高三数学知识点总结(经典版)

高三数学知识点总结(经典版)

高中数学知识梳理总汇及复习

第一部分 集合与函数

1、在集合运算中一定要分清代表元的含义.

[举例1]已知集P{y|yx,xR},Q{y|y2,xR}，求PQ.

2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.

[举例]若A{x|xa},B{x|x2}且AB，求a的取值范围.

3、充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若

若AB，则xAAB，则xA是xB的充分条件；

是xB的必要条件；若AB且AB即AB，则xA是xB的充要条件.有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便.充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”，是两种不同形式的问题. ［举例］设有集合M{(x,y)|xy2},N{(x,y)|yx2}，则点PM的＿＿＿＿＿＿＿条件是点PN；点PM是点PN的＿＿＿＿＿＿＿条件.

4、掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之

2x222

间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假. ［举例］命题：“若两个实数的积是有理数，则此两实数都是有理数”的否命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿，它是＿＿＿＿（填真或假）命题.

5、若函数yf(x)的图像关于直线xa对称，则有f(ax)f(ax)或f(2ax)f(x)等，反之亦然.注意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对称问题.函数yf(x)的图像关于直线xa的对称曲线是函数yf(2ax)的图像，函数yf(x)的图像关于点(a,b)的对称曲线是函数y2bf(2ax)的图像.

[举例1]若函数yf(x1)是偶函数，则yf(x)的图像关于＿＿＿＿＿＿对称.

[举例2]若函数yf(x)满足对于任意的xR有

且当x2时f(x)xx，则当x2时f(x)f(2x)f(2x)，

＿＿＿＿＿＿＿＿. 6、若函数yf(x)满足：f(xa)f(xa)(a0)则f(x)是以2a为周期的函数.注意：不要和对称性相混淆.若函数yf(x)满足：f(xa)f(x)(a0)则f(x)是以2a为周期的函数.（注意：若函数f(x)满足f(xa)f1，则f(x)(x)2也是周期函数）

［举例］已知函数yf(x)满足：对于任意的xR有

f(x1)f(x)成立，且当x[0,2) 时，f(x)2x1，则

f(1)f(2)f(3)f(2006)＿＿＿＿＿＿.

7、奇函数对定义域内的任意x满足f(x)f(x)0；偶函数对定义域内的任意x满足f(x)f(x)0.注意：使用函数奇偶性的定题时，得到的是关于变量x的恒等式而不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称；若函数yf(x)是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数.若yf(x)是奇函数且f(0)存在，则f(0)0；反之不然. ［举例1］若函数f(x)1a是奇函数，则实数a＿

2x1＿＿＿＿＿＿；

[举例2]若函数f(x)ax(b2)x3是定义在区间[2a1,2a]上的偶函数，则此函数的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

8、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.若函数yf(x)的图像关于直线xa对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域.

2

［举例］若函数yf(x)是定义在区间[3,3]上的偶函数，且在[3,0]上单调递增，若实数a 满足：f(2a1)f(a)，求a的取值范围.

9、要掌握函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数yf(x)的图像，作出函数yf(x),yf(|x|),y|f(x)|,yf(xa),yf(x)a的图像（注.意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换）；要特别关注yf(|x|),y|f(x)|的图像.

［举例］函数f(x)|log|2x1|1|的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

10、研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等.

［举例1］已知函数f(x)2x1,g(x)ax1，若不等式f(x)g(x)的解集不为空集，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

[举例2]若曲线y|x|1与直线ykxb没有公共点，则k,b应当满足的条件是 .

222

11、曲线可以作为函数图像的充要条件是：曲线与任何平行于y轴的直线至多只有一个交点.

一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域中元素须一一对应，反应在图像上平行于x轴的直线与图像至多有一个交点.单调函数必存在反函数吗？（是的,并且任何函数在它的每一个单调区间内总有反函数）.还应注意的是：有反函数的函数不一定是单调函数，你能举例吗？

［举例］函数f(x)x2ax1，（x[0,1][3,4]），若此函数存在反函数，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

12、求一个函数的反函数必须标明反函数的定义

域，反函数的定义域不能单从反函数的表达式上求解，而是求原函数的值域.求反函数的表达式的过程就是解（关于x的）方程的过程.注意：函数的反函数是唯一的，尤其在开平方过程中一定要注意正负号的确定.

［举例］函数f(x)log(x2x2),(x(,2])的反函数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

13、原函数的定义域是反函数的值域，原函数的

222

值域是反函数的定义域；原函数与反函数的图像关于直线yx对称；若函数yf(x)的定义域为A，值域为C，aA,bC,则有f(f(b))b,f(f(a))a.bf(a)af(b).需要特别注意一些复合函数的反函数问题.如yf(2x)反函数不是yf(2x). ［举例1］已知函数yf(x)的反函数是yf(x)，则函数y2f(3x4)的反函数的表达式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

2,x0 [举例2]已知f(x)，若f(a)3，则a111111x1log2(x),2x0＿＿＿＿. 14、判断函数的单调性可用有关单调性的性质（如

复合函数的单调性），但证明函数单调性只能用定义，不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明：函数yaxb,(a,b0)的单调x性.

[举例]函数f(x)ax1(a0)在x[1,)上是单调增函x数，求实数a的取值范围.

15、一元二次函数是最基本的初等函数，要熟练

掌握一元二次函数的有关性质.一元二次函数在闭区间上一定存在最大值与最小值，应会

结合二次函数的图像求最值.

［举例］求函数f(x)x2ax1在区间[1,3]的最值..

2

16、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次

方程是不可分割的三个知识点.解一元二次不等式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解集”，可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解.特别对于含参一元二次不等式的讨论比较方便.还应当注意的是；不等式解集区间的端点值是对应方程的根（或增根）.

[举例1]已知关于x的不等式|ax3|5的解集是[1,4]，则实数a的值为 .

［举例2］解关于x的不等式：ax2ax10(aR).

2第二部分 不等式

17、基本不等式ab2ab,ab(ab2)2要记住等号成立的

条件与a,b的取值范围“.一正、二定、三相等”，“积定和有最小值、和定积有最大值”，利用基本不等式求最值时要考虑到等号是否成立.与函数相关的应用题多有基本不等式的应用.

1

的最小值［举例］已知正数a,b满足a2b3，则1ab为＿＿＿＿＿＿.

18、学会运用基本不等式：||a||b|||ab||a||b|. ［举例1］若关于x的不等式|x1||x2|a的解集是R，则实数a的取值范围是＿＿；

[举例2]若关于x的不等式|x1||x2|a的解集不是空集，则实数a的取值范围是＿.

19、解分式不等式不能轻易去分母，通常采用：

移项（化一边为零）→通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正，（即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）→“序轴标根”（注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论）；解绝对值不等式的关键是“去绝对值”，通常有①利用绝对值不等式的性质②平方③讨论.特别注意：求一个变量的范围时，若分段讨论的也是这个变量，结果要“归并”. ［举例］解关于x的不等式：a(xx21)1(a0).

20、求最值的常用方法：①用基本不等式（注意

条件：一正、二定、三相等）；②方程有解法③单调性；④换元法；一般而言：在用基本不等式求最值因“不相等”而受阻时，常用

,(a0)的单调性；求二次函数（自变函数yxax量受）的值域，先配方、再利用图像、单调性等；求分式函数的值域（自变量没有

）常用“逆求”（即判别式法）；求分式函数的值域（自变量受）通常分子、分母同除一个式子，变分子（分母）为常数.

1［举例1］已知函数f(x)ax3x的最大值不大于，62211又当x[1,]时，f(x)，求实数a的值. 428 [举例2]求函数f(x)x2x36x13在区间[2,2]上的最大

值与最小值.

21、遇到含参不等式（或含参方程）求其中某个

参数的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）；但是若该参数分离不出来（或很难分离），那么也可以整体研究函数yf(a,x)的最值.特别注意：双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量，另一个作为参数.

［举例］已知不等式4a220对于x[1,）恒成立，求实数a的取值范围.

xx第三部分 三角函数

)，则sintg；角的终边越“靠近”22、若(0,2轴时，角的正弦、正切的绝对值就较大，角的终边“靠近”x轴时，角的余弦、余切的绝对值就较大.

［举例1］已知[0,]，若sin|cos|0，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿.

［举例2］方程sinxx的解的个数为＿＿＿＿个.

y

23、求某个角或比较两角的大小：通常是求该角

的某个三角函数值（或比较两个角的三角函数值的大小），然后再定区间、求角（或根据三角函数的单调性比较出两个角的大小）.比如：由tgtg未必有；由同样未必有tgtg；两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如sinsin；则2k；或2k,kZ；若coscos，则2k,kZ；若tgtg，则k,kZ. ［举例1］已知,都是第一象限的角，则“”是“sinsin”的――（ ）

A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.

［举例2］已知0,0,，则“”是“sinsin”的―――（ ）

A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.

24、已知一个角的某一三角函数值求其它三角函

数值或角的大小，一定要根据角的范围来确定；能熟练掌握由tg的值求sin,cos的值的操作程序；给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和（差）

的三角公式求得.

［举例1］已知是第二象限的角，且cosa，利用a表示tg＿＿＿＿＿；

［举例2］已知6sinsincos2cos0,(,)，求222sin(23)的值.

25、欲求三角函数的周期、最值、单调区间等，

应注意运用二倍角正（余）弦公式，半角公

1式降次即：sinx1引入辅(1cos2x),cosx(1cos2x)；2222助角（特别注意，经常弄错）使用两角和、36差的正弦、余弦公式（合二为一），将所给的三角函数式化为yAsin(x)B的形式.函数y|Asin(x)|的周期是函数yAsin(x)周期的一半.

［举例］函数f(x)2cosx23sinxcosx1的最小正周期

为＿＿＿＿＿；最大值为＿＿；单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿；在区间[0,2]上，方程f(x)1的解集为＿

2

26、当自变量x的取值受时，求函数yAsin(x)的值域，应先确定x的取值范围，再利用三角函数的图像或单调性来确定sin(x)的取值范围，并注意A的正负；千万不能把x取值范围的两端点代入表达式求得.

［举例］已知函数f(x)2sinx(sinxcosx),x[0,]，求f(x)的最大值与最小值.

27、三角形中边角运算时通常利用正弦定理、余

弦定理转化为角（或边）处理.有关a,b,c的齐次式（等式或不等式），可以直接用正弦定理转化为三角式；当知道△ABC三边a,b,c平方的和差关系，常联想到余弦定理解题；正弦定理

abc应记为sin2R（其中R是△ABC外AsinBsinC接圆半径.

［举例］在△ABC中，a,b,c分别是A,B,C对边的长.已知a,b,c成等比数列，且acacbc，求A的

B大小及bsin的值. c22 28、在△ABC中：abABsinAsinB；sin(BC)sinA，cos(BC)

BCABCAsin，sincos等常用的结论须cosA，cos2222记住.三角形三内角A、B、C成等差数列，当

且仅当B. 3［举例1］在△ABC中，若2cosBsinAsinC，则△ABC的形状一定是――――（ ）

A、等腰直角三角形； B、直角三角形； C、等腰三角形； D、等边三角形.

29、sinxcosx,sinxcosx,sinxcosx这三者之间的关系虽然没

有列入同角三角比的基本关系式，但是它们在求值过程中经常会用到，要能熟练地掌握

(sinxcosx)12sinxcosx.求值时它们之间的关系式：

能根据角的范围进行正确的取舍. ［举例1］关于x的方程sin2xa(sinxcosx)20有实数根，求实数a的取值范围.

［举例2］已知(0,),且sincos1，则tg＿＿52＿＿＿.

30、正（余）弦函数图像的对称轴是平行于y轴且

过函数图像的最高点或最低点，两相邻对称轴之间的距离是半个周期；正（余）弦函数图像的对称中心是图像与“平衡轴”的交点，两相邻对称中心之间的距离也是半个周期. 函数ytgx,yctgx的图像没有对称轴，它们的对

称中心为(k2,0),kZ.两相邻对称轴之间的距离也是半个周期.

［举例1］已知函数f(x)sin2x，且f(xt)是偶函数，则满足条件的最小正数t＿＿；

,0)［举例2］若函数f(x)asinxcosx的图像关于点(3成中心对称，则a＿＿＿.

第四部分 复数

31、复数问题实数化时，设复数zabi，不要忘记

条件a,bR.两复数zabi，zcdi,(a,b,c,dR)，zz的条件是ac,bd.这是复数求值的主要依据.根据条件，求复数的值经常作实数化处理.

3iz＿＿［举例］若复数z满足：zz(zz)i2，则i1212＿＿＿.

32、实系数一元二次方程若存在虚根，则此两虚

根互为共轭.若虚系数一元二次方程存在实根不能用判别式判断.

［举例］若方程xbx20(bR)的两根,满足||2，求实数b的值.

33、|zz|的几何意义是复平面上z,z对应点之间的

距离，|zz|r的几何意义是复平面上以z对应点为圆心，r为半径的圆.

［举例］若|z2i||zz|4表示的动点的轨迹是椭圆，则|z|的取值范围是＿＿＿.

34、对于复数z，有下列常见性质：（1）z为实数

的充要条件是zz；（2）z为纯虚数的充要条件是zz0且z0；（3）zz|z|；（4）|zz||z||z|.

R,（2）|z2|2，［举例］设复数z满足：（1）z4z21212000021212求复数z.

第五部分 数列与极限

35、等差数列{a}中，通项anndnb，前n项和Snd2ncn2（d为公差，nN）.证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以

aaa是常数(nN)(证明，即证：=常数，nN)，an1nn1n也可以证明连续三项成等差（比）数列.即对

a于任意的自然数n有：aaaa（a）. aan2n1n1nn2n1n1n

［举例］数列{a}满足：an11,an12an(nN)an2.

n（1）求证：数列{a1}是等差数列；（2）求{a}的通

n项公式.

36、等差数列前n项和、次n项和、再后n项和

（即连续相等项的和）仍成等差数列；等比数列前n项和（和不为0）、次n项和、再后n项和仍成等比数列.类比还可以得出：等比数列的前n项的积、次n项的积、再后n项的积仍成等比数列.

37、在等差数列{a}中，若mnpq(m,n,p,qN)，则

aaaa；在等比数列{a}中，若mnpq(m,n,p,qN)，则aaaa等差（等比）数列中简化运算的技巧多源于这条性质.

nmnpqnmnpq

38、等差数列当首项a0且公差d0，前n项和存

在最大值.当首项a0且公差d0，前n项和存在最小值.求等差数列前n项和的最值可以利

a0(0)用不等式组a0(0)来确定n的值；也可以利

11nn1用等差数列的前n项的和是n的二次函数（常数项为0）转化成函数问题来求解.

［举例1］若{a}是等差数列，首项a0,aa0,aa0，则（1）使前n项和S最大的自然数n是＿＿；（2）使前n项和S0的最大自然数n ；

n12006200720062007nn 39、数列{a}是等比数列，其前n项的和S是关于q的

nn分段函数

q1na1Sna1(1qn)1q,q1，在求和过程中若公比

不是具体数值时，则要进行讨论.

