用二分法求方程的近似解
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.如图,函数的图象与x轴均有交点,其中不宜用二分法求交点的横坐标的是
( )
A.① B.①③ C.②③ D.①④
【解析】选D.图①④中零点左侧与右侧的函数值符号相同,不宜用二分法求零点,当然也不宜用二分法求交点的横坐标.
2.(2014·松原高一检测)用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时,初始区间可选为
( )
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 【解析】选C.因为f(-1)=2-1-3=-<0,
f(0)=20-3=-2<0,f(1)=2-3=-1<0,f(2)=22-3=1>0,f(3)=23-3=5>0, 所以f(1)·f(2)<0,
所以f(x)=2x-3的零点x0∈(1,2).
【变式训练】用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取初始区间是( ) A.[-2,-1] B.[-1,0] C.[0,1] D.[1,2]
【解析】选A.因为f(-2)=(-2)3+5=-3<0,f(-1)=(-1)3+5=4>0, f(0)=03+5=5>0,f(1)=13+5=6>0,f(2)=23+5=13>0,
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所以f(-2)·f(-1)<0, 所以初始区间可选为[-2,-1].
3.在用二分法求函数f(x)的零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是( ) A.[1,4] B.[-2,1] C.[-2,] D.[-,1]
【解析】选D.因为第一次所取的区间是[-2,4],所以第二次所取的区间可能是[-2,1],[1,4],所以第三次所取的区间可能是[-2,-],[-,1],[1,],[,4].故选D.
4.在用二分法求函数f(x)在区间(a,b)上的唯一零点x0的过程中,取区间(a,b)的中点c=
,若f(c)=0,则函数f(x)在区间(a,b)上的唯一零点x0( )
A.在区间(a,c)内 B.在区间(c,b)内 C.在区间(a,c)或(c,b)内 D.等于
【解析】选D.根据二分法求方程近似解的方法和步骤,函数f(x)在区间(a,b)上的唯一零点等于
,即x0=
.
5.(2014·桂林高一检测)下列函数中,不适合用二分法求零点的是( ) A.f(x)=2x+3 B.f(x)=lnx+2x-9 C.f(x)=x4-2x3+x2 D.f(x)=2x-3
【解析】选C.因为f(x)=x4-2x3+x2=x2(x-1)2,所以函数f(x)的图象与x轴有两个公共点(0,0)和(1,0),除此两点外,其图象完全在x轴上方,所以函数
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f(x)=x4-2x3+x2不适合用二分法求零点,A,B,D均适合用二分法求零点. 6.函数y=
与函数y=lgx的图象的交点的横坐标(精确度0.1)约是( )
A.1.7125 B.1.8025 C.1.8125 D.1.8775 【解析】选C.设f(x)=lgx-,
经计算f(1)=-<0,f(2)=lg2->0, 所以方程lgx-=0在[1,2]内有解,设为x=x0.
取区间(1,2)的中点x1=1.5, 用计算器算得f(1.5)≈-0.1775, 因为f(1.5)f(2)<0,所以x0∈(1.5,2). 取区间(1.5,2)的中点x2=1.75, 用计算器算得f(1.75)≈-0.0543, 因为f(1.75)f(2)<0,所以x0∈(1.75,2). 取区间(1.75,2)的中点x3=1.875, 用计算器算得f(1.875)≈0.0004, 因为f(1.75)f(1.875)<0, 所以x0∈(1.75,1.875).
取区间(1.75,1.875)的中点x4=1.8125, 用计算器算得f(1.8125)≈-0.02, 因为f(1.8125)f(1.875)<0, 所以x0∈(1.8125,1.875). 由于|1.875-1.8125|=0.0625<0.1, 所以函数f(x)=lgx-的零点即y=
与y=lgx图象交点的横坐标的近似值可
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取1.8125.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0, f(0.75)>0,f(0.6875)<0,即可得出方程的一个近似解为 (精确度为0.1). 【解析】因为|0.75-0.6875|=0.0625<0.1, 所以原方程的近似解可取为0.75. 答案:0.75(答案不唯一)
8.(2014·南京高一检测)在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为 . 【解析】设f(x)=x3-2x-1,其零点为x0, 则f(1)=13-2×1-1=-2<0, f(2)=23-2×2-1=3>0. 取区间(1,2)的中点x1=1.5,
计算f(1.5)=1.53-2×1.5-1=-0.625<0, 因为f(1.5)f(2)<0, 所以x0∈(1.5,2).
