江苏省常州市金坛区2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷 (有解析)

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分） 1. 下列说法正确的是( )

A. 全等的两个图形可以由其中一个经过轴对称变换得到 B. 轴对称变换得到的图形与原图形全等

C. 轴对称变换得到的图形可以由原图形经过一次平移得到

D. 轴对称变换中的两个图形，每一对点所连线段都被这两个图形之间的直线垂直平分

2. 如图，点P是∠𝐴𝑂𝐵的角平分线OC上一点，𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，垂足为点D，

𝑃𝐷=2，M为OP的中点，则点M到射线OB的距离为( )

1

A. 2

B. 1 C. √2 D. 2

3. 如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，∠𝐵=20°，∠𝐸=110°，则∠𝐸𝐴𝐷的度数为( )

A. 80°

的度数是( )

B. 70° C. 50° D. 130°

∠𝐵𝐴𝐶=120°.若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，4. 如图，则∠𝑃𝐴𝑄

A. 30°

60°

B. 40° C. 50° D.

5. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，BD是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，若∠𝐴𝐵𝐷=32°，

则∠𝐴等于( )．

A. 32° B. 52° C. ° D. 72°

6. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，D是BC边的中点，点E与点D关于AB对称，连接AE、BE，分

别延长AE、CB交于点F，若∠𝐹=48°，则∠𝐶的度数是( )

A. 21°

则CD的长等于( )

B. 52° C. 69° D. 74°

△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于D，𝐷𝐸=5，7. 如图，且E是AC的中点．若𝐴𝐷=6，

A. 5

B. 6 D. 8

C. 7

8. 如图，∠𝐴𝑂𝐵=30°，OC为∠𝐴𝑂𝐵内部一条射线，点P为射线

OC上一点，N分别为OA、OB边上动点，𝑂𝑃=4，点M、则△𝑀𝑁𝑃周长的最小值为

A. 2 B. 4 C. 2√3 D. 4√3

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

9. 若等腰三角形的一个内角为100°，则它的底角为______．

10. 已知△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，它的周长为20cm，一条边长6cm，那么腰长是_____． 11. 如图，等腰△𝐴𝐵𝐶的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB

的长为______．

12. 如果三角形的三边分别为√2，√6，2，那么这个三角形的最大角的度数

为______．

BO平分∠𝐶𝐵𝐴，CO平分∠𝐴𝐶𝐵，△𝐴𝑀𝑁13. 如图，且𝑀𝑁//𝐵𝐶，若𝐴𝐵=12，

的周长为29，则AC的长是______．

F、C、D在同一直线上，𝐴𝐹=𝐷𝐶，𝐵𝐶//𝐸𝐹，14. 如图，点A、要判定△𝐴𝐵𝐶≌△

𝐷𝐸𝐹，还需要添加一个条件，你添加的条件是___________．

15. 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶=3，延长BA至点D，使𝐴𝐷=𝐴𝐵，连接CD，以CD为

直角边作等腰直角△𝐶𝐷𝐸，使∠𝐷𝐶𝐸=90°，连接AE，则AE长为______． AE为∠𝐵𝐴𝐶的平分线，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于D，16. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，且∠𝐷𝐴𝐸=15°，

∠𝐵=35°，则∠𝐶=_____°．

17. 如图，已知𝐶𝐷=6𝑚，𝐴𝐷=8𝑚，∠𝐴𝐷𝐶=90°，𝐵𝐶=24𝑚，𝐴𝐵=26𝑚.图中阴影部分的面积

=______．

18. 如图，△𝐴𝐵𝐶内有一点D，且𝐷𝐴=𝐷𝐵=𝐷𝐶.若∠𝐷𝐴𝐵=20°，∠𝐷𝐴𝐶=30°，

则∠𝐵𝐷𝐶=_________．

三、解答题（本大题共7小题，共.0分）

19. 用直尺和圆规按下列要求作图：(不写作法，保留作图痕迹)

(1)作出△𝐴𝐵𝐶关于直线l对称的△𝐷𝐸𝐹；

(2)如图(2)：在3×3网格中，已知线段AB、CD，以格点为端点再画1条线段，使它与AB、CD组成轴对称图形．(画出所有可能情况)

