2020-2021学年江苏省常州市金坛区七年级(下)期末数学试卷 word版含解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．（2分）下列计算正确的是（ ） A．a2+2a2＝3a4 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2

B．a6÷a3＝a2 D．（ab）2＝a2b2

2．（2分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ） A．a+1＜b+1

B．a﹣1＜b﹣1

C．2a＞2b

D．﹣2a＞﹣2b

𝑥=23．（2分）若{是方程ax﹣2y＝6的解，则a的值是（ ）

𝑦=1A．﹣4

B．4

C．3

D．﹣3

4．（2分）若一个三角形的两边长分别是3cm，6cm，则它的第三边的长可以是（ ） A．3cm

B．6cm

C．9cm

D．12cm

5．（2分）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，若∠2＝45°，则∠1等于（ ）

A．125°

B．130°

C．135°

D．145°

6．（2分）若一个多边形的内角和为360°，则这个多边形的边数是（ ） A．3

B．4

C．5

D．6

7．（2分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（ ） 𝑥+𝑦=100A．{

𝑦=3𝑥𝑥+𝑦=100C．{1

𝑥+3𝑦=10038．（2分）对于下列命题： ①若a＞b，则a2＞b2；

②在直角三角形中，任意两个内角的和一定大于第三个内角； ③无论x取何值，代数式x2+2x+2的值都不小于1；

④在同一个平面内，有两两相交的三条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一

𝑥+𝑦=100

B．{

𝑥=3𝑦

𝑥+𝑦=100D．{1

𝑦+3𝑥=1003

个角小于60°． 其中真命题有（ ） A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．（2分）计算：m（m﹣1）＝ ． 10．（2分）因式分解：x2﹣y2＝ ．

11．（2分）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为0.000052m．将0.000052用科学记数法表示为 ．

12．（2分）写出命题“如果a＝b，那么2a＝2b”的逆命题是： ． 13．（2分）如图，直线AB∥CD，直线EC分别与AB，CD相交于点A、点C，AD平分∠BAC，已知∠ACD＝80°，则∠DAC的度数为 ．

14．（2分）若代数式x+1的值小于代数式2x的值，则x的取值范围是 ． 15．（2分）若2x÷4y＝8，则2x﹣4y+2＝ ．

𝑥−𝑦=1+3𝑚16．（2分）若关于x，y的方程组{的解满足x+y≤2，则2m+5的最大值是 ．

𝑥+3𝑦=1+𝑚三、解答题（本大题共9小题，共68分。第17题10分，第18、19每题8分，第20、21、22、23题每题6分，第24题8分，第25题10分。如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（10分）计算：

（1）20210+（﹣2）2﹣（）1；

﹣

12

（2）（x+2y）（2y﹣x）﹣（x﹣2y）2． 18．（8分）因式分解： （1）2m2﹣2n2； （2）a3b﹣4a2b+4ab．

19．（8分）解方程组或不等式组：

𝑥+𝑦=3（1）{；

2𝑥−3𝑦=−44𝑥−2≥−6（2）{𝑥−5．

𝑥−3＜220．（6分）已知x+y＝3，xy＝1，求下列代数式的值： （1）（x﹣y）2； （2）x3y+xy3．

21．（6分）已知：如图，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．求证：AD∥EF．

22．（6分）为了预防新冠肺炎的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元/瓶，84消毒液的价格是15元/瓶．求该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？ 23．（6分）观察下列式子： ①32+42＞2×3×4； ②32+32＝2×3×3；

③（﹣2）2+42＞2×（﹣2）×4：

④（﹣5）2+（﹣5）2＝2×（﹣5）×（﹣5）．

（1）填空：（﹣2）2+（﹣3）2 2×（﹣2）×（﹣3）（填写“＞”或“＝”或“＜”）； （2）观察以上各式，它们有什么规律吗？请用含a，b的式子表示你发现的规律； （3）运用你发现的规律，直接写出代数式x2+

