第6章 解耦控制_7475081.doc1

解耦控制是多输入多输出系统的重要问题，目的是寻找合适的控制规律使系统的参考输入和输出之间实现一一对应的控制，成为若干个互不影响的单输入单输出系统，使系统的控制和分析简单化。

本章仅讨论输入输出维数相同的线性定常系统的解耦问题。 §1 串联补偿器方法

设受控系统的传递函数阵是GO(s)，串联补偿器方法的设想如下图所示：用原系统的逆系统“抵消”原系统，得到所希望的新系统GL(s)。为了实现解耦控制，GL(s)应为非奇异对角阵。

v GC(s) GL(s) GO(sGO(s1GO(s)u y GO(s) GO(s GO(s图1-1 串联补偿解耦控制

显然，给定GO(s)和GL(s)，串联补偿器的设计如下：

GC(s)GO(s)GL(s)

1（1-1）

注意，GO(s)中每个元素的分母与分子均为s的多项式，通常分母的

1幂次高于分子，对GO，则是分子的幂(s)而言（若数学上存在的话）

次高于分母（非因果）。 为了保证GC(s)在物理上可实现，GL(s)分母的幂次应高于分子，一个最简单的形式如下：

1α1sGL(s),1αin,1αsm

i1,,m （1-2）

[定义1-1] 传递函数阵为非奇异对角阵的系统称为输入输出解耦系统，简称为解耦系统。

[定义1-2] 对角元素为阶积分器的解耦系统称为阶积分型解耦系统，简称为ID系统。

第六章 解耦控制 1

[例1-1] 求一个串联补偿器使下述系统实现解耦控制。

1sGO(s)s1s(s1)1s1 1s1解：

s112GO(s)2s12ss122 (s1)2s1由于GC(s)GO(s)GL(s)，为了保证GC(s)可实现，可选：

GL(s)diag1,s1 s从而得到：

s12sGC(s)2s122ss12s2(s1)22s

思考：本例中，GL(s)还可以取其它形式吗？如：

diag1,1， diags1,s1 2s§2状态反馈＋输入变换

串联补偿器增加了系统的动态，实现起来也比较复杂。本节讨论另一种方法：状态反馈＋输入变换。设待解耦的系统如下：

xR,nOuR,mAxBux:yCx （2-1）

yRm； A, B, C 是适当维数的矩阵。

uRvFx

控制律采用{F,R}变换（状态反馈＋输入变换），即：

vRm（2-2）

是参考输入，F和R是适当维数的矩阵。变换后的系统如下：

(ABF)xBRvxL:yCx

（2-3）

第六章 解耦控制 2

v Ru (A,B)F x Cy 图2-1 反馈解耦控制

[定义2-1] 系统(A,B,C)可{F,R}解耦，指存在控制律uRvFx使闭环系统(ABF,BR,C)为解耦系统。

考察待解耦的系统（2-1），我们有：

yicix， ciyi(1)(2)是C的第i行，yi对t求导得：

， 若ciB0继续求导

， 若ciAB0继续求导

2ciAxciBucixyiciAxciABuciAx

设求导i次后，有：

yi(i)ciAixciAi1Bu，ciA1B0

i[定义2-2] 解耦阶常数定义为输入u可以直接影响的输出yi对时间导数的最小阶i，即：

imin{kciAk1B0,1kn},i1,,m （2-4）

若ciAk1B0对1kn均成立，上述定义还有效吗？ 如果m个i已求出，则下式成立：

y()y1(y(m1)mc1A)cAm1mc1AxcAm11mBuLxD0u1B

实现阶积分型解耦的目标是：yi(i)vi，i1,,m，即： 若det

vyD00，则有：

()LxD0u

uRvFx,RD0,1FD0L

1（2-5a）

第六章 解耦控制 3

c1AD0cAm11mc1BAL， 1cABm1m （2-5b）

[定义2-3] 式（2-5b）中的矩阵D0称为可解耦矩阵。

[定理2-1] 系统(A,B,C)可{F,R}解耦的充要条件是：可解耦矩阵

D0非奇异。实现积分型解耦所需的{F,R}由式（2-5）确定，闭环

传递函数阵为：diag[1s,,1s]。

1m§3 解耦阶常数的性质

[定理3-1] 设系统O(A,B,C)的解耦阶常数为，可解耦矩阵为

iD0，经任意{F,R}(detR0)变换后的闭环系统L(ABF,BR,C)，

其解耦阶常数仍为，可解耦矩阵为D0R。

i证：设O(A,B,C)的解耦阶常数为i,对于所有的ki1,,m

i1，我们有：

kk1ci(ABF)ciAciAk1kciB0ciAB0ciAk1ciA(ABF)