F在AB上，𝐴𝐶=𝐵𝐷，𝐴𝐶//𝐵𝐷.求证：∠𝐶=∠𝐷．20. 如图，点E、且𝐴𝐹=𝐵𝐸，

21. 在直角三角形ABC中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐶𝐹=𝐶𝐵，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得

到CE，连接EF。

(1)求证：△𝐵𝐶𝐷≌△𝐹𝐶𝐸

(2)若∠𝐷𝐶𝐹=∠𝐸𝐹𝐶，求∠𝐵𝐷𝐶的度数

C分别落在点𝐷′、将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D、22. 如图，

𝐶′处，若∠1=56°，求∠𝐷𝐸𝐹的度数．

23. 如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=90°，𝐴𝐵=𝐵𝐶，𝐵𝐷=𝐶𝐸，M是AC边

的中点，

求证：△𝐷𝐸𝑀是等腰三角形．

24. 等腰三角形ABC中，𝐴𝐶=𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵=𝛼.𝑃为边BC上一点，连接AP．

(1)如图一，在线段AP上取一点D，连接CD，将线段CD以点C为中心逆时针旋转𝛼，与射线AP交于点E： ①求证𝐴𝐷=𝐵𝐸

②若𝛼=70°，求∠𝐵𝐸𝐴的度数；

(2)如图二，若𝛼=120°，过点C作𝐶𝑀⊥𝐴𝑃于M，且∠𝐷𝐶𝑀=60°.在AP延长线上取一点N，连接BN，满足𝐴𝐷+2𝐷𝑀=√3𝐶𝐷+

2√3𝐵𝑁，求证𝐵𝑁//𝐶𝑀． 3

25. 如图，D为等腰三角形ABC的边AB的中点，𝐵𝐶=12．

(1)用尺规作图找出AC的中点E；(保留作图痕迹) (2)连接DE，求DE的长．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：B

解析：

此题主要考查轴对称的图形的性质.根据轴对称的图形的性质逐项判断即可． 解：𝐴.成轴对称的两个图形全等，但是全等的两个图形不一定成轴对称，故A错误； B. 轴对称变换得到的图形与原图形全等，故B正确；

C. 轴对称变换得到的图形不能够由原图形经过一次平移得到，故C错误；

D. 轴对称变换中的两个图形，每一对对应点所连线段都被对称轴垂直平分，故D错误。 故选B．

2.答案：B

解析：解：作𝑃𝐸⊥𝑂𝐵于E，𝑀𝑁⊥𝑂𝐵于N， ∵𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵，𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，𝑃𝐸⊥𝑂𝐵， ∴𝑃𝐸=𝑃𝐷=2， ∵𝑃𝐸⊥𝑂𝐵，𝑀𝑁⊥𝑂𝐵， ∴𝑃𝐸//𝑀𝑁，又M为OP的中点，

∴𝑀𝑁=𝑃𝐸=1，即点M到射线OB的距离为1，

2故选：B．

作𝑃𝐸⊥𝑂𝐵于E，𝑀𝑁⊥𝑂𝐵于N，根据角平分线的性质求出PE，根据三角形中位线定理计算即可． 本题考查的是角平分线的性质、三角形中位线定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

1

3.答案：C

解析：解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，∠𝐵=20°，∠𝐸=110°， ∴∠𝐷=∠𝐵=20°，

∴∠𝐸𝐴𝐷=180°−20°−110°=50°． 故选C．

直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案．

此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角是解题关键．

4.答案：D

解析：

𝑄𝐴=𝑄𝐶，根据三角形的内角和定理可得∠𝐵+∠𝐶=60°，根据垂直平分线的性质定理得到𝑃𝐴=𝑃𝐵，进一步可得∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐵，∠𝑄𝐴𝐶=∠𝐶， ∠𝐵𝐴𝑃+∠𝐶𝐴𝑄=60°，即可解答． 解：∵∠𝐵𝐴𝐶=120°， ∴∠𝐵+∠𝐶=60°，