［举例1］数列{a}是等比数列，前n项和为S，且limSa1，求a的取值范围.

nnnn11［举例2］数列{a}是等比数列，首项a1q1，求lim的值. Snnn11，公比

40、等差数列、等比数列的“基本元”是首项、

公差（比），当觉得不知如何用性质求解时，

可以把问题转化成“基本元”解决.学会用任意两项关系：若{a｝是等差数列，则对于任意自然数m,n有aa(nm)d；若{a｝是等比数列，则对于任意的自然数m,n，有anamqnm.在这两关系式中若取m1，这就是等差（比）数列的通项公式.

［举例1］已知数列{a}是等差数列，首项a0，且3a5a0.若此数列的前n项和为S，问S是否存在最值？若存在，n为何值？若不存在，说明理由. [举例2]已知正项等比数列{a}中，首项a1，且aa1.若此数列的前n项积为T，问T是否存在最值？说明理由.

41、已知数列的前n项和S，求数列的通项公式时，

S1n1a 满足要注意分段an.当SS,n2nnmnn157nnn13557nnn1nn1时，才能用一个公式表示.

［举例］已知数列{a}的前n项和Sn(a2)n2na.若{a}是等差数列，求{a}的通项公式.

anSnSn1,(n2)nnn

42、形如：aa+f(n)的递推数列，求通项用叠加

（消项）法；形如：aag(n)的递推数列，求

n1nn1n通项用连乘（约项）法.

［举例］数列{a}满足a11,an3n1an1(n2)，求数列{a}的通项公式.

nn

43、一次线性递推关系：数列{a}满足：

aa,abac,(a,b,c是常数）是最重要的递推关系式，可以看出当b1时，此数列是等差数列，当c0（b0)时，此数列是等比数列.解决此递推的方法是通过代换（令bak)化成等比数列求解.

［举例］已知数列{a}满足：a1,a2a1,(nN)，求此数列的通项公式.

44、在解以数列为模型的数学应用题时，要选择

好研究对象，即选择好以“哪一个量”作为数列的“项”，并确定好以哪一时刻的量为第一项；对较简单的问题可直接寻找“项”与“项数”的关系，对较复杂的问题可先研究前后项之间的关系（即数列的递推公式），然后再求通项.

［举例］某企业去年底有资金积累a万元，根据预测，从今年开始以后每年的资金积累会在原有的基础上增长20%，但每年底要留出b万元作为奖励金奖给职工.企业计划用5年时间使资金积累翻一番，求b的最大值.

n1n1nnnn1n1n45、常见的极限要记牢：

q11,limqn0,|q|1n不存在，|q|1或q1，注

意limq存在与limqnnnn0 是不相同的；lim(11)nnne，特

别注意此式的结构形式；若f(n),g(n)是关于n的多

f(n)项式函数，要会求limg. (n)n［举例1］求下列各式的值：（1）

nan2n2lim(a4)n2nan；（2）

lim(n12n)n1.

an2bn2lim1n3n4［举例2］若，则a＿＿＿＿；b＿＿

＿＿.

46、理解极限是“无限运动的归宿”.

［举例］已知△ABC的顶点分别是

222A(0,),B(0,),C(4,0)(nN)，记△ABC的外接圆面nnn积为S，则nlimSn＿＿＿＿＿. n第六部分 排列、组合与概率

47、解排列组合应用题是首先要明确需要完成的事件是什么，其次要分清完成该事件是分类还是分步，另外要有逐一列举思想、先选后排思想、正难则反（即淘汰法）思想.简单地说：解排列、组合问题要搞清“做什么？怎么做！”分步做时要考虑到每一步的可行性与“步”与“步”之间的连续性.尤其是排列问

题，更要注意“特殊元素、特殊位置”之间的关系，一般地讲，从正面入手解决时，“特殊元素特殊照顾，特殊位置特殊考虑.”相邻问题则用“捆绑”，不邻问题则用“插空”.特别提醒：解排列、组合问题时防止记数重复与遗漏.

［举例］对于问题：从3位男同学，5位女同学这8位同学中选出3人参加学校一项活动，求至少有2位女同学的选法种数.一位同学是这样解的：先从5位女同学中选出2名有C52种选法，再在剩下的6位同学中任选一位有C61种选法，所以共有C52C61种不同的选法.请分析这位同学的错误原因，并给出正确的解法. 48、简单地说：事件A的概率是含有事件A的“个

体数”与满足条件的事件的“总体数”的比值.现行高考中的概率问题实际上是排列、组合问题的简单应用.

［举例］定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”，集合A{1,3,5,7,9}的真子集可以作为A的“孙集”的概率是＿＿＿＿＿＿.

第七部分 向量

49、向量加法的几何意义：起点相同时适用平行

四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形

法则”，1(ABAC)2表示△ABC的边BC的中线向

量.向量减法的几何意义：起点相同适用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），|AB|表示A、B两点间的距离；以a、b为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量a+b、ab（或ba）.

［举例］已知非零向量a,b满足：|ab||ab|，则向量a,b的关系是――――（ ）

A、平行； B、垂直； C、同向； D、反向.

50、理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义.

与非零向量a同向的单位向量aa，反向的单

0|a|位向量a0a|a|.

［举例］已知△ABC，点P满足ABACAP(),(R)则点P的轨迹是（ ）

|AB||AC|A、BC边上的高所在直线； B、BC边上的中线所在直线；

C、A平分线所在直线； D、BC边上中垂线所在直线.

51、两向量所成的角指的是两向量方向所成的角.

两向量数量积ab|a||b|cosa,b；其中|b|cosa,b可视为向量b在向量a上的射影.



［举例1］已知△ABC是等腰直角三角形，C＝90°，AC＝BC＝2，则ABBC＝＿＿；

52、向量运算中特别注意a2|a|2的应用.研究向量的模常常先转化为模平方再进行向量运算. ［举例］已知|a|2,|b|1，且a,b的夹角为，又4OCa3b,OD2ab，求|CD|.

53、向量的坐标运算是高考中的热点内容，要熟练掌握.已知a{x1,y1},b{x2,y2}则

ab{x1x2,y1y2},abx1x2y1y2.若A(x,y),B(x,y)，则

其坐标形式中是向量的终点AB{x2 －x,yy}，

坐标减去起点坐标.请注意：向量的坐标形式实质上是其分解形式xiyj的“简记”.其中i,j分别表示与x轴、y轴正方向同向的单位向量.与向量坐标运算最重要的两个结论：若向量a{x1,y1},b{x2,y2}是非零向量则有：abx1x2y1y20；a//bxyxy0. ［举例］设O是直角坐标原点，OA2i3j,OB4ij，

在x轴上求一点P，使APBP 最小，并求此时APB的大小.

54、利用向量求角时，要注意范围.两向量所成角

的范围是[0,].特别注意ab0不能等同于a,b所

11221211221

成角是锐角.当a,b同向时也满足ab0.

［举例1］已知△ABC，则“ABAC0”是“△ABC为钝角三角形”的――――（ ）

A、充分不必要条件； B、必要不充分条件；

C、充分必要条件； D、既不充分又不必要条件.

［举例2］l是过抛物线y2px(p0)焦点的直线，它与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点，则△ABO是――――――――――――――――――――――――――（ ） A、锐角三角形； B、直角三角形； C、钝角三角形； D、不确定与P值有关.

55、关注向量运算与其它知识的联系，与三角函数综合是高考中的常见题型.

［举例］已知向量a{2cosx,1},b{cosx,3sin2x},xR.设f(x)ab.

（1）若f(x)13且x[,]，求x的值； 332)平移（2）若函数y2sin2x的图像按向量c{m,n}(|m|2后得到函数yf(x)的图像，求实数m,n的值.

56、关注点、函数图像（曲线）按某向量平移导

致的坐标、解析式（方程）的变化；点M(x,y) 按向量a{m,n}平移得到点的坐标是M(xm,yn)；曲线C：f(x,y)0按向量a{m,n}平移得到曲线C的方程为f(xm,yn)0.在实际应用过程中不必要死记公式，可结合图形将函数图像（曲线）按某向量平移的问题可以先“翻译”成向左（右）、向上（下）平移，再用函数图像变换的规律操作.

［举例1］将椭圆(x42)(y33)1对应的曲线按向

//22量a平移后得到的曲线的方程为标准方程，则a＿＿＿＿；

第八部分 空间图形

57、平面的基本性质是高考中立体几何的重点内

容.要掌握平面的基本性质，特别注意：不共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时，要注意讨论点在平面的同侧还是两侧，会根据不同的情况作出相应的图形. ［举例1］已知线段AB长为3，A、B两点到

平面的距离分别为1与2，则AB所在直线与平面所成角的大小为＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

［举例2］判断命题：“平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则平面与平面 是平行平面”的真假. 58、线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”；

三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行.线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直.

［举例］已知平面,，直线a,b.有下列命题：（1）//；（2）a//a// aa（3）

a//ba//b；（4）

a//ba//b.其中正确的命题

序号是＿＿＿＿＿＿.

59、直线与平面所成角的范围是[0,]；两异面直线2所成角的范围是(0,求二面角往].一般情况下，2往是指定的二面角，若是求两平面所成二面

角只要求它们的锐角（直角）情况即可. ［举例］设A、B、C、D分别表示下列角的取值范围：（1）A是直线倾斜角的取值范围；（2）B是锐角；（3）C是直线与平面所成角的取值范围；（4）D是两异面直线所成角的取值范围.用“”把集合A、B、C、D连接起来得到＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

60、立体几何中的计算主要是角、距离、体积、

面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点（二面角的计算文科不要求）.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解，也可以利用空间向量的方法（要在方便建立坐标系时用），特别要注意的是两异面直线所成角的范围.当求出的余弦值为a时，其所成角的大小应为arccos|a|.

［举例］正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB中点，则异面直线DE与BD1所成角的大小

61、直线与平面所成角的求解过程中，要抓住直

线在平面上的射影，转化到直角三角形中去求解.点到平面的距离的求解可以利用垂线法，也可以利用三棱锥的体积转化.

［举例］正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，BC1与平面ACC1A1所成角为30°.试求：（1）三棱柱ABC－A1B1C1的体积；（2）点C到平面BAC1的距离.

62、长方体、正方体是最基本的几何体，要熟练

掌握它们中的线面关系.长方体的长、宽、高分别为a,b,c，对角线长为l，则labc.利用这一关系可以得到下面两个结论：（1）若长方体的对角线与三棱所成角分别为,,，则coscoscos1；

（2）若长方体的对角线与三面所成角分别为,,，则coscoscos2.

［举例］长方体ABCD－A1B1C1D1的对角线

AC1与过A点的三条棱所成的角分别为

，若，则,,,432222222222＝―――――――――――――――――

（ ）

A、； B、； C、、 3D、不确定.

63、正方体中线面关系可以说是高考中的重点内

容，相当一部分的高考题是以正方体作为载体进行命题，或是截取正方体的一部分进行命题.请特别关注正方体表面按不同形式的展开图，会由展开的平面图形想象立体图形. ［举例1］如图是一正方体的平面展开图，在这个

正方体中：

（1）AF与CN所在的直线平行；（2）CN与DE所在的直线异面；

（3）CN与BM成60°角；（4）DE与BM所在的直线垂直.

以上四个命题中正确的命题序号是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

、三棱锥顶点在底面三角形影为三角形的外心、内心、垂心的条件要分清楚.

外心：三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等（充要条件）；

内心：三侧面与底面所成的二面角相等（充要条件）；

垂心：相对的棱垂直（充要条件）或三侧棱两两垂直（充分条件）.

［举例］ “三侧棱与底面所成的角相等且底面是正三角形”是“三棱锥为正三棱锥”的（ ） A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.

65、关注正棱锥中的几个直角三角形.

（1）高、斜高、底面边心距组成的直角三角形；（2）侧棱、斜高、底面棱长的一半组成的直角三角形；（3）底面上的边心距、底面外接圆半径、底面棱长的一半组成的直角三角形.（4）高、侧棱、底面外接圆半径组成的直角三角形.

进一步关注的是：侧棱与底面所成角、侧面与底面所成二面角的平面角都体现在这些直角三角形中.

66、直线与直线所成的角，直线与平面所成的角，

二面角在计算过程中都有射影定理.两直线所成角余弦值的大小是一直线上的线段在另一直线上的射影长（过此线段两端点向另一直线作垂线，两垂足之间的线段长，若两直线垂直，则两垂足重合，射影长为0）与原线段长的比；二面角的平面角（或其补角）的余弦值等于SS，其中S是一个半平面上的图形面

/S是此图形在另一平面上的射影图形面积. 积，

67、特别注意有一侧棱与底面垂直且底面为正方

形、直角梯形、菱形等四棱锥，关注四个面都是直角三角形的三棱锥.它们之间的线面关系也是高考命题的热点内容.

［举例1］如图三棱锥S－ABC中，SA平面ABC，ACB90°，则此三棱锥的四个面中的直角三角形的个数有＿＿＿＿＿个.

68、图形的分解、组合是立几命题的新思路，学会平面到空间、空间到平面的转化.

［举例］下面图形为一四棱锥S－ABCD的侧面

/

与底面. a D A 2a 2a aa a

a a a a a B C

（1）请画出四棱锥S－ABCD的示意图，是否存

在一条侧棱垂直于底面？如果存在的话，指出是示意图中的哪一条，说明理由. （2）求出此四棱锥的体积；

（3）设E是最长侧棱的中点，F是底面正方形

ABCD的边中与最长侧棱异面的边的中点，求EF与最短侧棱所成角的大小.

a

第九部分 直线与圆锥曲线

70、直线的倾斜角是直线向上方向与x轴正方向所成的角，当直线是x轴或与x轴平行时，直线的倾斜角是0°，直线倾斜角的范围是[0,).当直线与x轴不垂直时，倾斜角的正切值称为直线的斜率.

［举例］已知直线l的斜率是33，直线l过坐标

12原点且倾斜角是l倾斜角的两倍，则直线l 的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

12

分析：由l的斜率是

1233，知直线l的倾斜角为，612l的斜率为3，所所以直线l的倾斜角为，则3以直线l的议程为y23x.

71、若直线的倾斜角为，直线的斜率为k，则与k的关系是：

tg,[0,)(,)22k不存在，＝2；

＝arctgk,k0arctgk,k0.

［举例］已知直线l的方程为axbyc0,(ab0)且l不经

过第二象限，则直线l的倾斜角大小为―――――――――――――――――――――――――――――――（ ）

aaaarctg；arctg()；A、 B、 C、 arctg；bbbaD、arctgb.

a分析：注意到直线l的斜率kb，又直线不过

第二象限，则k0，所以此直线的倾斜角为arctgk，选B.

72、常见直线方程的几种形式及适用范围要熟悉：（1）点斜式yyk(xx)，过定点(x,y)与x轴不垂直；（2）斜截式ykxb，在y轴上的截距为b与

xyx轴不垂直；1，在x轴y轴上的（3）截距式ab0000截距分别为a,b与坐标轴不平行且不过坐标原点.特别注意的是当直线过坐标原点（不是坐标轴）时，直线在两坐标轴上的截距也相等，直

线在两坐标轴上的截距相等，则此直线的斜率为－1，或此直线过原点.

［举例］与圆(x1)(y2)1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有――（ ） A、2条； B、3条； C、4条； D、5条.

分析：注意到截距与距离之间的区别，截距指的是曲线（直线）与坐标轴交点的一个坐标，它有正负（也可以是0）之分.选B.

