＝ ｄｅｇ（ｉｄ，ｎ， ）＝１ 因此边值问题（３）（４）有解Ｙ（ｔ）满足（５），（６）式 （下转第７４页） 维普资讯 http://www.cqvip.com
７４ 沈阳航空工业学院学报 第２４卷 Ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ Ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｅｒｒｏｒ Ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｇａｓ Ｎｅｔｗｏｒｋ Ｂａｓｅｄ ｏｎ ＡｒｃＧＩＳ ＬＩＵ Ｃｈｅｎｇ ＷＡＮＧ Ｑｉｎｇ （１．Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｐｒａｃｔｉｃｅ Ｃｅｎｔｅｒ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｓｈｅｎｙａｎｇ １ １００３４；２． Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｒｅｓｏｕｒｃｅｓ ａｎｄ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｓｈｅｎｙａｎｇ １ １０００４） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｍｏｄｕｌｅ ｃａｎ ｒｅａｄｓ ａｎｄ ｗｒｉｔｅｓ ｃｉｔｙ ｇａｓ ｎｅｔｗｏｒｋ ｏｆ ｐｅｒｓｏｎａｌ ＡＯ ｄａｔａｂａｓｅ ｗｉｔｈ ｓｐｅｃｉａｌ ｅｎ￣ｎｅ，ａｎｄ ｃａｒ－ ｒｉｅｓ ｏｕｔ Ｅｒｒｏｒ Ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｇｏｏｄ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ．Ｗｉｔｈ ｎｏ ｌｉｍｉｔａｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｓｃａｌｅ ａｎｄ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｇａｓ ｎｅｔｗｏｒｋ，ｔｈｉｓ ｍｏｄｕｌｅ ｉｓ ｒｅｌｅａｓｅｄ ｉｎ ａ ｗａｙ ｏｆ ＤＬＬ，ａｎｄ ｃａｎ ｂｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ ｉｎｔｏ ＡＯ ｂａｓｅｄ ＧＩＳ ｐｌａｔｆｏｒｍ ｓｅａｍｌｅｓｓｌｙ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｇａｓ ｎｅｔｗｏｒｋ；Ｅｒｒｏｒ Ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎ；ＡｒｃＧＩＳ Ｏｂｊｅｃｔ；ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ （上接第９６页） 矛盾。 唯一性：假设（３）（４）有两个不同解，，。（ｔ）、 Ｙ：（ｔ），则至少存在一点ｔｏ∈，使得Ｙ （ｔｏ）≠ Ｙ：（ｔｏ），不妨设Ｙ。（ｔ。）＞Ｙ：（ｔ。），设Ｙ（ｔ）＝Ｙ。（ｔ） 一参考文献： ［１］Ｌ；ｕ Ｗｅｎｂｉｎ．Ａ Ｃｌａｓｓ ｏｆ ＶａｌＵｅ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｆｏｒ Ｔｈｉｒｄ—Ｏｒｄｅｒ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｙ：（ｔ），ｔ 是Ｙ（ｔ）的最大值点，则Ｙ（ｔ ）＞０，ｔ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｒｅｓｅａｒｃｈ＆Ｅｘｐｏｓｉ． ｔｉｏｎ，１９９６．１６（２）：１８５—１８９ ∈（０，１）（因为ｔ。＝０和ｔ。＝１都与边界条件矛 ［２］郭大钧．非线性泛函分析［Ｍ］．济南：山东科学技术出版社， １９８５ 盾），Ｙ （ｔ。）＝０， （ｔ ）≤０另一方面，由条件（４） （ｔ。）＝ｆ（ｔ ， （ Ｙ 。（ｔ。））一 Ｙ ２（ｔ１））＞０ ｔ。， （ ＹＩ ｔＩ）ｄｔ，…，ＹＩ（ｔ）， Ｙ２ ｔ）ｄｔ，…，Ｙ２（ｔ１），［３］刘颖．ｎ阶微分方程三点边值问题［Ｊ］．应用数学与计算数学 学报，２００１．１５（１）：２９—３６ ［４］刘颖．几类ｎ阶常微分方程三、四点边值问题［Ｊ】．数学研究与 评论，２００３．２３（３）：４８１—４８７ Ｔｗｏ——ｐｏｉｎｔ Ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｆｏｒ ｎ——ｏｒｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ＬＩＵ Ｙｉｎｇ （Ｓｈｅｎｙａｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｓｈｅｎｙａｎｇ １ １００３４） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｏｍｅ ｔｗｏ ｐｏｉｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｆｏｒ ｎ—ｏｒｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｅｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｍｏｓｔ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｅｒｅ ｂａｓｅｄ ｉｎ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｏｆ ｆｉｇｈｔ ｓｉｄｅ ｌａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｉｆｅｒ ｅｎｔｉｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａａｎｄ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ Ｌｉｐｓ— ｃｈｉｔｚ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｒ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｓｕｐｐｅｒ ａｎｄ ｌｏｗｅｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａ— ｐｅｒ ｗｅ ｓｔｕｄｙ ｔｗｏ ｐｏｉｎｔ ｌｉｎｅａｒ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ ｎ—ｏｒｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｈｏｓｅ ｒｉｇｈｔ ｓｉｄｅ ｌａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ａｎｏｔｈｅｒ ｃｌｓｓ ｏｆ ｃｏｎｄｉａｔｉｏｎｓ．Ｗｅ ｆｉｒｓｔ ｏｂｔａｉｎ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ ２——ｏｒｄｅｒ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｉｆｅｒ． ｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ（ｎ一２）ｔｉｍｅｓ ｒｅｐｅａｔｅｄ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｆｕｒｔｈｅｒ ｗｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔ． ｅｎｃｅ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ｄｅｇｒｅｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｏｕｒ ｒｅｓｕｌｔｓ ｅｘｔｅｎｄ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｅｓｕｌｒｔｓ ｉｎ Ｄｏｃｕｍｅｎｔ［１］． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｏｕｎｄａｒｂｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ；ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ｄｅｇｒｅｅ；ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ
