２０１ ２年 第１—２期 、＼ Ｊｏｕｍａ１ ｏｆ Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ ＮＯ １—２ ２０１２ 吴增生（浙江省仙居县教育局教研宣） 摘要：以数轴上点的运动为背帚让学生归纳有理数乘法法 计了学习资源，本质上设置了基于视觉的学习活动；浙教版课 则，由于涉及到时间、速度、位移等三个有正负方向的量，往 标教材利用了温度变化量（有正负方向）、时间（有正负方向）、 往容易造成视觉上的混乱，学生难以借助这种混乱视觉来完成 温度变化速度（有正负方向）的关系设计了学习活动，在本质 法则归纳任务．学习乘法和加法有不同的脑机制，加法更多地基 上与人教版课标教材相同． 于视觉加工，而乘法更多地基于语义加工．以数系扩充思想开展 北师大版实验教材采用的是因数变化导致积变化的变化序 从非负数乘法运算到有理数乘法运算的推广活动，以语义加工 列观察活动： 为主，以视觉加工为辅，这样的教学设计符合学生大脑认知规 律，能有效促进学生数学认知的发展． 首先利用水位变化观察，归纳出正数与正数相乘、负数与 正数相乘的积的特点，得到（一３）×４＝（一３）＋（一３）＋（一３） （一３）＝一１２． 关键词：有理数；乘法法则；教学设计 一接着，采用类比方法计算： 、有理数乘法教学的困惑 议一议 （一３）×４＝ 猜一猜 有理数乘法法则的学习中，对两个负数相乘法则的理解是 一个难点，其主要的困难是难以像有理数加法一样，用简单而 （一３）×３＝ 直观的数轴上点的运动来表征，事实上，在数学发展的历史中， （一３）×２＝ （一３）×１＝ （一３）×０＝ 引入负数和负数的运算也是困难重重的，尽管负数乘以负数法 则的数学史比较缺乏，但菲利克斯・克莱因在他所著的《高观点 下的初等数等 （第一卷）中介绍 了印度人从面积说明出发，从特 让学生思考：一个因数每减少１时，积怎样变化？通过比 较一个因数的变化规律和积的变化规律的关系来获得对“负负 得正”法则的理解． ３ ＾例向一般的推广过程（如图１）， 这一过程在他看来是“人类不由 自主地倾向于在更一般的情况下 ． 华东师大版课标教材采用分步概括的方法，先通过数轴上 一 一 一 一 左右运动中时间、速度和位移的关系的观察得到正数乘以正数 ＾＾） ３ ３ ３ 运用从特例中得到的法则”，是 人类本性的一种表现． （０一ｂ）（ｃ—ｄ）＝∞一ａｄ—ｂｅ＋ｂｄ 图１ 法则、负数与正数的乘法法则，通过比较３×２＝６和（一３）×２： ；（ × × × × ｌ ２ 一一 ３ 一 ４ 一一从特例到一般，认为对于任意数 ，６，Ｃ，ｄ，式子（０— ６）（ｃ—ｄ ｎｃ—ａｄ—ｂｃ＋６ｄ仍然成立，再让８＝ｃ＝０，就得到 （一６）（一ｄ）＝ｂｄ． ６概括出“两数相乘，若把一个因数变成它的相反数，则所得 ＾＾＾） 的积也变成原来的积的相反数”（从而避开了规定时间正负）， 再运用概括出的规律得到：（一３）×２：一６－－－＊（一３）×（一２）＝６，并 ＝ ＝ Ｉｌ ＝ 现在看来，这样的推理显然是立不住脚的，但当时就是这 样得到“负负得正”法则的． 进一步概括出两个负数相乘的运算法则． 尽管各版本教材对有理数乘法的法则提供了不同的教学思 在数学发展历史上，字母表示数和负数的引入是交错在一 路，但遗憾的是，学生对法则的合理性理解并不如人意．绝大多 起的，尽管人们起初对负数有排斥观点，但逻辑基础不牢固的 数学生在学习了法则后，难以理解其合理性．①把速度、时间 负数的运算法则一直在运用了好多个世纪后，才于１９世纪考虑 和位移全在数轴上表示，由于涉及到三个向量，学生容易混淆，特别是给时间规定正负，学生是最难理解的．②把负整数与正 到了它的逻辑相容性． 