73、求直线的方程时要特别注意直线的斜率是否存在的情况，不确定时要注意分类讨论，漏解肯定是斜率不存在的情况.要明确解析几何是“用代数方法解决几何问题”的道理，所以做解析几何问题不要“忘形”.

［举例］过点P(2,3)与坐标原点距离为2的直线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

分析：若仅用点斜式设出直线方程，再用点到直线的距离来求解，则会漏解，这是因为在设立方程的时候就排除了斜率存在的情况.考虑到直线x2满足题义，故所求直线有两条，其方程为：5x12y260与x2.

74、两直线位置关系讨论的主要依据是两直线的斜率，要注意斜率不存在时的情况.掌握点到直

22

线的距离公式、两平行直线之间的距离公式、两直线的夹角公式.由一般式方程判断两直线之间的关系：直线l：AxByC0,(A,B不全为0）、l：AxByC0，（A,B不全为0）.则l//l的充要条件是ABAB0且ACAC与BC

BC至少有一个不为零；ll的充要条件是AABB0；l与l相交的充要条件是ABAB0. ［举例1］直线l,l斜率相等是l//l的――――――――――――――――――（ ）

A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.

分析：直线l,l斜率相等，两直线可能重合，不一定有l//l；又两直线l//l，考虑到特殊情况，若l,l都与x轴垂直，则它们的斜率不存在，就谈不上斜率相等了.选D.

［举例2］直线l过点P(2,3)与以A(3,2),B(1,3)为端点的线段AB有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

分析：直线与线段之间的关系可借助于数形结合的方法来解决，先确定出“极限”位置时直线的倾斜角（斜率），再从旋转的角度进行变化研究.k1,k2.若直线l与线段AB有公共点，则其斜率k存在时的取值范围是：k1或k2，或其斜率不存在.因此直线l倾斜角的取值范围是

3[arctg2,]. 411111122222212122112211221121212121221121212121212PAPB

75、点A、B关于直线l对称即l是线段AB的垂直平分线，垂直是斜率关系，平分说明AB的中点在l上.特别注意：当对称轴所在直线的斜率为1或－1时，对称点的坐标可用代入的方法求得.即点(x,y)关于直线xyc0的对称点是(yc,xc)；点(x,y)关于直线xyc0的对称点是(yc,xc). ［举例1］将一张画有直角坐标系的图纸折叠使点A(2,0)与点B(0,6)重合，若点C(3,0)与点D重合，则点D的坐标为＿＿＿＿＿； 分析：实际上这是一个对称的问题，对称轴是AB的垂直平分线l：x2y50，D点是C点关于直线l的对称点.求点关于直线的对称点的坐标要紧紧抓住垂直（斜率关系）平分（中点坐标）这两个方面列方程组求解.设D点的坐标为(a,b)，则ba3b1282，且250，求得：D(,). a3552200000000［举例2］抛物线C1：y2x关于直线xy20对称的抛物线为C2，则C2的焦点坐标为＿＿＿＿＿＿.

分析：两抛物线关于一直线对称，则它们的焦点也关于此直线对称，只要求焦点关于此直线

,0)，所的对称点即可.抛物线C1的焦点坐标为(122). 以C2的焦点坐标为(2,52 76、直线与圆的位置关系的判断主要是利用点（圆

心）到直线的距离来判断.设圆C的半径是r，圆心到直线L的距离是d，当dr时，直线L与圆C相离；当dr时，直线L与圆C相切；当dr时，直线L与圆C相交.求直线被圆所截的弦长可用圆半径、弦心距、弦长一半组成直角三角形来求解.

［举例1］已知点(a,b)是圆xyr外的一点，则直线axbyr与圆的位置关系是―――――――――――――――――――――――――――――――――――（ ） A、相离； B、相切； C、相交且不过圆心； D、相交且过圆心.

分析：点(a,b)在圆xyr外，则abr，圆心到直线axbyr的距离drr，又d0.选C.

222222222222a2b22关注：若点(a,b)是圆xyr上的一点，则直线axbyr是圆过此点的切线方程；若点(a,b)是圆xyr外的一点，则直线axbyr是此圆过该点有两切线的切点弦的方程.

［举例2］若圆O：xyr上有且只有两点到

r的取值直线l:3x4y150的距离为2，则圆的半径y 范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：如图：圆心O到直线l的距离为3l，与直x 线l O l l 距离为2的点的轨迹是与l平行且与l距离为2的两

平行直线（图中虚线l,l）.由题义知直线l与圆O

222222222221121

有两不同交点，而l与圆O没有公共点.因此圆O半

径r的取值范围是1r5.

77、确定圆的方程可以利用圆的标准方程

(xa)(yb)r，即确定圆心坐标与半径；也可以利用圆的一般方程xyDxEyF0，即确定系数D、E、F.要注意的是方程xyDxEyF0表示圆的充要条件是DE4F0.确定一个圆的方程需要三个互相的条件（因为标准方程与一般方程中都三个待定的系数）.

［举例1］二次方程AxBxyCyDxEyF0表示圆的充要条件是＿＿＿＿＿；

分析：注意到圆的一般方程中没有xy这样的项，且二次项系数都为1.则必有B0，且AC0，此时

EF方程可以化成：xyDxy0.与圆的一般方程AAA22222222222222D比较可以得 出：()A222EF()240AA.其充要条

件为：AC0,B0,DE4AF0.

［举例2］已知圆C被y轴截得的弦长是2，被x轴分成的两段弧长之比为1:3，求圆心C的轨迹方程.

分析：如图，设圆心C(x,y)，圆半径为r.因圆被y轴截得的线段长为2，圆心到y轴的距离为|x|，则根据直线与圆的位置关系，知ryx 1， 又圆被x轴所分成的两段弧长之比为r1 :3，则x轴

C r x O

22

被所截得

的弦所对的中心角为直角，圆心到x轴距离为|y|，则

r2|y|.则x12y.即所求的轨迹方程为 2yx1.

78、掌握圆的基本特征：圆上任意两点的垂直平

分线是圆的直径所在的直线；直线平分圆的充要条件是此直线一定过该圆的圆心；与两定点连线所成角为直角的动点的轨迹是以定线段为直径的圆（或圆弧）等.

［举例1］直线l过定点M(4,0)与圆xy4交于A、

y B两点，则弦AB中点N的轨迹方程为＿＿＿A N ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； B M x O 分析：解决与圆有关的的问题要“对得起”圆.

即要抓

住圆的几何特征.如图：ONAB，M、O都是定点，

所以N在以线段OM为直径的圆上，其方程为(x2)

y4.注意到点N在圆xy4内，则弦N的轨迹方程为(x2)y4（0x1).

［举例2］直线l过定点M(4,0)与圆yx y4 A B M x 交于A、B两点，O是坐标原点，则△AOBO 面积的

最大值为＿＿＿＿＿＿＿； 22222222222222

分析：由圆的性质知，△AOB是等腰三角形， |OA||OB|2，所以当AOB为直角时，其面积最大，最大值为2. ［举例3］已知A是圆xy2ax4y60上任意一点，点A关于直线x2y10 的对称点也在圆上，那么实数a的值为＿＿＿＿＿.

分析：圆上的点关于直线的对称点仍然在圆上，则此直线必过圆心(a,2)，代入知：a3.

79、两圆之间的位置关系的判断主要是利用两圆的半径的差或和与两圆的圆心距之间的大小关系.设圆A的半径为r，圆B的半径为r（不妨设rr），则有：（1）|AB|rr，两圆外离；（2）|AB|rr，则两圆外切；（3）rr|AB|rr，则两

|AB|rr，|AB|rr，圆相交；（4）则两圆内切；（5）

则两圆内含.关注：两圆的位置关系也可以由两圆的公切线的条数上来分.