又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线， ∴𝑃𝐴=𝑃𝐵，𝑄𝐴=𝑄𝐶， ∴∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐵，∠𝑄𝐴𝐶=∠𝐶， ∴∠𝐵𝐴𝑃+∠𝐶𝐴𝑄=60°，

∴∠𝑃𝐴𝑄=∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐵𝐴𝑃−∠𝐶𝐴𝑄=120°−60°=60°． 故选D．

5.答案：B

解析：

本题主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形的内角和等知识点，正确掌握各知识点是解题关键；首先根据角平分线的定义求出∠𝐴𝐵𝐶的度数，再根据等腰三角形的性质求出∠𝐶的度数，最后根据三角形内角和定理求出∠𝐴的度数． 解：∵𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线

∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷 ∵∠𝐴𝐵𝐷=32°

∴∠𝐴𝐵𝐶=2∠𝐴𝐵𝐷=2×32°=° ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶

∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶，

∴∠𝐶=°

∴∠𝐴=180°−∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐶=180°−2×°=52°； 故选B．

6.答案：C

解析：解：∵△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，D是BC边的中点， ∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷(𝑆𝑆𝑆)．

∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐷，∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐶． 又∵∠𝐴𝐷𝐵+∠𝐴𝐷𝐶=180°． ∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐶=90°． 又∵点E与点D关于AB对称， ∴∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐴𝐷𝐵=90°，

∴∠𝐹𝐸𝐵=180°−∠𝐴𝐸𝐵=90°． ∵∠𝐹=48°，

∴∠𝐹𝐵𝐸=90°−∠𝐹=90°−48°=42°． ∴∠𝐸𝐵𝐷=180°−∠𝐸𝐵𝐹=180°−42°=138°． ∴∠𝐶=∠𝐴𝐵𝐷=2∠𝐸𝐵𝐷=69°． 故选C．

根据轴对称的性质解答即可．

此题考查轴对称的性质，关键是根据轴对称的性质得出对应角相等..

1

7.答案：D

解析：

本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．先根据直角三角形的性质求出AC的长，再根据勾股定理即可得出结论． 解：∵△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于D， ∴∠𝐴𝐷𝐶=90°．

∵𝐸是AC的中点，𝐷𝐸=5， ∴𝐴𝐶=2𝐷𝐸=10． ∵𝐴𝐷=6，

∴𝐶𝐷=√𝐴𝐶2−𝐴𝐷2=√102−62=8． 故选D．

8.答案：B

解析：

此题主要考查轴对称--最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键.设点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，当点M、N在CD上时，△𝑃𝑀𝑁的周长最小．

解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．

∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，

∴𝑃𝑀=𝐷𝑀，𝑂𝑃=𝑂𝐶，∠𝐷𝑂𝐴=∠𝑃𝑂𝐴； ∵点P关于OB的对称点为C，

∴𝑃𝑁=𝐶𝑁，𝑂𝑃=𝑂𝐷，∠𝐶𝑂𝐵=∠𝑃𝑂𝐵， ∴𝑂𝐶=𝑂𝐷=𝑂𝑃=4，

∠𝐶𝑂𝐷=∠𝐷𝑂𝐴+∠𝑃𝑂𝐴+∠𝑃𝑂𝐵+∠𝐶𝑂𝐵=2∠𝑃𝑂𝐴+2∠𝑃𝑂𝐵=2∠𝐴𝑂𝐵=60°， ∴△𝐶𝑂𝐷是等边三角形， ∴𝐶𝐷=𝑂𝐶=𝑂𝐷=4．

∴△𝑃𝑀𝑁的周长的最小值=𝑃𝑀+𝑀𝑁+𝑃𝑁=𝐷𝑀+𝑀𝑁+𝐶𝑁≥𝐶𝐷=4． 故选B．

9.答案：40°

解析：

本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键.由于等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论． 解：①当这个角是顶角时，底角=(180°−100°)÷2=40°； ②当这个角是底角时，另一个底角为100°，

