2024高中数学高考高频考点经典题型练习卷
一、单选题
1. 在菱形ABCD中，
沿MN折叠到
，使
，
，AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段AD，CD上，且，则三棱锥
的外接球的表面积为（ ）
，，将
A．B．C．
D．
，过左焦点
引一条渐近线的垂线，垂足为，
2. 已知双曲线
的左、右焦点分别为，，离心率
的面积是2，则双曲线的实轴长为（ ）
A．4
3. 已知等比数列
的前n项和为
B．2
，若
，则
（ ）
C．
D．1
A．12B．36C．31D．33
4. 已知某圆锥的高为，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
5. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数，如图所示的图形表示的数就是他们研究过的三角形数．现从1到50这50个整数中，随机抽取3个整数，则这3个数恰好都是三角形数的概率为（ ）
A．B．C．D．
6. 已知是虚数单位，若复数的实部是虚部的2倍，则（ ）
A．B．C．D．
7. 抛物线
与椭圆
交于A，B两点，若
的面积为
(其中O为坐标原点)，则（ ）
A．2
8. 若集合
，
B．3
，则
C．4
（ ）
D．6
A．C．
9. 函数
的图象大致为（ ）
B．D．
A．B．
C．D．
10. 已知圆O：，直线l：，P为直线l上一动点，过点P作圆O的两条切线PA，PB，A，B为切点，则（ ）
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A．点P到圆O上的点的最小距离为B．线段PA长度的最小值为
D．存在点P，使得的面积为C．的最小值为3
11. 设
，
，
，则
的大小关系是
A．
12. 已知向量
B．
，若
C．
，则
（ ）
D．
A．3B．
C．D．
13. 第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，
将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为双曲线C以
为焦点、以直线
为一条渐近线，则C的离心率为（ ）
，若
A．B．C．D．
14. 已知全集，，则下列关系正确的是（ ）
A．
C．
15. 若函数
满足
，且当
时，
B．D．
，则
（ ）
A．－1
16. 设
，将函数
B．
C．0
D．
的图象向左平移个单位长度后与函数
的图象重合，则的最小值为（ ）
A．
二、多选题
B．C．D．
17. 已知奇函数
在上可导，其导函数为，且
恒成立，则下列选项正确的是（ ）．
A．B．C．D．
为非奇非偶函数
18. 甲、乙两旅游景区某月初连续7天的日均气温数据如图所示，则关于这7天，以下判断正确的是（ ）
A．甲旅游景区日均气温的中位数与平均数相等
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B．甲旅游景区的日均气温比乙城市的日均气温稳定C．乙旅游景区日均气温的极差为2℃D．乙旅游景区日均气温的众数为5℃
19. 已知偶函数
满足
，则下列说法正确的是（ ）．
A．函数C．函数
20. 已知函数
是以2为周期的周期函数为奇函数B．函数D．函数
都有
是以4为周期的周期函数
为偶函数
的定义域为，、，且
，则（ ）
A．C．
是增函数
B．D．
是偶函数
21. 有两个箱子，第1个箱子有3个白球，2个红球，第2个箱子有4个白球，4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从