(ABF)B0考虑到detR0，由以上结果可得：

ci(ABF)BRciABRkk00if ki1if ki1

命题得证。

[定理3-2] 设传递函数阵GO(s)第i行为gi(s)，其各元同分母的阶次为di，各元分子的最大阶次为ni，则i于gi(s)对应元分子ni次幂项的系数。 证： gi(s)ci(sIA)1B，其中,

(sIA)1dini，D0第i行的各元等

P(s)(s)

第六章 解耦控制 4

(s)s1sP(s)p0(s)Ann-1n1sn p1(s)An2n1pn2(s)Apn1(s)I

注意，pi(s)是幂次为i的s的首一多项式。综上，并考虑到

ciAB0,ki1，以及ciAki1B0，得到：

i1gi(s)1(s)p0(s)ciAn1Bpn-(s)ciAiB

可见，当gi(s)的公分母为(s)时，diin，nini；且ni次幂项

的系数为ciA1B，恰为D0的第i行；满足定理。此外，gi(s)的公分母不是(s)时（有对消），不影响上面的结论。证毕。

uyi的输出可控性矩阵为：Qi[ciBciABciAn1B]，

i可控性指数i是使Qi满秩的最小分块数（左起），显然，i。

gi(s)0时，1in；gi(s)0时，i不存在，相应的yi不可

控，此时，D0的第i行为零，detD00，不可{F,R}解耦。

[例3-1] 给定受控系统O(A,B,C)，设计{F,R}解耦。

0A010020131B000011C0100 1解： （1） 设计

c1B1001011

c2B021

01detD00

d1c1B1D00d2c2B

注：亦可根据传递函数阵确定i和di

2s3s21GO(s)C(sIA)B32s3s2ss1s 2s由第一行得到：11,d110

01 由第二行得到：21,d2 第六章 解耦控制 5

c1A10L2c2A102131D0L

01021 3R1D01001F（2） 校核

0ABF010020010310s20021000300s000011 s11 0(sIABF)1s2130s010ss1s20s2s0GL(s)C(sIABF)1sBR2s0011ss00 1可以看出，闭环系统确是ID系统，解耦阶常数和原系统相同。

§4 闭环极点配置

ID系统的子系统为i阶积分器，极点均为0，系统不是渐近稳

定的。能否既保证解耦，又能将极点重新配置呢？

对于阶积分型解耦系统的第i个子系统：

vi(s)i(s)yi(s),i(s)s

i我们希望重新配置极点，使得

vi(s)i(s)yi(s),i(s)sii1si1ii

即： vi(t)yi(i)(t)i1yi(i1)(t)iiyi(t)

(k)yikcAxicAxcAiiikii1Bui1kiBu(t)

vi(t)cii(A)x(t)ciA写成向量形式：v

LxD0u，得到：

uRvFx,RD0,1FD0L

1（4-1a）

第六章 解耦控制 6

c1AD0cAm11mc1B1(A)L，

1c(A)Bmm（4-1b）

i(A)Aii1Ai1iiI （4-1c）

[定理4-1] 系统(A,B,C)可{F,R}解耦的充要条件是：可解耦矩阵

D0非奇异。解耦时，每个子系统可以任意配置极点，所需的{F,R}由式（4-1）确定，闭环传递函数阵为：diag[11(s),,1m (s)]。

不难看出，若选取i(s)i(s)si，则i个极点均为0。因此，积分型解耦系统不过是这里所述一般解耦系统的特例。 思考：当系统可{F,R}解耦时，其解耦阶常数之和与系统的可控模态数有什么关系？

