二次函数图像及性质详解

知识点1：二次函数的定义

一般地，若yax2bxc（a、b、c是常数，a0），那么，y叫做x的二次函数.

[注意]

（1）任何一个二次函数的解析式，都可以化成yax2bxc，叫做二次函数的一般式.

（2）二次函数yax2bxc（a0）中，x、y是变量，a、b、c是常量. 自变量x的取值范围是全体实数. b和c可以是任意实数，a必须是不等于0的实数. 因为

a0时，yax2bxc就是ybxc，若b0，则ybxc是一次函数；若b0，

则yc，这是一个常函数（即平行于x轴的一条直线）

（3）二次函数yax2bxc的结构特点是：等号左边是函数时，右边是关于自变量x的二次多项式，x最高次数是2.

（4）二次函数yax2bxc与一元二次方程ax2bxc0有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次方程了. 知识点2：二次函数yax2的图像

（1）二次函数yax2的图像是一条抛物线，其对称轴就是y轴，顶点在原点处，开

口方向由a的符号决定，当a＞0时，开口向上，抛物线在x轴上方，并向上无限延伸；当a＜0时，开口向下，抛物线在x轴下方，并向下无限延伸.

（2）抛物线yax2的开口大小由a决定，a越大，抛物线的开口越窄，反之则越宽.

知识点3：二次函数的yax2的性质

关于二次函数yax2的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数的增

开口方向 顶点坐标 对称轴 减性以及函数的最大值或最小值几个方面研究，详情如下表： 函数 图像 函数变化 极值 y x＞0时： y随x的增大向上 (0,0) yax 2a＞0 y轴 而增大. x0时，y最小x＜0时： y随x增大而减小. 0 O x

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y O 2yax x＞0时： y随x的增大x向下 (0,0) y轴 而减小. x0时，y最大a＜0 x＜0时： y随x增大而增大. 0 [注意] （1） 抛物线有最低点的条件是开口向上，即二次项系数大与0； （2） 函数有最大值的条件是开口向下，即二次项系数小与0.

（3）解与二次函数有关的问题时，最好画出抛物线的草图，以便利用数形结合思想

进行观察分析.另外，要特别注意a0这一隐含条件.

（4）一般的，抛物线顶点的纵坐标就是二次函数的极值.

知识点4 二次函数yax2bxc图象

（1）二次函数yax2k由yax2向上（下）平移k个单位而得到. 当k＞0时，抛物线yax2向上平移k个单位，得yax2k； 当k＜0时，抛物线yax2向下平移k个单位，得yax2k；

（2）二次函数ya(xh)2的图象可由抛物线yax2向右（或向左）平移得到. 当h＞0时，抛物线yax2向右平移h个单位得到ya(xh)2； 当k＜0时，抛物线yax2向左平移h个单位得到ya(xh)2.

一般的，抛物线ya(xh)2k与yax2的形状相同，只是位置不同. 抛物线

2ya(xh)k有如下特点：

（1）a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下； （2）对称轴是平行于y轴的直线xh； （3）顶点坐标是(h,k)；

（4）由于从ya(xh)2k中可直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把

2ya(xh)k(a0)叫做二次函数的标准式或顶点式；

（5）二次函数的一般式yax2bxc与顶点式ya(xh)2k的相互转化：

1通过去括号，合并同类项可将顶点式转化为一般式； ○

2通过配方○（与一元二次方程求根公式的推导过程一样）可将一般式yax2bxc - 2 -

转化为顶点式ya(xh)2k，并由此得抛物线yax2bxc的顶点坐标为

b4acb22a,4ab，其对称轴为x； 2a（6）二次函数yax2bxc的图像的基本特征：二次函数yax2bxc的图象是一条抛物线，它与抛物线yax2的形状相同，只是位置不同.