𝑥＞−1

24．（8分）已知关于x的不等式组{𝑥＜4

𝑥≤1−𝑘

（1）当k＝﹣2时，求不等式组的解集；

（2）若不等式组的解集是﹣1＜x＜4，求k的范围； （3）若不等式组有3个整数解，求k的范围． 25．（10分）将一根铁丝AF按如下步骤弯折：

．

1

的最小值是 ． 𝑥2第一步，在点B，C处弯折得到图1的形状，其中AB∥CF；

第二步，将CF绕点C逆时针旋转一定角度，在点D，E处弯折，得到图2的形状，其中AB∥EF． 解答下列问题：

（1）如图①，若∠C＝3∠B，求∠B的度数； （2）如图②，求证：∠B+∠C＝∠D+∠E；

（3）将另一根铁丝弯折成∠G，如图③摆放，其中∠ABC＝3∠CBG，∠CDE＝3∠CDG．若∠C＝88°，∠E＝130°，直接写出∠G的度数．

四、附加题（本大题共5小题，共20分）（一）填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

26．（2分）因式分解：4x2﹣y2﹣2y﹣1＝ ． 27．（2分）若2x+y+z＝10，3x+y+z＝12，则x+y+z＝ ．

28．（2分）若∠A与∠B的一组边平行，另一组边垂直，且∠A﹣2∠B＝15°，则∠B的度数为 ．

29．（2分）如图，在△ABC中，D是AB中点，E是BC边上一点，且BE＝4EC，CD与AE交于点F，连接BF．若△BEF的面积是4，则△ABC的面积是 ．

30．（2分）用{a}表示不小于数a的最小整数．例如：{4.2}＝5，{﹣5.3}＝﹣5，{0}＝0，{﹣3}＝﹣3．在此规定下：数a都能满足a＝{a}﹣b，其中0≤b＜1．则方程{3x﹣2}＝2x+2的解是 ．

1

（二）解答题（本大题共1小题，共10分。如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

31．（10分）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．

（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线． 求证：△ABD是“准直角三角形”． （2）关于“准直角三角形”，下列说法：

①在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，∠C＝10°，则△ABC是准直角三角形； ②若△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝20°；

③“准直角三角形”一定是钝角三角形．其中，正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）

（3）如图②，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝50°．若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，请直接写出∠APB的度数．

2020-2021学年江苏省常州市金坛区七年级（下）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．（2分）下列计算正确的是（ ） A．a2+2a2＝3a4 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2

B．a6÷a3＝a2 D．（ab）2＝a2b2

【解答】解：a2+2a2＝3a2，因此选项A不符合题意； a6÷a3＝a63＝a3，因此选项B不符合题意；

﹣

（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，因此选项C不符合题意； （ab）2＝a2b2，因此选项D符合题意； 故选：D．

2．（2分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ） A．a+1＜b+1

B．a﹣1＜b﹣1

C．2a＞2b

D．﹣2a＞﹣2b

【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上1，不等号的方向不变，即a+1＞b+1，原变形错误，故此选项不符合题意；

B、在不等式a＞b的两边同时减去1，不等号的方向不变，即a﹣1＞b﹣1，原变形错误，故此选项不符合题意；

C、在不等式a＞b的两边同时乘2，不等号的方向改变，即2a＞2b，原变形正确，故此选项符合题意；

D、在不等式a＞b的两边同时乘﹣2，不等号的方向不变，即﹣2a＜﹣2b，原变形错误，故此选项不符合题意． 故选：C．

𝑥=23．（2分）若{是方程ax﹣2y＝6的解，则a的值是（ ）

𝑦=1A．﹣4

B．4

C．3

D．﹣3

𝑥=2

【解答】解：把{代入二元一次方程ax﹣2y＝6中，

𝑦=1可得：2a﹣2＝6， 解得：a＝4， 故选：B．

4．（2分）若一个三角形的两边长分别是3cm，6cm，则它的第三边的长可以是（ ）

A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm

【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得： 6﹣3＜x＜6+3， 解得：3＜x＜9， 故选：B．