[例4-1] 给定受控系统O(A,B,C)，设计{F,R}解耦，并配置极点。

0A010020131B000011C0100 1解：（该例的受控系统同[例3-1]） （1） 设计

c1B1001011

c2B021 2(s)s2

01c11(A)c1(A1I)L

c22(A)c2(A2I) 设：1(s)s1,c1B1D0c2B01D0R10011 FD0L1112231

（2） 校核

1ABF001001121BR000011C01001

第六章 解耦控制 7

1s11GL(s)C(sIABF)BR0 1s20（3） （复习用）可控可观性讨论（从零极对消的观点） （a）预解矩阵：(sIABF)1

s(s2)10s(s1)(s2)01(s2)(s1)(s2)0(s1)s1 s(s1)设 0、1、2 互不相同，在预解矩阵中无零极对消。 （b）输入到状态的传递函数阵：(sIABF)1BR

s(s2)10s(s1)(s2)0(s1)s1 s(s1)总体上无对消，完全可控。第一列（v1）有对消，仅1可控；第二列（v2）有对消，仅0、2可控。 （c）初态到输出的传递函数阵：C(sIABF)1

s(s2)0s(s1)(s2)1s(s2)0s(s1)0

总体上有对消，不完全可观。第一行（y1）有对消，仅1可观；第二行（y2）有对消，仅2可观。 （d）输入到输出的传递函数阵：C(sIABF)1BR

s(s2)0s(s1)(s2)1 s(s1)y1）

0总体上有对消，不完全可控可观。第一行第一列（v1有对消，仅1可控可观；第二行第二列（v2y2）有对消，

仅2可控可观。系统内部存在一个可控不可观的极点：0。 思考：传递函数反映的是系统可控且可观的部分。传递函数阵为

第六章 解耦控制

8

对角阵意味着什么？ §5 解耦控制的零点问题※

上述解耦控制方法所能配置的极点数等于解耦阶常数之和。当该和数小于系统的可控模态数时（如前例中，解耦阶常数之和为2，可控模态数为3），意味着闭环系统存在被消去的可控极点（可能是不稳定的），这种极点能否重新配置而仍能实现解耦控制呢？ 设GO(s)第i行的行零点（指该行各元素的分母为系统特征多项式时，分子s多项式的公因子）为ni(s)，则下式和下图成立：

n1(s)GO(s)~~G(s)N(s)GO(s) Onm(s)（5-1）

u ~GO(s)~y N(s) y y GO(s)y图5-1

假定GO(s)和GO(s)分别对应于O(A,B,C)和O(A,B,C)，不难看出，如果O可以通过{F,R}实现解耦，且将第i个子系统的极点配置得和O的行零点ni(s)相异，则O必然可以通过同样的矩阵对