正是由于对“负负得正”运算法则的形成的数学史的缺失， 整数相乘，再把正因数依次减少１，观察其积的变化规律，通过 才造成当代数学教学中对这一法则教学的内容呈现说明方式的 归纳得到“负负得正”，这又过于形式化，学生还是不能理解法 多样性，形成至今“没有公认的教学方法”的局面，在我国， 则是怎样得到的，为什么是合理的．③采用分步概括的方法先 各版本的教材采用了各自不同的方法呈现了帮助学生理解法则 得到“两数相乘，若把一个因数变成它的相反数，则所得的积 的资源． 也变成原来的积的相反数”，再概括出两个负数相乘的运算法 人教版实验教材利用直线上点的运动的时间（有正负方 则，这样做有利于学生对法则合理性的理解，但同样有过于形 向）、速度（有正负方向）和位移（有正负方向）之间的关系设 式化的问题，其合理性缺乏必要的验证． 收稿日期：２０１１－１０—１ｌ 作者简介：吴增生（１９６２一），男，浙江仙居人，中学高级教师，浙江省特级教师，主要从事中学数学教育研究 ２６ 二、乘法学习和加法学习的认知加工方式差异 拓展运算的基本原则是保持运算和运算律在扩充前后的相容性． 既然数学史难以为有理数教学提供典型的思维样例，那么 有理数的乘法运算法则，是把数集从非负数扩充到有理数后， 我们能否从学习过程的认知加工机制上获得借鉴呢？在教学实 把非负数集合中的乘法法则推广到有理数集中，而这种推广得 践中，教材编写者和教师总是希望像有理数加法一样，从直观、 到的法则的合理性需要从（运算法则和运算律）的相容性以及 具有现实意义的例子观察开始，这样做是否有利于学生的理解， 实际意义两方面去检验．从学习的脑机制看，有理数乘法运算是 最大限度地促进学生数学认知能力的发展呢？ 基于语义的加工，是小学学习过的非负数乘法法则在保证运算 有理数的乘法运算的学习是建立在小学正数乘法法则学习 律成立下的自然合理的推广．在基于脑、适于脑和开发脑（３Ｂ） 的基础上的，具有与小学乘法运算相似的脑机制，在数字运算 的教育理念下，有理数乘法教学应该让学生参与数系扩充的过 的脑机制研究中，研究人员分别在加法运算任务和乘法运算任 程，进行与学生已有认知加工方式相匹配的认知加工活动，在 务下进行了考查，发现两者具有不同的特征，相比之下，乘法 数学认知加工活动中发展脑的数学认知加工能力．这就要求有理 有更多的语义加工，而加法有更多的与视觉表象加工相关的活动． 数乘法法则形成的学习活动设计中，坚持以语义加工为主，兼 为什么正数的加法运算更多地表现出视觉加工方式，而乘 顾视觉空间加工，同时，让学生初步体会数系扩充的目的和基 法运算则更多地表现为语义加工方式呢？这是与儿童最初的学 本原则． 附件：有理数乘法法则概括教学过程设计 习方式有关的．在学习加法时，儿童用实物集合的并的直观模 １．创设情境，提出问题 型结合数字加工方式进行，如５＋３理解为“现有５支铅笔，再 师：前面，我们学习了有理数的加法运算，我们知道，有 拿来３支铅笔，共有８支铅笔”，并采用如数手指、看图形（如 理数有正有负，有理数的加法运算是先定符号再算绝对值，把 图２）等方法进行学习． 有理数运算转化为小学学习过的加法运算问题，只不过在小学 数字加法运算的视觉／空间加工特征 的加法运算基础上增加了符号法则，而且有理数的加法运算满 足结合律和交换律． 小学中，还学习了数的乘法，那么，两个有理数能进行乘 ＋ ： 法运算吗？怎样进行乘法运算——这就是今天要学习的内容． 【设计意图】回顾从非负数到有理数的扩充和加法运算的推 图２ 广过程，重温有理数加法运算方法及其性质（运算律），让学生 多位数加法建立在数字加法和数位操作（进位）的基础上， 初步体会到数系的扩充既是生活实际的需要，也是扩充数集， 数位操作也具有视觉加工的优势，正是这种建立在视觉，空间加 拓展运算的需要，为把小学中的非负数乘法运算推广到有理数 工基础上的学习，才使正数加法运算表现出更多的视觉／空间加 范围提供类比的经验，引导学生自然合理地提出问题． 工特征． ２．回顾知识．