因为100°+100°=200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去． 故答案为40°．

10.答案：6cm或7cm

解析：解：∵等腰三角形的周长为20cm，

∴当腰长=6𝑐𝑚时，底边=20−6−6=8𝑐𝑚，即6+6>8，能构成三角形， ∴当底边=6𝑐𝑚时，腰长=∴腰长是6cm或7cm， 故答案为：6cm或7cm．

当腰长=6𝑐𝑚时，底边=20−6−6=8𝑐𝑚，当底边=6𝑐𝑚时，腰长=边关系，即可推出腰长．

本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，关键在于分析讨论6cm为腰长还是底边长．

20−62

20−62

=7𝑐𝑚，即7+6>7，能构成三角形，

=7𝑐𝑚，根据三角形的三

11.答案：10

解析：

根据等腰三角形的三线合一得𝐵𝐷=8，再根据勾股定理即可求出AB的长． 注意等腰三角形的三线合一，熟练运用勾股定理． 解：∵等腰△𝐴𝐵𝐶的底边BC为16，底边上的高AD为6，

∴𝐵𝐷=8，𝐴𝐵=√𝐴𝐷2+𝐵𝐷2=√62+82=10． 故答案为：10．

12.答案：90°

解析：

此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．

根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足𝑎2+𝑏2=𝑐2，那么这个三角形就是直角三角形可得答案．

解：∵(√2)2+22=(√6)2， ∴此三角形是直角三角形，

∴这个三角形的最大角的度数为90°， 故答案为：90°．

13.答案：17

解析：

本题考查等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．

根据BO平分∠𝐶𝐵𝐴，CO平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝑀=𝑀𝑂，𝑁𝐶=𝑁𝑂，从而知道，△𝐴𝑀𝑁的周长是𝐴𝐵+𝐴𝐶的长，从而得解．

解：∵𝐵𝑂平分∠𝐶𝐵𝐴，CO平分∠𝐴𝐶𝐵，𝑀𝑁//𝐵𝐶， ∴𝐵𝑀=𝑀𝑂，𝐶𝑁=𝑁𝑂，

∴𝐴𝑀+𝑀𝐵+𝐴𝑁+𝑁𝐶=𝐴𝑀+𝑀𝑂+𝐴𝑁+𝑁𝑂=29． ∴𝐴𝐵+𝐴𝐶=29， ∵𝐴𝐵=12， ∴𝐴𝐶=17． 故答案为：17．

14.答案：𝐸𝐹=𝐵𝐶(答案不唯一)

解析：

SSS、SAS、ASA、AAS、此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：𝐻𝐿.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.添加的条件：𝐸𝐹=𝐵𝐶，再根据𝐴𝐹=𝐷𝐶可得𝐴𝐶=𝐹𝐷，

然后根据𝐵𝐶//𝐸𝐹可得∠𝐸𝐹𝐷=∠𝐵𝐶𝐴，再根据SAS判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸． 解：添加的条件：𝐸𝐹=𝐵𝐶， ∵𝐵𝐶//𝐸𝐹， ∴∠𝐸𝐹𝐷=∠𝐵𝐶𝐴， ∵𝐴𝐹=𝐷𝐶，

∴𝐴𝐹+𝐹𝐶=𝐶𝐷+𝐹𝐶， 即𝐴𝐶=𝐹𝐷， 在△𝐸𝐹𝐷和△𝐵𝐶𝐴中， 𝐸𝐹=𝐶𝐵

{∠𝐸𝐹𝐷=∠𝐵𝐶𝐴， 𝐴𝐶=𝐷𝐹

∴△𝐸𝐹𝐷≌△𝐵𝐶𝐴(𝑆𝐴𝑆)． 故选EF=𝐵𝐶.(答案不唯一)

15.答案：6√2

解析：解：如图所示：

∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶=3， ∴𝐴𝐵=3√2，

∵△𝐶𝐷𝐸是等腰直角三角形，∠𝐷𝐶𝐸=90°， ∴𝐶𝐷=𝐶𝐸， ∵∠𝐴𝐶𝐵=90°， ∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸，