［举例1］已知动圆C与定圆M：(x2)y1相切，且与y轴相切，则圆心Cx的轨迹方程是＿1 y ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

N C 分析：如图：（1）当两圆外切时，设动圆的半x 径为r， O M 则|CM|r1，C到y轴的距离为r，则C到直 线x1的距离|CN|r1，那么C到直线x1

的距离与C到M的距离相等，所以点C的轨迹是以

22121212121212121222

M为焦点，直线x1为准线的抛物线.其方程y 为：

1y6(x). N C 2x 到（2）当两圆内切时，可得C到MO 的距离与CM x1 直线

所以此时点C的轨迹是以M为焦x1的距离相等，

点，

直线x1为准线的抛物线.其方程为：y2(x3). 222所以圆心C的轨迹方程为：y22216(x)2与y232(x)2.

［举例2］已知M(0,3)，一动圆I过点M与圆N：x(y3)16内切.

（1）求动圆圆心I的轨迹C的方程；

（2）经过点Q(2,0)作直线l交曲线C于A、B两点，

设OPOAOB，当四边形OAPB的面积最大时，求直线l的方程. 分析：（1）如图，动圆I与定圆N内切，设动圆半径为r，则|IN|4r,|IM|r.那么有：

N|IN||IM|4，|MN|23，所以I点的轨迹是以M、

为焦点4为长轴长的椭圆.其方程为xy41. y （2）由OPOAOB知，四边形OAPB是平行四边M 形.要

O x I 使得四边形OAPB面积最大，则△OAB的面N 积最大，注意变

化中的定值条件.△OAB的面积是△AOQ的面积与△BOQ的

面积之差.设A(x,y),B(x,y)，则S||y||y||.

221122AOB12

可在联立方程组时，消去变量x，保留y. 设直线l的方程为xmy2， y 由

2y21x(4m21)y216my1204xmy2(16m)412(4m1)022.由

2P A B △=，得4m由韦达定理得：

16m12知yy,yy4m14m112212230. O Q x 则

y1y20.SAOB||y1||y2||=|y21y2|

.令4m24m23(y1y2)4y1y24(4m21)2S83t(t0)，那么：

t11882216(t4)2168t8t2，当t16时等号成立.t7y42此时m74，即所求的直线方程为x.

80、椭圆的定义中要注意隐含的条件：定值大于两定点之间的距离.掌握椭圆基本量之间的关系，分清长轴、短轴、焦距、半长轴、半短轴、半焦距.椭圆最基本的几何性质是定义的逆用：“椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴的长”.

［举例1］已知复数z满足|z2i||z2i|4，则z对应点的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿；

分析：根据复数的几何意义，复数z对应点到2i与2i对应点的距离之和为4，看似椭圆， 但注意到两定点之间的距离为4.所以z对应点的轨

迹是以2i与2i对应点为端点的线段.

［举例2］设P是以F,F为焦点的椭圆xy1(ab0)上的一点，若点P满足：ab122222PF1PF20,tgPF1F212，则椭圆的焦距与长轴的比值

23为―――――――――（ ） A、1； B、2C、1； D、3分析：由题知PF由|PF||PF121；

53.

12PF2，又tgPFF1212，则|PF|2|PF|.

1212|2a 得|PF|43a,|PF|2a3.则2c|FF|25a3.

2c则2a53.选D.

81、椭圆中一些常见的结论要记住，这对解决选择填空等客观性问题时比较方便，如：椭圆的基本量a,b,c蕴含在焦点、中心、短轴端点所构成的直角三角形中；椭圆的短轴的端点对两焦点的张角是椭圆上点与两焦点张角（与两焦点连线夹角）的最大值；短半轴、长半轴的几何意义是椭圆上点与中心距离的最小值与最大值；焦点到椭圆上点的距离的最大值与最小值分别是ac与ac；过椭圆焦点的弦长最大值是长轴长，最小值是垂直于长轴所在直线的弦（有时称为通径，其长为2b）. a2［举例1］一直线l过椭圆

x2y2142的左焦点，被

椭圆截得的弦长为2，则直线l的方程；

［举例2］椭圆x4y31上有2007个不同的点

22，椭圆的右焦点为F，数列

{|FP|}(n1,2,3,,2007)是公差为d的等差数列，则d的取值范围是＿＿＿.

分析：注意到|PF|的取值范围是[1,3]，若数列是

1递增数列，有|PF|1,|PF3，此时0d1003.若数

P1,P2,,P2007nn12007111列是递减数列则1003d0.所以d[,0)(0,]. 10031003

x82、椭圆a22y221(ab0)b上任意一点P与两焦点F,F12构成的三角形可称为椭圆的焦点三角形.焦点三角形的周长为定值(2a2c)，利用解三角形的方法可以得出：当FPF＝时，此三角形的面积为btg（引起注意的是此结论的推导过程要掌2122握）. ［举例］已知点A(2,0),B(2,0)，点C在直线y1上满足

ACBC，则以A、B为焦点过点C的椭圆方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：注意到△ABC的面积为2，且ACB，2.所以所求的椭圆方程为y y1 xy1. C 62x A O B 另解：由图，因为△ABC是直角三角形，｜AB｜＝4，

4， ACBCAB16，|AC||BC|2S222，则b即btg4222222ABC

可求得|AC||BC|2为x6y21.

226(2a).所以所求的椭圆方程

83、双曲线的定义中的隐含条件是“两焦点之间的距离大于定值（实轴长）”，双曲线基本量之间的关系要与椭圆基本量的关系区分开来，从定义上来说椭圆与双曲线的定义是一字之差，方程是一符号之差，但两者之间的几何性质完全不同.

［举例］一双曲线C以椭圆x4x21的焦点为

22顶点，长轴顶点为焦点，则此双曲线的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

分析：由题知双曲线的实轴在x轴上，可设其

xy1.注意到双曲线的其本量关系方程为ab2222可得：axy1. 222222,c24，所以所求双曲线方程为

84、渐近线是双曲线特有的几何性质，要特别注

意双曲线的渐近线方程，理解“渐近”的意义.

xyxy1的渐近线的方程为0，与双曲线abab22222222

双曲线

x2y222abx2y2212ab共渐近线的双曲线可以设成

（其中0是待定的系数），双曲线的

22焦点到双曲线的渐近线的距离是虚半轴长b.

［举例1］一双曲线与x3y1有共同渐近线且与椭圆

x2y213有共同焦点，则此双曲线的方程为

2＿＿＿＿＿＿＿＿；

分析：由题可设所求双曲线的方程为x3因其焦点在x轴上，则0.则标准式为那么32.得所求双曲线为

x21y232y2，，

x2y213.

［举例2］若关于x的方程x21k(x2)有两个不等y 的实数根，则实数k的取值范围是＿＿＿＿＿＿.

x O 2 分析：若从代数角度入手讨论比较麻烦.从数形结合入手，

借助于双曲线的渐近线，则很容易得解.在同一坐标系中

作出yx1（双曲线xy1的上半部分）与 yk(x2)（过定点(2,0)的直线）的图像.如图：可 得0k1.

85、记住双曲线中常见的结论：（1）过双曲线焦点的直线被双曲线同支截得的弦长的最小值是通径（垂直于实轴的弦长），被两支截得的弦长的最小值是实轴的长；（2）双曲线焦点到同侧

222

一支上的点的距离最小值是ca，到异侧一支上

xy1的焦点的距离最小值是ca；（3）双曲线ab2222点为F,F，P是双曲线上的一点，若FPF，则△FPF的面积为bctg（仿椭圆焦点三角形面21212122积推导）.

［举例1］已知双曲线的方程为x9122y2116，P是双

曲线上的一点，F1、F2分别是它的两个焦点，若|PF|7，则|PF|＿＿＿＿＿＿； 分析：由双曲线的定义||PF||PF||6，知|PF|1或13.注意P点存在的隐含条件|PF||PF||FF|10，所以|PF|13.