{F,R}实现解耦，并保留了相应的行零点。显然，保留下来的零点

~~~~数就是增配的极点数。

现在，问题转化为如何确定C阵。从C的定义，我们有：

或：

~11N(s)C(sIA)BC(sIA)B ~(sIA)1Bc(sIA)1B ni(s)cii~~（5-2）

~。事实上，当原系统传递函数阵的某根据上述公式，就可以确定ci~c，不必计算。 行没有行零点时，即，ni(s)=1，此时，cii[例5-1] 给定受控系统O(A,B,C)，解耦并配置尽可能多的极点。

第六章 解耦控制 9

0A010020131B000011C0100 1解：（该例的受控系统同[例4-1]） （1） 设计

(s1)(s2)11(sIA)B1s(s1)(s2)s0s 2s2s3s11GO(s)C(sIA)Bs(s1)(s2)s1s 2s由GO(s)得到：n1(s)1,n2(s)s

r2r3]

~c，下面确定 c~[r从而有：c1121~(sIA)1Bc(sIA)1B，得到： 由公式 ni(s)ciis[r1r2(s1)(s2)r3]1s0ss2ss2

r10,r21,r30r1?,r21,r30由第一列：r1(s1)(s2)r2r3s1 

由第二列：r10r2sr3s2s

~(110)，c~(010) 综上，有c12下面，对O(A,B,C)进行{F,R}解耦和极点配置。

~由GO(s)[参见GO(s)]得到：1~~1,~2,2D0I2

~ 对子系统1（1~对子系统2（21），设 1(s)s1

2），设 2(s)(s2)(s3)

~(A)c1L11~c22(A)11223 3231求得{F,R}：RD01I2,FD01LL （2） 校核

1ABF00

102312311BR00001

第六章 解耦控制 10

GL(s)C(sIABF)1BR

(s1)s1

s(s1)(s2)(s3)1C0(s1)(s2)(s3)01s10

s(s2)(s3)0§6 静态解耦控制

前面讨论的解耦问题又称动态解耦，本节考虑所谓的静态解耦。 [定义6-1] 渐近稳定且静态增益矩阵G(0)为非奇异对角阵的系统称为静态解耦系统。

不难看出，当系统静态解耦时，某个输入的阶跃变化将引起相应输出的变化，而对其它输出的稳态没有影响（动态可能有影响）。在许多应用场合静态解耦是可以接受的。

[定义6-2] 受控系统(A,B,C)可以{F,R}静态解耦，是指存在控制律uRvFx使闭环系统(ABF,BR,C)实现静态解耦。

设待解耦的系统为：O(A,B,C)，控制律采用{F,R}变换：

uRvFx

（6-1a） （6-1b）

得到闭环系统：GL(s)C(sIAL)1BR，其中

ALABF

1B)0，则根据希望的GL(0)可以求得： 若AL渐稳，且det(CAL

R(CALB)GL(0)

11（6-1c）

[定理6-1] 系统(A,B,C)可{F,R}静态解耦的充要条件是：(A,B)可镇定，且有

AdetCB0 0（6-2）

可解耦时，所需的{F,R}由式（6-1）确定。 证明：（1）(A,B)可镇定  可选择F使AL

第六章 解耦控制

ABF渐稳。

11

（2）detCAB0 0A1 det(CALB)0

（a）detLCABFCBAdet0CBA0CB0

0IBI0F

（b）detLCI00AB001  det(CALB)0

I11CALBCAL0ALIC1BAL00ALB I1[例6-1] 给定受控系统O(A,B,C)，求静态解耦的{F,R}变换。

1A010200311B000110C01001

D00），

解：不难验证，该系统不存在动态解耦的{F,R}变换（det（1） 选择反馈阵F

但由于满足[定理6-1]给出的条件，因而可以静态解耦。 考察原系统，矩阵A的特征值为：1,2,1，不妨将闭环极点设置为：1,2,3，容易得到：

0F00010AABF0，L41020013

（2） 计算输入变换阵R

1AL6116203001111，CALB62222

设希望的GL(0)为单位阵，根据公式（6-1）求得：

R(CA11B)GLL2(0)221

（3） 校验闭环传递函数

GL(s)C(sIAL)1BR

第六章 解耦控制 12

2(s23s3)(s1)(s2)(s3)2s(s2)11GL(0)001s(s3)(s2)(s3)

可实现静态解耦控制的系统未必能实现动态解耦控制（见该例）。 思考：可实现动态解耦控制的系统一定能实现静态解耦控制吗？（请检验[例4-1]）为什么？

第六章习题

1．求一个串联补偿器使下述系统解耦，并使得已解耦的两个子系统的极点分别是1，1和2，0。

1s1G(s)1s(s1)s21s 12．对上题给定的G(s)，计算解耦阶常数i和可解耦性矩阵D0，从而判断G(s)的最小实现(A,B,C)是否可{F,R}解耦？

3．给定受控系统(A,B,C)，求一个{F,R}变换，使闭环为积分型解耦系统；判断该闭环系统是否产生零极相消？

1A012403112B103471C40230

4．给定受控系统(A,B,C)，检查是否存在{F,R}变换使系统解耦？若存在，解耦后的系统可配置几个极点？是否产生零极相消？

0A111100100B101011C00110

5．给定受控系统(A,B,C)，求{F,R}变换使系统解耦，且保持原系统的极点不变。

第六章 解耦控制 13

0A011030131B000011C00100

6．给定受控系统(A,B,C)，求{F,R}变换使系统解耦，且每个子系统的极点都配置在1上。

03 A00100200000210yCx01B0000011C000010 0xBu,7．给定系统x1mn，，其中 xRn,u,yRm，

问：（a）在什么条件下，存在{F,R}变换，即uRvFx，使得v到y解耦？（b）假定条件满足，请确定所需的{F,R}变换，要求传递函数的极点均为1；（c）写出变换后闭环系统的方程，验证v到y的传递函数阵为(s1)1Im。

8．给定受控系统(A,B,C)，问：是否存在{F,R}变换使系统解耦或静态解耦？如存在，求该变换。

10 A10200311B000111C0010 1

第六章 解耦控制 14