∴∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐷𝐶𝐸+∠𝐴𝐶𝐷， ∴∠𝐷𝐶𝐵=∠𝐸𝐶𝐴， 在△𝐷𝐶𝐵和△𝐸𝐶𝐴中， 𝐶𝐵=𝐶𝐴

{∠𝐷𝐶𝐵=∠𝐸𝐶𝐴， 𝐸𝐶=𝐷𝐶

∴△𝐷𝐶𝐵≌△𝐸𝐶𝐴(𝑆𝐴𝑆)； ∴𝐴𝐸=𝐷𝐵=2𝐴𝐵=6√2，

故答案为：6√2．

根据等腰直角三角形的性质得到𝐶𝐷=𝐶𝐸，𝐶𝐴=𝐶𝐵，然后利用“SAS”可判断△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐶𝐷；根据全等三角形的性质解答即可．

本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．

16.答案：65

解析：

本题主要考查三角形内角和定理，垂直的性质，角平分线的定义，关键在于熟练运用个性质定理推出相关角之间的关系，利用三角形内角和定理求得∠𝐴𝐸𝐷=75°；然后根据已知条件和三角形外角定理可以求得∠𝐵𝐴𝐸的度数；最后结合三角形角平分线的定义和三角形内角和定理进行解答． 解：如图，

∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐸=90°， 又∵∠𝐷𝐴𝐸=15°， ∴∠𝐴𝐸𝐷=75°， ∵∠𝐵=35°，

∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐴𝐸𝐷−∠𝐵=40°， 又∵𝐴𝐸为∠𝐵𝐴𝐶的平分线， ∴∠𝐵𝐴𝐶=2∠𝐵𝐴𝐸=80°， ∴∠𝐶=180°−∠𝐵−∠𝐵𝐴𝐶=65°． 故答案是65．

17.答案：96𝑚2

解析：解：在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐶中，

∵𝐶𝐷=6𝑚，𝐴𝐷=8𝑚，∠𝐴𝐷𝐶=90°，𝐵𝐶=24𝑚，𝐴𝐵=26𝑚， ∴𝐴𝐶2=𝐴𝐷2+𝐶𝐷2=82+62=100， ∴𝐴𝐶=10𝑚，(取正值)．

在△𝐴𝐵𝐶中，∵𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=102+242=676，𝐴𝐵2=262=676． ∴𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=𝐴𝐵2，

∴△𝐴𝐶𝐵为直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵=90°．

1111

∴𝑆阴影=𝐴𝐶×𝐵𝐶−𝐴𝐷×𝐶𝐷=×10×24−×8×6=96(𝑚2).

2222

故答案是：96𝑚2．

先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△𝐴𝐶𝐵为直角三角形，再根据𝑆阴影=

1

𝐴𝐶×𝐵𝐶−2𝐴𝐷×𝐶𝐷即可得出结论． 2

本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△𝐴𝐶𝐵为直角三角形．

1

18.答案：100°

解析：

本题考查三角形外角的性质及等边对等角的性质，解答的关键是掌握外角和内角的关系． 如图，延长BD交AC于E，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐷𝐸𝐶+∠𝐸𝐶𝐷，∠𝐷𝐸𝐶=∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐵𝐴𝐸，所以∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐸𝐶𝐷，又𝐷𝐴=𝐷𝐵=𝐷𝐶，根据等腰三角形等边对等角的性质得出∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐷𝐴𝐵=20°，∠𝐸𝐶𝐷=∠𝐷𝐴𝐶=30°，进而得出结果． 解：如图，延长BD交AC于E．

∵𝐷𝐴=𝐷𝐵=𝐷𝐶，

∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐷𝐴𝐵=20°，∠𝐸𝐶𝐷=∠𝐷𝐴𝐶=30°． 又∵∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐷𝐴𝐶=50°，

∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐷𝐸𝐶+∠𝐸𝐶𝐷，∠𝐷𝐸𝐶=∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐵𝐴𝐸，

∴∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐸𝐶𝐷=20°+50°+30°=100°． 故答案为100°．

19.答案：解：(1)如图(1)，△𝐷𝐸𝐹即为所求；

(2)如图(2)(3)，线段EF即为所求．

解析：本题考查的是作图−轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． (1)分别作出各点关于直线l的对称点，再顺次连接即可； (2)根据轴对称的性质画出线段即可．