明确问题 正数乘法运算建立在语言符号意义的基础上，尽管也有数 师：我们知道，有理数包括正数、负数和０，那么有理数的 位操作、数字识别加工等视觉加工，但对乘法法则的理解是建 运算可以分成哪几类？ 立在“累加”（如４＋４＋４＋４＋－４＝５×４）的简约表示的机制上 生 ：正数Ｘ正数，正数Ｘ负数，正数Ｘ ０；负数Ｘ正数， 的，其本质是对特殊的加法运算的二次抽象，因此，正数的乘 负数Ｘ负数，负数ＸＯ；Ｏ×正数，０Ｘ负数，０Ｘ Ｏ． 法运算更多地表现出语义加工的特征． 如果我们希望给出的乘法运算与加法运算类似，也满足运 有理数的加法学习和乘法学习具有不同的大脑信息加工机 算律，那么上述问题进一步可简化为哪几类问题？ 制，尽管这两种学习活动都需要视觉经验的支撑，但前者更多 生，：正数Ｘ正数，正数Ｘ０，负数Ｘ０，正数Ｘ负数，负数Ｘ 地体现出视觉，空间加工的特征，而后者更多地表现为语义加工 负数． 特征，因此，在有理数乘法运算中，以基于运动模型的直观视 【设计意图】回顾有理数按符号分类，能让学生知道哪些数 觉／空间加工方式为核心认知活动显然与学生学习的脑机制不匹 的乘法运算已经学过，哪些数之间的乘法运算没有学过，使学生 配．而复杂的时间向量、速度向量和位移向量的组合动态图形更 明确运算法则推广任务的起点和目标，为产生分类样例打下基 使学生眼花缭乱，不得要领．以语义加工为主，以视觉／空间加 础，这样，在进行法则归纳时，可以引导学生自己提出归纳的样 工为辅的加工方式比较适合有理数加法的学习，这样既适应了 例（而非教师给出），同时，通过类比加法运算，提出本课得到 大脑已有的信息加工方式，又能通过直观模型建立法则与视觉 的乘法运算也要像小学中的乘法运算一样满足运算律，使学生初 空间加工方式的联系，从而有效开发大脑不同功能区的认知加 步感受数系扩充中运算推广的基本要求：保持运算律．基于脑的 工功能的协调发展． 学习要求学生大脑“沉浸”于问题情境中，学习的关键活动是 三、教学设计的创新——基于数系扩充思想的法则形成过 “情境、关联和情绪”．本课采用问题解决策略组织教学，引导学 程教学设计 生自然合理地提出问题、分析问题和解决问题，采用自然合理地 从非负数到有理数，是数的第一次扩充，数的扩充的核心 联系学生学习经验的方法，从而避开了一开始就让学生不知缘由 目标是“扩大数集、拓展运算、拓宽应用领域”，数系扩充中， 地观察复杂的视觉模型，这是本课教学设计的创新之一． ２７ ３．分类讨论，抽象概括 首先，用算术方法得至 相对高度为＿２千米时的气温为１．２ ｑＣ； 规定高度增加为正，减少为负；气温提高为正，降低为负， 这样就得到（一２）×（－ｏ．６）＝１．２ 可以用动画展示这种气温 ①正数×正数． ②正数ｘ０． 这是已经学过的知识，不需要重新研究； ③负数×０． 类比正数与０相乘，得到结果应该为０． 与高度之间的关系（如图４）． 在此基础上，引导学生回 顾生活经验“水费预存”． 综合②、③得到“任何数与０相乘，结果得０”． 【设计意图】这是小学乘法运算的回顾，并在此基础上得到 模型２：小英家５个月前 ：螯０．６＂Ｃ １２ “０与任何有理数相乘积为０”，其目的是使认知任务更明确—— 在水费预存帐户存入一笔钱，研究负数与正数的乘法和负数与负数的乘法． ④正数×负数． 先让学生给出需要确定乘法运算结果的一个正数和一个负 数，如３×（一２），想想应该怎样计算，类比正数乘以正数的法 则，得３×（一２）＝（一２）＋（一２）＋（一２）＝一６，通过变化因数得到 几个有代表性的算式，通过观察这些算式及其运算结果的特征， 归纳出“正数乘以负数，积的符号为负，积的绝对值等于因数 的绝对值的积”，并让学生结合数轴上点的运动和生活经验 （如连续等额付出）说说这样计算是否合理（如图３）． ７—６—５—４—３—２—１ Ｏ ｌ 图３ 冉根据交换律（我们要求规定的运算法则满足交换律），得 到负数乘以正数也一样，“负数乘以正数，积的符号为负，积的 绝对值等于因数的绝对值的积”． 