5．（2分）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，若∠2＝45°，则∠1等于（ ）

A．125°

【解答】解：如图，

B．130°

C．135°

D．145°

∵a∥b，∠2＝45°， ∴∠3＝∠2＝45°， ∴∠1＝180°﹣∠3＝135°， 故选：C．

6．（2分）若一个多边形的内角和为360°，则这个多边形的边数是（ ） A．3

B．4

C．5

D．6

【解答】解：根据n边形的内角和公式，得 （n﹣2）•180＝360， 解得n＝4．

故这个多边形的边数为4． 故选：B．

7．（2分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（ ） 𝑥+𝑦=100A．{

𝑦=3𝑥

𝑥+𝑦=100B．{

𝑥=3𝑦

𝑥+𝑦=100C．{1

𝑥+3𝑦=100

3𝑥+𝑦=100D．{1

3

𝑦+3𝑥=100

【解答】解：根据题意可得：{𝑥故选：C．

8．（2分）对于下列命题： ①若a＞b，则a2＞b2；

𝑥+𝑦=100

3，

+3𝑦=100

②在直角三角形中，任意两个内角的和一定大于第三个内角； ③无论x取何值，代数式x2+2x+2的值都不小于1；

④在同一个平面内，有两两相交的三条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于60°． 其中真命题有（ ） A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【解答】解：①已知2＞﹣3，但22＜（﹣3）2，所以若a＞b，则a2＞b2错误，是假命题，不符合题意；

②在直角三角形中，任意两个内角的和一定大于第三个内角，错误，是假命题，不符合题意；

③无论x取何值，代数式x2+2x+2＝（x+1）2+1的值都不小于1，正确，是真命题，符合题意；

④在同一个平面内，有两两相交的三条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于60°，正确，是真命题， 真命题有2个， 故选：B．

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．（2分）计算：m（m﹣1）＝ m2﹣m ． 【解答】解：m（m﹣1）＝m2﹣m． 故答案为：m2﹣m．

10．（2分）因式分解：x2﹣y2＝ （x﹣y）（x+y） ． 【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）． 故答案为：（x+y）（x﹣y）．

11．（2分）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为0.000052m．将0.000052用科学记数法表示为 5.2×105 ．

﹣

【解答】解：0.000052＝5.2×105．

﹣

故答案为：5.2×105．

﹣

12．（2分）写出命题“如果a＝b，那么2a＝2b”的逆命题是： 如果2a＝2b，那么a＝b． ． 【解答】解：命题“如果a＝b”，那么“2a＝2b”的逆命题是：如果2a＝2b，那么a＝b， 故答案为：如果2a＝2b，那么a＝b．

13．（2分）如图，直线AB∥CD，直线EC分别与AB，CD相交于点A、点C，AD平分∠BAC，已知∠ACD＝80°，则∠DAC的度数为 50° ．

【解答】解：∵AB∥CD，∠ACD＝80°， ∴∠BAC＝100°， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC=2∠BAC＝50°， 故答案为：50°．

14．（2分）若代数式x+1的值小于代数式2x的值，则x的取值范围是 x＞1 ． 【解答】解：根据题意，得x+1＜2x， 移项、合并同类项，得﹣x＜﹣1， 系数化为1，得x＞1， 故答案为x＞1．

15．（2分）若2x÷4y＝8，则2x﹣4y+2＝ 8 ． 【解答】解：∵2x÷4y＝2x÷22y＝2x∴x﹣2y＝3， ∴2x﹣4y+2 ＝2（x﹣2y）+2 ＝2×3+2