第2个箱子中随机取1个球放到第1个箱子里，则下列判断正确的是（ ）
A．从第2个箱子里取出的球是白球的概率为B．从第2个箱子里取出的球是红球的概率为
C．从第2个箱子里取出的球是白球前提下，则再从第1个箱子里取出的是白球的概率为D．两次取出的球颜色不同的概率为
22. 投掷一枚均匀的骰子8次，记录每次骰子出现的点数．根据统计结果，可以判断一定出现点数6的是（ ）
A．第25百分位数为2，极差为4B．平均数为，第75百分位数为C．平均数为3，方差为3D．众数为4，平均数为
23. 函数
（
，
，
）的部分图象如图所示，将函数
的图象，则（ ）
的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐
标变为原来的2倍，然后向左平移
个单位长度，得到函数
A．B．C．D．
的解析式为
是
图象的一个对称中心
，
的单调递减区间是
24. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数B．直线C．若D．直线
的图象可由
是与函数
，则
在
的图象向左平移个单位得到
图象的一条对称轴
的最小值为
上的图象有个交点
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三、填空题
25. 若函数
（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式
______．
26. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线
上，则
_____.
27. 已知集合A＝
四、解答题
，B＝
，则
＝_______．
28. 已知函数
（1）化简并求函数（2）求使函数
的最小正周期；取得最大值的集合．
．
29. 化简：
．
30. 已知(1)(2)
，求下列各式的值；
31. 对于数列
，
，的前n项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以
使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程：①为什么②不妨将
，
可以裂项相消？是因为此数列的第n，n＋1项有一定关系，即第n项的后一部分与第n＋1项的前一部分和为零也转化成第n，n＋1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得
，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数
③将数列
，
表示成
形式，然后运用“裂项相消法”即可！
聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握．
(1)（巩固基础）请你帮助小周同学，用“错位相减法”求的前n项和
；的前n项和
．
(2)（创新意识）请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求
32. 随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设
计，得到以下的
列联表：
更关注保暖性能
女性男性合计
附：
更关注款式设计合计
160120280
．
8040120
240160400
0.102.706
0.053.841
0.0106.635
(1)是否有95%的把握认为男性和女性在选购羽绒服时的关注点有差异？
(2)若从被调查的更关注保暖性能的人中按男女比例用分层抽样的方法抽取7人进行采访，再从这7人中任选2人赠送羽绒服，求这2人都是女
性的概率．
33. 已知角的顶点与原点O重合，它的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点.
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(1)求(2)求值：
五、解答题
的值；
.
34. 某市统计局就当地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出如图所示的样本的频率分布直方图.
（1）求居民月收入在
内的频率；
（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；
（3）为了分析居民的收入与年龄､职业等方面的关系，按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人进行分析，则月收入在
内的应抽多少人？
35. （理）某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在
成绩使用等级制各等级划分标准见下表，规定：
三级为合格等级，为不合格等级.
内，发布
百分制等级
85分及以上70分到84分60分到69分60分以下
为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照
的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图
如图所示.，
（1）求和频率分布直方图中的
的值；
（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；
（3）在选取的样本中，从变量的分布列及数学期望.
两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记表示所抽取的名学生中为等级的学生人数，求随机
36. 求直线
的斜率和倾斜角，并画出它的图形．
37. 如图所示，在四棱锥
与平面
的交线为．
中，平面平面，，且，设平面
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(1)作出交线（写出作图步骤），并证明(2)记与平面
平面
；
，当二面角
的余弦值为
，求的值．
的交点为，点S在交线上，且
38. 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年月日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作
的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校中随机调查了
名学生，得到如下统计表：
时间人数
(1)估计该校学生每日使用手机的时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)用分层抽样的方法从使用手机时间在
率．
和
的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人来自不同组的概
39. 已知函数(1)作出函数(2)当
六、解答题
.
在一个周期内的图象，并写出其单调递减区间；时，求
的最大值与最小值.
40. 如图，四面体
中，
，E为AC的中点．
(1)证明：平面(2)设
平面ACD；
，点F在BD上，当
的面积最小时，求三棱锥
的体积．
41. 已知数列
（1）求证：数列（2）设
的前项和满足，其中．
为等比数列；，求数列
的前项和
．
42. 如图，在平行四边形
面
平面
．
中，，，在上，且，将沿折起到的位置，使平
（1）求证：（2）求二面角
．
的余弦值的大小．
43. 在四棱锥
上，且满足
中，平面平面，侧面是等边三角形，，，在棱
.
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(1)求证：(2)求二面角
；
的余弦值.
44. 设
（1）若（2）若（3）若
，函数，求曲线
在
．
处的切线方程；
无零点，求实数的取值范围；有两个相异零点
，求证：
．
45. 已知数列(1)若
，
的前n项和为.
；的前n项和为
，求证
，证明：
，数列
(2)在（1）的条件下，若
七、解答题
46. 某企业拟生产甲、乙两种产品，根据市场调研预测，甲产品的利润与投资额的算术平方根成正比，其关系如图1，乙产品的利润与投
资额成正比，其关系如图2.