【设计意图】引导学生类比小学乘法运算的意义，用自己的 概括，得到正数乘负数的方法，并结合生活经验，说说这样运 算的台理性，让学生在解决问题的基础上，结合数轴和生活经 验解释运算的合理性．在此基础上，根据“乘法运算律仍然保 持”的要求，得到负数乘正数的法则．这是在语义加工的基础 上，通过类比和归纳进行学习，并引导学生利用数轴、提取生 活经验，检验、类比和９３＿－纳结果的合理性．在这样的学习活动 中，学生经历了类比、归纳和检验等数学核心认知加工活动， 这些认知加工活动具有发展数学认知能力的高价值． ⑤负数×负数． 师：先从具体的数开始：如（一３）×（一２），结果是什么呢？ 我ｆ『］知道（一３）×０＝０，（一２）＋２＝０， 所以（一３）×０：（一３）×［２＋（—２）］＝（一３）×２十（一３）×（一２）＝０ （因为我们要求给出的乘法运算法则满足分配律）． 也就是说，（一３）×（－２）是３×（－２）的相反数，而３×（一２）＝ 一６．所以（一３）×（一２）＝６． 再通过几个负数与负数相乘的例子得到负数乘以负数的法 则“负数乘以负数，积的符号为正，积的绝对值等于因数的绝 对值的积”．在此基础上，寻找适当的生活实际模型说明这种法 则的合理性． 模型１：登山运动员在登山过程中，发现高度每增加１千 米，气温就下降０．６℃，他们现在所取的地方温度为０℃，相对 高度记为０千米．那么相对高度为一２千米时气温为多少？能用 算式表示这一过程吗？ ２８ 在完成５个月的水费扣除（包 括本月）后，帐户恰好没有钱 图４ 了，如果每月从帐户上扣的水费为６０元．那么小英家当初存入 帐户的钱是多少？ 引导学生先规定在帐户上存钱为正，扣钱为负，本月前的 时间为负，本月后的时间为正，并用表格表示帐户上的钱的变 化如表１所示 表１ ｝月份 一５ １ —４ －３ －２ —１ Ｏ ｌ 帐户上的钱 ３００ Ｊ ２４０ １８０ １２Ｏ ６０ ０ －６０ 这样就可以得到（一５）×（一６０）＝３００． ⑥在上述分类讨论的基础上，进一步概括得到有理数的乘 法法则． 【设计意图】“负负得正”法则，是有理数乘法学习的难点．采 用数系扩充思想，在形成运算法９２《的过程中，从负数乘以０出 发，把０看作两个相反数的和，结合乘法分配律的要求，通过 观察和归纳得到“负负得正”法则，在得到结果的基础上，采 用适当的直观模型，检验运算结果的合理性，在模型１中， “高度越高，气温越低”和“规定气温０。Ｃ处相对高度为０”符 合学生的生活常识，学生更容易理解．模型２中，随着扣款月数 增加，帐户上的钱越来越少；扣款月数越少，帐户上留的钱越 多，这也与学生的生活经验相匹配．用与学生生活经验中正负经 验相匹配的实际模型说明法则的合理性，可以减轻学生的工作 记忆负担，从而提高概括法则的信息加工效率． 【总评】上述教学设计最显著的特点是：用问题解决教学策 略，基于数系扩充思想，设计合理的认知活动，引导学生自然合 理地提出问题、分析问题、解决问题，以语义加工为主，通过类 比、归纳和初步演绎计算，自然合理地发现法则，用数轴和生活 经验检验法则的合理性．这一教学设计遵循了有理数乘法学习中， 以语义加工为主、以视觉加工为辅的大脑认知加工规律，重视了 大脑学习的“情境、关联、情绪”关键因素作用．通过创设问题 情境，引导学生积极主动地参与数学感知、表征、抽象概括、推 理等认知加工活动，从而发展学生的数学认知加工功能，也就是 说，体现了基于脑、适于脑和发展脑的“３Ｂ”数学教育思想． 参考文献： ［１］菲利克斯・克莱因 高观点下的初等数学（第一卷）［Ｍ］．南 京：复旦大学出版社，２００８． ［２］吴增生．３Ｂ教育理念下的数学原理教学策略［Ｊ］．中国 数学教育（初中版），２０１１（７／８）：３－９．