﹣2y

1

＝8＝23，

＝8． 故答案为：8．

𝑥−𝑦=1+3𝑚

16．（2分）若关于x，y的方程组{的解满足x+y≤2，则2m+5的最大值是 6 ．

𝑥+3𝑦=1+𝑚𝑥−𝑦=1+3𝑚①【解答】解：解方程组{，

𝑥+3𝑦=1+𝑚②①+②得，2x+2y＝2+4m， ∵x+y≤2， ∴1+2m≤2， 解得：m≤2，

∴2m+5的最大值为2×+5＝6， 故答案为6．

三、解答题（本大题共9小题，共68分。第17题10分，第18、19每题8分，第20、21、22、23题每题6分，第24题8分，第25题10分。如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（10分）计算：

（1）20210+（﹣2）2﹣（）1；

﹣

1

1

212

（2）（x+2y）（2y﹣x）﹣（x﹣2y）2． 【解答】解：（1）原式＝1+4﹣2 ＝3；

（2）原式＝﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣（x﹣2y）2 ＝﹣（x2﹣4y2）﹣（x2﹣4xy+4y2） ＝﹣x2+4y2﹣x2+4xy﹣4y2 ＝﹣2x2+4xy． 18．（8分）因式分解： （1）2m2﹣2n2； （2）a3b﹣4a2b+4ab． 【解答】解：（1）2m2﹣2n2 ＝2（m2﹣n2） ＝2（m+n）（m﹣n）；

（2）a3b﹣4a2b+4ab ＝ab（a2﹣4a+4） ＝ab（a﹣2）2．

19．（8分）解方程组或不等式组： 𝑥+𝑦=3（1）{；

2𝑥−3𝑦=−44𝑥−2≥−6（2）{𝑥−5．

𝑥−3＜2𝑥+𝑦=3①【解答】解：（1）{，

2𝑥−3𝑦=−4②由①得：y＝3﹣x③，

把③代入②得：2x﹣3（3﹣x）＝﹣4， 解得x＝1，

将x＝1代入③，得y＝2， 𝑥=1

所以原方程组的解是{；

𝑦=2 （2）{

4𝑥−2≥−6①𝑥−3＜𝑥−5，

②2解不等式①，x≥﹣1， 解不等式②，得x＜1，

所以不等式组的解集为﹣1≤x＜1．

20．（6分）已知x+y＝3，xy＝1，求下列代数式的值： （1）（x﹣y）2； （2）x3y+xy3．

【解答】解：（1）∵x+y＝3，xy＝1， ∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝9﹣4×1＝5； （2）∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，x+y＝3，xy＝1， ∴9＝x2+y2+2， ∴x2+y2＝7，

∴x3y+xy3＝xy（x2+y2）＝1×7＝7．

21．（6分）已知：如图，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．求证：AD∥EF．

【解答】证明：∵∠1＝∠C， ∴DE∥BC， ∴∠CAD＝∠2， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠3+∠CAD＝180°， ∴AD∥EF．

22．（6分）为了预防新冠肺炎的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元/瓶，84消毒液的价格是15元/瓶．求该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？

【解答】解：（1）设该校购进洗手液x瓶，购进84消毒液y瓶， 𝑥+𝑦=400依题意得：{，

25𝑥+15𝑦=7200𝑥=120

解得：{，

𝑦=280

答：该校购进洗手液120瓶，该校购进84消毒液280瓶； 23．（6分）观察下列式子： ①32+42＞2×3×4； ②32+32＝2×3×3；

③（﹣2）2+42＞2×（﹣2）×4：

④（﹣5）2+（﹣5）2＝2×（﹣5）×（﹣5）．

（1）填空：（﹣2）2+（﹣3）2 ＞ 2×（﹣2）×（﹣3）（填写“＞”或“＝”或“＜”）； （2）观察以上各式，它们有什么规律吗？请用含a，b的式子表示你发现的规律； （3）运用你发现的规律，直接写出代数式x2+