知识点5 二次函数yax2函数 bxc的性质

二次函数yax2bxc y y O x 图 像 O x 1．当a＞0时，抛物线开口向上，1．当a＜0时，抛物线开口向下，并向上无限延伸. 并向下无限延伸. 2．对称轴是xb4acb2标是2a,4ab2a，顶点坐 2．对称轴是xb4acb22a,4ab2ab2a，顶点坐标是. . b2a3．在对称轴左侧，即当x＜  3．在对称轴左侧，即当x＜性 时，y随x的增大而减小；在对称质 轴右侧，即当x＞b2a时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即当x＞b2a时，y随x的b2a时，y增大而增大.简记左减右增. 4．抛物线有最低点，当x4acb2是，y有最小值4a 随x的增大而减小；简记左增右减. 4．抛物线有最高点，当x4acb2y有最大值4a b2a是，知识点6 二次函数yax2bxc与一元二次方程ax2bxc0的关系

抛物线yax2bxc与x轴交点的横坐标x1、x2是一元二次方程ax2bxc0的

根. 当＞0是，抛物线与x轴有两个交点且其解析式可写为两根式的形式：

ya(xx1)(xx2).抛物线与x轴两交点的距离为：

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2x1x2=(x1x2)(x1x2)4x1x22cb4aa2

b4aca22b4aca2 (b24ac＞0)

注意：这是抛物线与x轴两个交点的距离公式. 知识点7 二次函数解析式的确定

二次函数解析式有三种形式：

（1） 一般式：yax2bxc（a、b、c为常数，a0）； （2） 顶点式：ya(xh)2k（a、h、k为常数，a0）； （3） 两根式：ya(xx1)(xx2)（a、x1、x2为常数， a0） 说明：

（1）任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式ya(xh)2k，抛物线顶点坐标（h、k）.

当hk0时，解析式变为yax2，顶点在原点上；

当h0，而k0时，解析式变为yax2k，顶点在y轴上； 当h0，而k0时，解析式变为ya(xh)2，顶点在x轴上；

（2）当抛物线yax2bxc与x轴有交点时，即对应二次方程ax2bxc0有实数根x1、x2存在时，根据二次三项式的因式分解公式：ax2bxca(xx1)(xx2)，二次函数yax2bxc可转化为两根式ya(xx1)(xx2).

要确定二次函数解析式，只需确定解析式中的待定系数（常数），由于每一种形式中

都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的解析式，必须知道三个条件.

当已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式yax2bxc；然后列出三元一次方程求解；

当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式

2ya(xh)k，求解.

当已知抛物线与x轴交点或交点横坐标时，通常设解析式为两根式

ya(xx1)(xx2)，求解.

[注意] 求函数解析式的问题，如果采用两根式或顶点式求解，最后都要化为一般式.

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知识点8 二次函数yax2bxc的图象的特征与a、b、c及的符号之间的关系

抛物线yax2bxc与其系数a、b、c及判别式的符号有着密切的联系。它们之间的制约关系如下表： 项目 字母 字母的符号 a＞0 a＜0 b0 ab＞0 ab＜0 c0 图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 与x轴有唯一一个交点 与x轴有两个交点 与x轴无交点 b c c＞0 c＜0 0 ＞0 ＜0  知识点9 如何研究抛物线的平移问题

抛物线yax2bxc可由抛物线yax2平移得到. 实际上，任意两条抛物线

ya1xb1xc1和ya2xb2xc2，只要它们的二次项系数相同，即a1a2，就可以

2通过平移使这两条抛物线重合，换言之，即其中一条抛物线可由另一条抛物线向左（或右）、向上（或下）平行移动而得到.由于平移时，抛物线上所有点的移动规律都相同，所以研究抛物线的平移问题，只需研究其顶点的运动情况，即可代表整条抛物线的移动情况. 因此，有关抛物线的平移问题，关键是先求出抛物线的顶点坐标，再利用二次函数的顶点式ya(xh)2k来讨论.

知识点10 如何求二次函数的极值

若自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当

xb2a2时，y最值

4acb4a.

若自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么，首先要看是否在自变量的取值范围内，若在此取值范围内，则当xb2a时，y最值

4acb4a2；若不在此范围内，则需考虑函数

在x1≤x≤x2范围内的增减性：

如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当xx2时，y

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最大

ax2bx2c2；当xx1时，y最小ax12bx1c；

如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当xx1时， y时，y最小ax22bx2c.

最大

当xx2ax1bx1c；

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