20.答案：证明：∵𝐴𝐶//𝐵𝐷，

∴∠𝐴=∠𝐵， 在△𝐴𝐶𝐹和△𝐵𝐷𝐸中 𝐴𝐶=𝐵𝐷{∠𝐴=∠𝐵， 𝐴𝐹=𝐵𝐸

∴△𝐴𝐶𝐹≌△𝐵𝐷𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐶=∠𝐷．

解析：本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．

由平行可得∠𝐴=∠𝐵，可证明△𝐴𝐶𝐹≌△𝐵𝐷𝐸，可证得结论．

21.答案：解：(1)∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，

∴𝐶𝐷=𝐶𝐸，∠𝐷𝐶𝐸=90°， ∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，

∴∠𝐵𝐶𝐷=90°−∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐹𝐶𝐸， 在△𝐵𝐶𝐷和△𝐹𝐶𝐸中， 𝐶𝐵=𝐶𝐹

{∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐹𝐶𝐸， 𝐶𝐷=𝐶𝐸

∴△𝐵𝐶𝐷≌△𝐹𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)； (2)由(1)可知△𝐵𝐶𝐷≌△𝐹𝐶𝐸， ∴∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐸，∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐹𝐶𝐸，

∴∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐷𝐶𝐴+∠𝐹𝐶𝐸=∠𝐷𝐶𝐴+∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐵=90°，

∵∠𝐷𝐶𝐹=∠𝐸𝐹𝐶， ∴𝐸𝐹//𝐶𝐷，

∴∠𝐸=180°−∠𝐷𝐶𝐸=90°， ∴∠𝐵𝐷𝐶=90°．

解析：本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

(1)由旋转的性质可得：𝐶𝐷=𝐶𝐸，再根据同角的余角相等可证明∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐹𝐶𝐸，再根据全等三角形的判定方法即可证明△𝐵𝐶𝐷≌△𝐹𝐶𝐸；

(2)由(1)可知：△𝐵𝐶𝐷≌△𝐹𝐶𝐸，所以∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐸，易求∠𝐸=90°，进而可求出∠𝐵𝐷𝐶的度数．

22.答案：解：由翻折的性质得：∠𝐷𝐸𝐷′=2∠𝐷𝐸𝐹，

∵∠1=56°，

∴∠𝐷𝐸𝐷′=180°−∠1=124°， ∴∠𝐷𝐸𝐹=62°．

解析：本题考查了翻折变换的性质，邻补角定义的应用，熟记折叠的性质是解题的关键．根据折叠性质得出∠𝐷𝐸𝐷′=2∠𝐷𝐸𝐹，根据∠1的度数求出∠𝐷𝐸𝐷′，即可求出答案．