1

的最小值是 2 ． 𝑥2【解答】解：（1）（﹣2）2+（﹣3）2＞2×（﹣2）×（﹣3）， 故答案为：＞；

（2）∵（a﹣b）2≥0， ∴a2﹣2ab+b2≥0，

∴用含a，b的式子表示发现的规律为a2+b2≥2ab；

（3）∵a2+b2≥2ab， ∴x2+∴x2+∴x2+

121≥2•x•2， 𝑥2𝑥1

≥2， 𝑥21

的最小值是2， 𝑥2故答案为：2．

𝑥＞−1

24．（8分）已知关于x的不等式组{𝑥＜4

𝑥≤1−𝑘

（1）当k＝﹣2时，求不等式组的解集；

（2）若不等式组的解集是﹣1＜x＜4，求k的范围； （3）若不等式组有3个整数解，求k的范围．

【解答】解：（1）当k＝﹣2时，1﹣k＝1﹣（﹣2）＝3， 𝑥＞−1∴原不等式组解得：{𝑥＜4，

𝑥≤3

∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤3； （2）当不等式组的解集是﹣1＜x＜4时， 1﹣k≥4， 解得：k≤﹣3；

（3）由x＞﹣1，当不等式组有三个整数解时， 则不等式组的整数解为0、1、2， 又∵x＜4且x≤1﹣k， ∴2≤1﹣k＜3， 解得：﹣2＜k≤﹣1．

25．（10分）将一根铁丝AF按如下步骤弯折：

第一步，在点B，C处弯折得到图1的形状，其中AB∥CF；

．

第二步，将CF绕点C逆时针旋转一定角度，在点D，E处弯折，得到图2的形状，其中AB∥EF． 解答下列问题：

（1）如图①，若∠C＝3∠B，求∠B的度数； （2）如图②，求证：∠B+∠C＝∠D+∠E；

（3）将另一根铁丝弯折成∠G，如图③摆放，其中∠ABC＝3∠CBG，∠CDE＝3∠CDG．若∠C＝88°，∠E＝130°，直接写出∠G的度数．

【解答】解：（1）∵AB∥CF，

∴∠B+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠C＝3∠B， ∴4∠B＝180°， ∴∠B＝45°，

（2）证明：分别过点D，C作DN∥AB，CM∥AB， ∵AB∥CD，

∴AB∥DN∥CM∥EF（同平行于一条直线的两直线平行）， ∵AB∥CM，

∴∠B+∠BCM＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 同理，∠E+∠NDE＝180°， ∵DN∥CM，

∴∠NDC＝∠MCD（两直线平行，内错角相等）， ∴∠B+∠BCD＝∠E+∠CDE．

（3）由（2）知：∠ABC+∠C＝∠E+∠CDE， ∴∠ABC+88°＝130°+∠CDE， ∴∠ABC﹣∠CDE＝130°﹣88°＝42°， ∴3∠CBG﹣3∠CDG＝42°， ∴∠CBG﹣∠CDG＝14°， 又∵∠CBG+∠C＝∠CDG+∠G， ∴∠CBG﹣∠CDG＝∠G﹣∠C＝14°， ∴∠G＝∠C+14°＝102°．

四、附加题（本大题共5小题，共20分）（一）填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

26．（2分）因式分解：4x2﹣y2﹣2y﹣1＝ （2x+y+1）（2x﹣y﹣1） ． 【解答】解：4x2﹣y2﹣2y﹣1 ＝4x2﹣（y2+2y+1） ＝（2x）2﹣（y+1）2 ＝（2x+y+1）（2x﹣y﹣1）． 故答案为：（2x+y+1）（2x﹣y﹣1）．