［举例2］椭圆x6y21和双曲线xay1的公共

122121222222焦点为F,F，P是它们的一个公共点，则cosFPF＿＿＿＿＿；

分析：由椭圆与双曲线有公共焦点，可得62a1，所以a3由.又由椭圆的焦点三角形的面积知△PF1F2的面积为2tg1FPF，由双曲线2121212的焦点三角形的面积知△PF1F2的面积为

12111则，ctgFPF，2tgFPFctgFPF.解得tgFPF2222212121212由万能公式得cosFPF另解：也可以由

121123|PF1||PF2|26|PF1||PF2|23.

（不妨设|PF||PF|），

1212求得|PF|63，|PF|定理可得cosFPF1. 31263，又由|FF|4，利用余弦

的两焦点为F,F,P是

12［举例3］双曲线

x2y21(n1)n

此双曲线上的一点，且满足|PF||PF|＝2n2，则△PFF的面积为＿＿＿＿＿＿＿＿.

分析：由题可以得点P在椭圆nx2y1上，设

121222，由焦点三角形的面积公式可知对于

椭圆Stg，对于双曲线Sctg，则必有，222F1PF2所以△PFF的面积等于1.

12

86、抛物线是高考命题中出现频率最高的圆锥曲线.仅从标准方程上，抛物线就有四种不同的形式，要注意开口方向与标准方程的关系.不要将抛物线的标准方程与二次函数的表达式相混淆.

［举例］抛物线y4x的焦点坐标是＿＿＿＿＿；准线方程是＿＿＿＿＿.

分析：注意到方程y4x不是抛物线的标准方程，其标准形式为x1y.所以此抛物线的焦点坐标422211)，准线方程为y. 为(0,1616

87、记住抛物线的常见性质：（1）抛物线上任意一点到焦点距离等于它到准线的距离；（2）过抛物线的焦点与顶点的直线是抛物线的对称轴；（3）顶点、焦点、准线之间的关系；（4）过焦点与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线y2px(p0)的通径长为2p；（5）通径是过

2

抛物线焦点的弦中长度最小的一条.

［举例1］已知抛物线的焦点为F(1,1)，对称轴为

且过M（3,2），则此抛物线的准线方程为yx，＿＿＿；

分析：若仅局限于抛物线的标准方程，此题无法解决.考虑到抛物线的性质，准线是与对称轴垂直，则其方程可设为xyb0.由抛物线的定义可知抛物线上点到焦点的距离与其到准线的距离相等，因此M(3,2)到准线距离等于|MF|5，则|5b|5，则b510.所以抛物线的准线为

2.

［举例2］直线l过抛物线x4y的焦点与抛物线交于A、B两点，若A、B两点到x轴的距离之和等于3，则这样的直线l有―――――――――――――――――（ ）

A、1条； B、2条； C、3条； D、不存在.

分析：A、B两点到x轴的距离之和为3，则A、B两点到准线y1的距离之和为5.根据抛物线的定义可得弦长|AB|5，此抛物线的通径为4，故满足题义的直线有2条.选B.

88、过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的弦称为抛物线的焦点弦.以抛物线y2px(p0) 为例，焦点弦有下列常用性质：设抛物线y2px(p0)的

xy5100222

焦点为F，A(x,y),B(x,y)是抛物线上的两点.（1）A、B、F三点共线的充分必要条件是

pyyp(xx)；（2）|AB|xxp；（3）若AB过4112212221212焦点，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；（4）AB过焦点，则OAOB为定值；（5）AB

112. 过焦点，则|AF||BF|p［举例1］直线l过抛物线的焦点与抛物线交于A、B两点，O是抛物线的顶点，则△ABO的形状是――――――――――――――――――――――――――――――――（ ） A、直角三角形；B、锐角三角形；C、钝角三角形；D、不确定与抛物线的开口大小有关. 分析：不妨设此抛物线的方程为y2px，过焦点

p的直线l:xmy2，代入抛物线方程得：

2y22pmyp2022，设

A(x1,y1),B(x2,y2)，则

y1y2p2，

yyx1x2122p2pp23OAOBx1x2y1y2p2044

.，所以AOB为钝角.选

2C.

[举例2]求证：过抛物线y2px(p0)焦点的所有弦长的最小值是2p. 分析：本例的证明方法很多.设其焦点弦为AB，A(x,y),B(x,y)，则由抛物线的定义知

p|AB|xxp2xxp2p2p.当且仅当xx时等411222121212号成立.此时直线AB与对称轴垂直.

、“增量法”是解决直线与圆锥曲线位置关系中与弦的中点有关问题的常用方法.

xy1的一条不垂［举例］已知点M是椭圆ab2222直于对称轴的弦AB的中点，O是坐标原点，设OM、AB的斜率分别为k,k，则kk＝―――――――――――――（ ）

a2b2b2A、2； B、2； C、2；

1212baaD、

a22b.

90、当直线过x轴上的定点A(a,0)时，若直线不是x轴，则此直线方程可以设成xmya.这样可以避免讨论直线斜率是否存在.

［举例］设直线l过椭圆x4y1的右焦点，与椭

22圆相交于A、B两点，O是坐标原点，当△OAB的面积最大时，求直线l的方程.

91、求动点的轨迹方程要能充分地将“动”与“定”

有机的联系起来，以“定”制“动”.也可以先由动点定轨迹后方程.常见动点的轨迹要熟记. ［举例1］设点P为双曲线x4y1上的动点，F

22x0是它的左焦点，M是线段PF的中点，则点M的轨迹方程是＿＿＿＿＿；

分析：设P(x,y),M(x,y)又F(5,0).由题义得：2x5,y2y，代入 x5y1得：(x)4y1即为所求的轨迹方程.42000202220像这种求轨迹的方法称为代入转移法，它适用于由定曲线上的动点所确定的另一动点的轨迹方程的求法.具体步骤是用要求轨迹方程的动点坐标(x,y)来表示定曲线上的动点(x,y)坐标，代入定曲线的方程.

［举例2］已知椭圆的焦点是F,F，P是椭圆上的一个动点.如果延长FP到Q，使得|PQ||PF|，那么动点Q的轨迹是―――――――――――――――――――（ ）

A、圆； B、椭圆； C、双曲线的一支； D、抛物线.

y |为定值， 分析：注意到椭圆的性质：|PF||PFQ 又|PQ||PF|，所以|FQ|为定值.由圆的定义P x 知，Q点的轨迹是以F1为圆心，椭圆长轴长为FO F半径

的圆.选A.这种求轨迹的方法称之为定义法：即是

0012121221

根据常见曲线的定义来确定动点的轨迹.

92、直线与圆锥曲线之间的位置关系的讨论主要是转化为方程根的个数的讨论，联立直线与圆锥曲线方程得方程组，消去其中一个量得到关于另一个变量的一元二次方程，利用根的判别式进行讨论，但要注意二方面：一是直线的斜率是否存在，二是所得方程是否为一元二次方程.直线与非封闭曲线（双曲线、抛物线）联立得到的方程二次项可能为零. ［举例］已知直线l过点M(1,1)，双曲线C：xy31.

22（1）若直线l与双曲线有且仅有一个公共点，求直线l的方程；

（2）若直线与双曲线的右支有两个不同的交点，求直线l斜率的取值范围； （3）是否存在直线l使其与双曲线的有两个不同

的交点A、B，且以AB为直径的圆过坐标原点？若存在求出此直线的斜率，不存在说明理由. 分析：（1）当直线l与x轴垂直时，直线x1满足题义.当直线l与x轴不垂直时，设直线方程为y1k(x1)，联立得方程：(3k)x2k(1k)x(k2k4)0---（*）

当3k0时，方程（*）是一次方程，直线l与双曲线有一个公共点，此时直线l方程为y13(x1).当3k0时，由△4824k0，得k2，

22222

所以满足题义的直线l为：x1,2xy10,y13(x1).