(1)分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资额的函数关系式；
(2)如果企业将筹集到的160万元资金全部投入到甲、乙两种产品的生产中，试问：怎样分配这160万元的投资才能使该企业获得最大利润，
最大利润是多少？
47. 某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长
量超过12万件（已知
）．
．问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产
48. 2020年第七次全国人口普查摸底工作从10月11日开始，10月31日结束．从11月1日开始进入普查的正式登记阶段．普查员进入每个住户逐
人逐项登记普查信息，这期间还将随机抽取某社区对随机抽取的
的住户填报普查长表，调查更为详细的人口结构信息．整个登记工作持续到12月10日结束．
住户普查长表信息情况汇总，并按照住户人均年收入情况绘制出如下的频率分布直方图（假设该社区内住户人均年
收入均在0到12万之间．）：
（1）若抽取的（2）若从抽取的
住户中，家庭人均年收入在
万元的恰好有32户，则该社区共有住户约多少户．
住户中人均年收入不高于8万元的住户中按照分层抽样的方法抽取10户，再从这10户中随机抽取4户对其住房和医疗保
健情况进行调查，用X表示抽取的4户中家庭收入不少于6万元的住户数，求随机变量X的分布列与数学期望．
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49. 2021年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利.为了巩固拓展脱贫攻坚成果，不断提高群众的幸福感，某县继续推进山羊养殖项目.为了建设相
应的配套项目，该县主管部门对该县近年来山羊养殖业的规模进行了跟踪调查，得到了该县每年售卖山羊数量（单位：万只）与相应年份代码的数据如下表：
年份年份代码
售卖山羊数量（万只）
2015111
2016213
2017316
2018415
2019520
2020621
（1）由表可知与有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
（2）已知该县养殖的山羊品种只有甲、乙两种，且甲品种山羊与乙品种山羊的数量之比为
，甲品种山羊达到售卖标准后的出售价为
2500元/只，乙品种山羊达到售卖标准后的出售价为2700元/只.为了解养殖山羊所需要的时间，该县主管部门随机抽取了甲品种山羊和乙品种
山羊各100只进行调查，得到要达到售卖标准所需的养殖时间如下表：
养殖时间（月数）甲品种山羊（只）乙品种山羊（只）
62010
73530
83540
91020
以上述样本统计的养殖山羊所需时间情况估计全县养殖山羊所需时间（即以各养殖时间的频率作为各养殖时间的概率），且每月每只山羊的养殖成本为300元，结合（1）中所求回归方程，试求2022年该县养殖山羊所获利润的期望（假设山羊达到售卖标准后全部及时卖完）.（利润=卖山羊的收入一山羊的养殖成本）
参考公式及数据：回归直线方程为，其中，
.
50. 某小区物业每天从供应商购进定量小包装果蔬，供本小区居民扫码自行购买，每份成本15元，售价20元．如果下午6点之前没有售完，物
业将剩下的果蔬打五折于当天处理完毕．物业对20天本小区这种小包装果蔬下午6点之前的日需求量（单位：份）进行统计，得到如下条形图：
(1)假设物业某天购进20份果蔬，当天下午6点之前的需求量为n（单位：份，
（i）求日利润y（单位：元）关于n的函数解析式；
）．
（ii）以20天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求日利润不少于100元的概率．
(2)依据统计学知识，请设计一个方案，帮助物业决策每天购进的果蔬份数．只需说明原因，不需计算．
51. 某零件加工工厂生产某种型号的零件，每盒10个，每批生产若干盒，每个零件的成本为1元，每盒零件需要检验合格后方可出厂.检验方
案是从每盒零件中随机取出2个零件检验，若发现次品，就要把该盒10个零件全部检验，然后用合格品替换掉次品，方可出厂；若无次品，则认定该盒零件合格，不再检验，可出厂.
（1）若某盒零件有8个合格品，2个次品，求该盒零件一次检验即可出厂的概率；
（2）若每个零件售价10元，每个零件检验费用是1元.次品到达组装工厂被发现后，每个零件须由加工工厂退赔10元，并补偿1个经检验合格的零件给组装工厂.设每个零件是次品的概率是①若某盒10个零件中恰有3个次品的概率是
，求
，且相互.的最大值点
；
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②若以①中的元)的期望.
作为的值，由于质检员的失误，有一盒零件未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，求这盒零件最终利润(单位：
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