27．（2分）若2x+y+z＝10，3x+y+z＝12，则x+y+z＝ 8 ． 2𝑥+𝑦+𝑧=10①【解答】解：联立得：{，

3𝑥+𝑦+𝑧=12②②﹣①得：x＝2，

①+②得：5x+2y+2z＝22③， ∴x+y=

22−5𝑥

=6， 2∴x+y+z＝2+6＝8， 故答案为：8．

28．（2分）若∠A与∠B的一组边平行，另一组边垂直，且∠A﹣2∠B＝15°，则∠B的度

数为 75°或25° ． 【解答】解：如图1：

∵AE∥BF， ∴∠A+∠1＝180°， ∴∠1＝180°﹣∠A， ∵∠A﹣2∠B＝15°，

∴∠1＝180°﹣（2∠B+15°）＝165°﹣∵AC⊥BC， ∴∠1+∠B＝90°，

∴165°﹣2∠B+∠B＝90°， ∴∠B＝75°； 如图2：

∵AE∥BF， ∴∠A＝∠1， ∵∠A﹣2∠B＝15°， ∴∠1＝2∠B+15°， ∵AC⊥BC， ∴∠1+∠B＝90°， ∴2∠B+15°+∠B＝90°， ∴∠B＝25°；

2∠B， 综上，∠B的度数为75°或25°． 故答案为：75°或25°．

29．（2分）如图，在△ABC中，D是AB中点，E是BC边上一点，且BE＝4EC，CD与AE交于点F，连接BF．若△BEF的面积是4，则△ABC的面积是 30 ．

【解答】解：∵BE＝4EC，S△BEF＝4， ∴S△CEF=S△BEF＝1，

∴S△BCF＝S△BEF+S△CEF＝4+1＝5， ∵D是AB中点， ∴AD＝DB，

∴S△ADF＝S△BDF，S△ADC＝S△BDC， ∴S△ADC﹣S△ADF＝S△BDC﹣S△BDF， ∴S△ACF＝S△BCF＝5，

∴S△ACE＝S△ACF+S△CEF＝5+1＝6， ∵BE＝4EC，

∴S△ABE＝4S△ACE＝24，

∴S△ABC＝S△ABE+S△ACE＝24+6＝30， 故答案为：30．

30．（2分）用{a}表示不小于数a的最小整数．例如：{4.2}＝5，{﹣5.3}＝﹣5，{0}＝0，{﹣3}＝﹣3．在此规定下：数a都能满足a＝{a}﹣b，其中0≤b＜1．则方程{3x﹣2}＝2x+2的解是 x=4或x=4 ． 【解答】解：∵{3x﹣2}＝2x+2， ∴3x﹣2≤2x+2＜3x﹣2+1，

1

1

7

9

1

1

4解得＜𝑥≤，

2

2

35

∵2x+是整数， ∴x=4或x=4． 故答案为：x=或x=．

（二）解答题（本大题共1小题，共10分。如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

31．（10分）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．

（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线． 求证：△ABD是“准直角三角形”． （2）关于“准直角三角形”，下列说法：

①在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，∠C＝10°，则△ABC是准直角三角形； ②若△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝20°；

③“准直角三角形”一定是钝角三角形．其中，正确的是 ①③ ．（填写所有正确结论的序号）

（3）如图②，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝50°．若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，请直接写出∠APB的度数．

7

4947

9

12

【解答】（1）证明：如图①中，

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠A＝90°， ∵BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABC＝2∠ABD， ∴2∠ABD+∠A＝90°， ∴△ABD是“准直角三角形”．

（2）解：①∵∠B＝70°，∠C＝10°， ∴∠B+2∠C＝90°，

∴△ABC是“准直角三角形”． 故①正确．

②∵三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”， ∴α+β＜90°，

∴三角形的第三个角大于90°， ∴三角形有多少钝角三角形，

∴显然△ABC不符合条件，故②错误， ③正确．②中已经证明． 故答案为①③．

（3）解：如图②中，当∠AP1B＝10°，∠AP2B＝40°，∠AP3B＝110°，∠AP4B＝20°时，△ABP满足条件，是“准直角三角形”．