答案:(1.5,2)(说明:写成闭区间也算对)
【变式训练】用二分法求方程lnx=在[1,2]上的近似解,取中点c=1.5,则下一个有根区间为 . 【解析】令f(x)=lnx-.
f(1)=-1<0,f(2)=ln2-=ln>ln1=0, f(1.5)=ln1.5-=(ln1.53-2)
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因为1.53=3.375,e2>4>1.53,
故f(1.5)=(ln1.53-2)<(lne2-2)=0,
f(1.5)f(2)<0,所以下一个有根区间是(1.5,2). 答案:(1.5,2)
9.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下表:
f(1)=-2 f(1.375) ≈-0.260 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984 f(1.437 5) ≈0.162 f(1.406 25) ≈-0.054 那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似的正数根(精确度0.1)为 . 【解析】由于精确度是0.1, 而|1.4375-1.375|=0.0625<0.1,
故可得方程x3+x2-2x-2=b的一个近似的正数根为1.4375. 答案:1.4375(答案不唯一)
【拓展延伸】用二分法求函数零点应注意的两个问题
(1)求函数的近似零点时,所要求的精确度不同,得到的结果也不相同. (2)求函数零点的近似值时,由于所选取的起始区间不同,最后得到的结果可以不同,但它们都是符合所给定的精确度的. 三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2014·石家庄高一检测)判断函数y=x3-x-1在区间[1,1.5]内有无零点,如果有,求出一个近似零点.(精确度0.1)
【解题指南】由题目可获取以下主要信息:①判断函数在区间[1,1.5]内有无零点,可用根的存在性定理判断;②精确度0.1.解答本题在判断出在[1,1.5]内有
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零点后可用二分法求解.
【解析】因为f(1)=-1<0,f(1.5)=0.875>0,且函数y=x3-x-1的图象是连续的曲线,所以它在区间[1,1.5]内有零点,用二分法逐次计算,列表如下:
区间 (1,1.5) (1.25,1.5) (1.25,1.375) 中点值 1.25 1.375 1.312 5 中点函数近似值 -0.3 0.22 -0.05 0.08 (1.312 5,1.375) 1.343 75 由于|1.375-1.3125|=0.0625<0.1, 所以函数的一个近似零点为1.3125.
【变式训练】求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个正数零点.(精确度0.1) 【解析】由于f(1)=-6<0,f(2)=4>0,可取区间(1,2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下:
区间 (1,2) (1.5,2) (1.5,1.75) (1.625,1.75) 中点值 1.5 1.75 1.625 1.687 5 中点函数近似值 -2.625 0.234 4 -1.302 7 -0.561 8 -0.170 7 (1.687 5,1.75) 1.718 75 由于|1.75-1.6875|=0.0625<0.1, 所以可将1.6875作为函数零点的近似值.
所以函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个正数零点为1.6875.
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(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.下列的函数中,有零点但不宜用二分法求零点近似值的是( ) ①y=3x2-2x-5;②y=
③y=+1;④y=x2-2x+3;⑤y=x2+4x+8.
A.①③ B.②⑤ C.③⑤ D.⑤ 【解析】选D.要用二分法求零点的近似值必须满足以下两点:
(1)函数在区间(a,b)上连续无间断点;(2)函数图象必须在零点穿过x轴,即该零点不能是二重零点.⑤有二重零点,故⑤符合题意.