23.答案：证明：连接BM，

因为𝐴𝐵=𝐵𝐶，𝐴𝑀=𝑀𝐶，

所以𝐵𝑀⊥𝐴𝐶，且∠𝐴𝐵𝑀=∠𝐶𝐵𝑀=2∠𝐴𝐵𝐶=45°， 因为𝐴𝐵=𝐵𝐶， 所以∠𝐴=∠𝐶=

180°−∠𝐴𝐵𝐶

2

1

=45°，

所以∠𝐴=∠𝐴𝐵𝑀，所以𝐴𝑀=𝐵𝑀，

因为𝐵𝐷=𝐶𝐸，𝐴𝐵=𝐵𝐶，所以𝐴𝐵−𝐵𝐷=𝐵𝐶−𝐶𝐸，即𝐴𝐷=𝐵𝐸， 在△𝐴𝐷𝑀和△𝐵𝐸𝑀中， 𝐴𝐷=𝐵𝐸

{∠𝐴=∠𝐸𝐵𝑀=45°， 𝐴𝑀=𝐵𝑀

所以△𝐴𝐷𝑀≌△𝐵𝐸𝑀(𝑆𝐴𝑆)， 所以𝐷𝑀=𝐸𝑀，

所以△𝐷𝐸𝑀是等腰三角形．

解析：此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知得出△𝐴𝐷𝑀≌△𝐵𝐸𝑀是解题关键．

𝐴𝑀=𝑀𝐶，根据𝐴𝐵=𝐵𝐶，得出𝐵𝑀⊥𝐴𝐶，且∠𝐴𝐵𝑀=∠𝐶𝐵𝑀=2∠𝐴𝐵𝐶=45°，进而得出△𝐴𝐷𝑀≌△𝐵𝐸𝑀，即可得出𝐷𝑀=𝐸𝑀．

1

24.答案：解：(1)①∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸=𝛼，

∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐸，

在△𝐴𝐶𝐷和△𝐵𝐶𝐸中，𝐴𝐶=𝐵𝐶， 又∵𝐶𝐷=𝐶𝐸， ∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐷=𝐵𝐸；

②∵𝐶𝐷=𝐶𝐸，且𝛼=70°， ∴∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐶𝐸𝐷=∴∠𝐴𝐷𝐶=125°， ∵△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸， ∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵𝐸𝐶，

∴∠𝐵𝐸𝐴=125°−55°=70°；

(2)将线段CD以点C为中心，逆时针旋转120°，与AN交于点E，连接BE，

180∘−70∘

2

=55°，

∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸=120°， ∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐸， 又∵𝐴𝐶=𝐵𝐶，𝐶𝐷=𝐶𝐸， ∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐷=𝐵𝐸，

∵𝐶𝐷=𝐶𝐸，且∠𝐷𝐶𝐸=120°， ∴∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐶𝐸𝐷=30°，

∴在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝑀中，由勾股定理得√3𝐶𝐷=2𝐷𝑀， 又∵𝐴𝐷+2𝐷𝑀=√3𝐶𝐷+∴𝐴𝐷=

2√3𝐵𝑁， 3

2√3𝐵𝑁， 3

∴𝐴𝐷：𝐵𝑁=𝐵𝐸：𝐵𝑁=2√3：3，

∴𝐵𝑁：𝐵𝐸=𝐶𝑂𝑆∠𝑁𝐵𝐸=√，

2

3

∴∠𝑁𝐵𝐸=30°， ∵△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸， ∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐵𝐸， ∠𝐵𝐸𝑁=∠𝐸𝐵𝐴+∠𝐸𝐴𝐵，

∴∠𝐶𝐵𝐸+∠𝐸𝐴𝐵+∠𝐶𝐵𝐴=∠𝐵𝐸𝑁=60°， ∴∠𝐵𝑁𝐸=∠𝑁𝐵𝐸+∠𝑁𝐸𝐵=90°， ∴𝐵𝑁⊥𝐴𝑁， ∵𝐶𝑀⊥𝐴𝑁， ∴𝐶𝑀//𝐵𝑁．

解析：本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，旋转的性质，勾股定理，解直角三角形和平行线的判定，属于综合题型．

(1)①共顶点，等线段，可以联想到旋转，通过证明△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸得到𝐴𝐷=𝐵𝐸； ②全等三角形对应角相等，再根据三角形的内角和定理可求解；

(2)将线段CD以点C为中心，逆时针旋转120°，与AN交于点E，连接BE，通过证明△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸，三角形的内角和定理，解直角三角形可得√3𝐶𝐷=2𝐷𝑀，根据𝐴𝐷+2𝐷𝑀=√3𝐶𝐷+

2√33

𝐵𝑁，可得

∠𝑁𝐵𝐸=30°，再根据三角形的外角性质可得∠𝐵𝐸𝑁=60°，进而得到𝐵𝑀⊥𝐴𝑁，最后得出𝐵𝑁//𝐶𝑀．

25.答案：解：(1)如图图中点E即为所求：

(2)∵𝐴𝐷=𝐷𝐵，𝐴𝐸=𝐸𝐶， ∴𝐷𝐸=2𝐵𝐶， ∵𝐵𝐶=12， ∴𝐷𝐸=6．

1

解析：(1)作线段AC的垂直平分线即可解决问题； (2)利用三角形的中位线定理即可解决问题；

本题考查作图−复杂作图、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．