2.(2014·宁德高一检测)设函数f(x)=4x3+x-8,用二分法求方程4x3+x-8=0的近似解,则方程的解落在下列哪个区间上( ) A.(1,1.5) B.(1.5,2) C.(2,2.5) D.(2.5,3)
【解析】选A.因为f(x)=4x3+x-8的图象在[1,3]上连续不断,且f(1)·f(3)<0,所以函数f(x)的零点x0∈(1,3),因为f(2)=4×23+2-8=26>0,所以f(1)f(2)<0,故x0∈(1,2),因为f(1.5)=4×1.53+1.5-8>0,所以f(1)f(1.5)<0,故x0∈(1,1.5).
3.若函数f(x)在[a,b]上图象连续不断,且同时满足f(a)f(b)<0,f(a)f则( ) A.f(x)在B.f(x)在C.f(x)在
上有零点 上有零点 上无零点
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>0,
D.f(x)在上无零点
>0,
【解析】选B.因为f(a)f(b)<0,f(a)f所以f(b)f又f(x)在所以f(x)在
<0,
上图象连续不断, 上有零点.
4.(2014·南阳高一检测)已知f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)内有唯一零点x0,用二分法求得一系列含零点x0的区间,这些区间满足:(a,b) (a1,b1)
(a2,b2)
„
(ak,bk),若f(a)<0,f(b)>0,则f(bk)的符号为( )
A.正 B.负
C.非负 D.正、负、零均有可能
【解题指南】所有区间左端点函数值f(a1),f(a2),…,f(ak)与f(a)同号,右端点函数值f(b1),f(b2),…,f(bk)与f(b)同号.
【解析】选A.由二分法求函数零点近似值的方法可知f(ak)与f(a)同号,f(bk)与f(b)同号,故f(bk)>0.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2014·武汉高一检测)用二分法求方程lnx-2+x=0在区间[1,2]上零点的近似值,先取区间中点c=,则下一个含根的区间是 . 【解析】设f(x)=lnx-2+x,其零点为x0, 则f(1)=ln1-2+1=-1<0, f(2)=ln2-2+2=ln2>0, 所以f(1)f(2)<0,x0∈(1,2). 取区间(1,2)的中点x1=,
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计算f因为
=ln-2+=ln-, =ln-<0,所以lnf(2)<0,所以下一个含根区间是答案:
.
【举一反三】本题中方程改为“lnx+2-x=0”,试确定此方程的解在下列哪个区间之内. (1)
. (2)
.(3)(1,2).
(4)(2,3). (5)(3,4).
【解析】方程lnx+2-x=0可变为lnx=x-2, 画出函数y=lnx与y=x-2的图象. 设f(x)=lnx+2-x, 则f
=ln+2-=ln+.
因为>e>2,
所以ln>ln2,ln-ln2>0, 即+ln>0,f(1)=ln1+2-1=1>0, 结合图象知
内有一个原方程的解.
f(2)=ln2+2-2=ln2>0, f(3)=ln3+2-3=ln3-1>0, f(4)=ln4+2-4=ln4-2<0,
结合图象知(3,4)内有一个原方程的解.
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综上可知,方程lnx+2-x=0在区间和(3,4)上有解.
6.(2014·福州高一检测)已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点.(精确度为0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数一般为 次.
【解析】区间长度为0.1,等分1次区间长度变为0.05,等分2次,区间长度变为0.025,等分3次,区间长度变为0.0125,等分4次,区间长度变为0.00625<0.01,符合条件. 答案:4
三、解答题(每小题12分,共24分) 7.已知函数f(x)=lnx+2x-6. (1)证明:f(x)有且仅有一个零点.
(2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于. 【解析】(1)因为函数y=lnx,y=2x-6在(0,+∞)上都是增函数, 所以f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数, 所以f(x)至多有一个零点, 由f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,
所以f(2)·f(3)<0,所以f(x)在(2,3)内至少有一个零点,所以f(x)有且仅有一个零点.
(2)因为f(2)<0,f(3)>0,取x1=f
=ln+5-6=ln-1<0,
<0,
.取x2=
=,
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=,
所以f(3)·f
所以f(x)的零点x0∈
f=ln+2×-6=ln->0,
·f
<0,所以x0∈
.
所以f
因为-=≤, 所以满足题意的区间为
.
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