（2）直线l与双曲线的右支有两个不同的交点，则方程（*）有两不等的正根.由△4824k

0，知k2且

2k(1k)xx0123k22xxk2k4012k23，得

3k2或k3.

（3）若以AB为直径的圆过坐标原点，则OAOB0，A(x,y),B(x,y)设，即

xxyy0.(k1)xxk(1k)(xx)(1k)0，将xx,xx代入化简得：k4k10，k23（满足k2)

注意：解析几何的运算量比较大，一般来说

似繁的运算式子最后可以化简得出，若遇求解不出，问题常出在运算过程的失误.要有耐心、细心才行.

93、特别关注向量背景下的解几问题，及解几背

景下的向量问题.能熟练地将“向量语言”转化为“解几语言”，如：OAOB0即OA⊥OB；AB∥AC即A、B、C共线等；有时也需要将“几何语言”转化为“向量语言”，如：∠APB为锐角等价于：PAPB0，且A、P、B不共线. ［举例］倾角为的直线l过抛物线y4x的焦点F311222212121212121222

与抛物线交于A、B两点，点C是抛物线准线上的动点.

（1）△ABC能否为正三角形？y A C x O F B

（2）若△ABC是钝角三角形，求点C纵坐标的取值范围. 分析：（1）直线l方程为y3(x1)，由y4x可

23,).若△ABC为正三角形，则 得A(3,23),B(1332CAB，由AFx，那么CA与x轴平行，此 3316时|AC|4，又|AB|31.与|AC|=|AB|矛盾，233所以△ABC不可能是下正三角形.

23,m}，（2）设C(1,m)，则CA{4,23m},CB{433CACB(m232)3不可以为负，所以ACB不为钝角.

883BA{,}33若CAB为钝角，则CABA0，

3283(23m)033，则

，得m1033.

若角ABC为钝角，则CBAB0且C、B、A不共线.可得m233且m63.

综上知，C点纵坐标的取值范围是

23103(,63)(63,)(,). 33

第十部分 解题技巧与应试心理

94、解含有字母运算的选择题时莫忘特殊值法：选择符合题意数值加以检验，是解这类问题最有效方法；选择、填空题中要探讨一般性的结论可以在特殊值的背景中进行.另外遇到方程、不等式求解的选择题通常采用取值（选择支中的边界值最好）去代入验证.

[举例]函数f(x)asinxbcosx图像的一对称轴方程是，则直线xaxbyc0的倾斜角4是――――――――――――――――――――――――――――――（ ）

3A、； B、； 442C、； D、. 33分析：正弦曲线的对称轴方程是经过正弦曲线的最高（最低）点与x轴垂直的直线.即x 时，4函数f(x)asinxbcosx取最大值（或最小值），取

3.选B. a1,b1即满足题义.知直线的倾斜角为4

95、“数形结合”是解选择、填空题的重要的方法

之一，特别是遇到含有字母的无理不等式及含

y有xy（曲线上的点到原点的距离的平方）、x22（曲线上的点与原点连线的斜率）等带有明显“几何特征”的式子时，数形结合比较方便.若做解答题用“数形结合”时，考虑到推理论证的严密，一定要辅之以必要的文字说明，不能以“由图知”代替推理.

［举例1］若关于x的不等式x1ax(a1)的解集为{x|mxn}，且nma1，则实数a的值等于―――――――――――――――――――――（ ）

A、2； B、3；

C、4； D、5. 分析：作出函数yx1与yxay的 yx1 图像（如图）.可以看出m1，xn是方程 m n x1xa的根.所以n1na，又1 x a O nma1，由na2，得a3.选B. yxa ［举例2］已知函数f(x)sinx2|sinx|,x[0,2]， 若方程f(x)k有两个不同的解，则实数k的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿. y 3 3sinx,x[0,]分析：f(x)sinx,x(,2].作出函数f(x)的图像. 1 直线yk与函数yf(x)的交点，则1k3.  2 x O

96、“分类讨论”一般是在解题过程无法进行下去时采取的措施，即“分类”是解题得以继续的自然要求.只有搞清了为什么要分类，才知道怎样分类，然后把研究对象不重不漏地划分为若干类，逐一进行研究，通过分类实际是为解题增加一个新的条件.当然，选用适当的解法，能回避讨论时，应尽量回避.比如解分式不等式时，一般不是讨论分母的正负，而是移项、通分后利用数轴标根法求解. [举例]已知函数f(x)a(x1)(aR).

（1）若不等式f(x)1在(1,2)上的解集不是空集求a的取值范围；

（2）解关于x的不等式f(|x1|)2. 分析：（1）若从解不等式出发，则很繁.注意到f(1)0，且f(x)是关于x的一次函数形式，只要

即可.从而得a1.这样就可以避免讨论. （2）f(|x1|)2，即a|x1|a2. ①当a0时，不等式解集为；

222②当a0时，|x1|1a，得x2a或xa；

f(2)122③当a0时，|x1|1a.若1a0，即2a0时，不

222等式解集为；当1a0，即a2时，x2. aa综上知不等式

22(,)U(2,),(a0)aa(2a0),22(,2),(a2)aaf(|x1|)2的解集为：

.

需要注意的是分类讨论的最后结果要有所总结，这才体现出解题的完整性.

97、解应用题重在读题，设法找出隐含的等量关

系，把实际问题转化为数学问题，注意单位一定要化统一，结论要回归到题目的设问上，别忘了“答”.具体地说：函数问题的关键是正确地写出函数关系式（即建立等量关系）、数列问题要关注“前后项之间的关系”、“解几”问题别忘了圆锥曲线的“定义”、三角问题经常要联系正（余）弦定理.

[举例1]用砖砌墙，第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，……，依次类推，每一层都用去了上层剩下的砖块的一半多一块，如果到第九层恰

好砖块用完，那么一共用了＿＿＿块砖.

分析：第九层用完，则第九层用砖2块.寻找相邻两层之间关系：设第n层用砖为a块，第n1层用砖为a块，则有aa221，即a1a，所以2nnn1n1n1n数列{a}是公比为1的等比数列.由a2n92，所以共

用砖222L21024块.

另一方面：设共用砖x块，前n层共用砖S块，第n层用砖a块，则有ax2S1，那么

239nn1nnan1xSn12，两式相减可得an11an2.

98、解高考题要注意“长题不难”、“新题不难”

的特点，从容镇定、认真审题间.比较复杂的问题在解题过程中往往要遇到三次审题：一、把握好条件中的“关键词”，包括括号内一些容易忽略的条件（a1,bN…，等），从中获取尽可能多的信息，迅速找出解题方向；二、在解题受阻时，应再次审题，看看有没有漏掉什么条件，想想有什么隐含条件；三、解完题后再次回顾题目，看看所得解答与题目要求是否吻合，是否合理.

99．要记住“解题是给别人看的”，因此要尽可能使得解题过程自然、流畅，尽可能使阅卷老 师能够清晰地了解（感受到）我们的思维脉搏.

要学会使用文字叙述，用好关联词；要对后 面可能需要使用的式子和过渡性的结论做必要的标记（如：①、②、（﹡）等），以便使用；为了使解题过程简洁，可以略去有理式运算、平面几何的简单论证等，但涉及高中知识点、思考过程的要点及后面的解题要用的式子切不可跳过；解题的最后一步应回归到题目的设问上.

100、高考不仅是知识考试，同时也是心理考试.拿到试卷应当充分利用好开答前的五分钟时间，把试卷大题浏览一遍，确定解题的顺序.注意的是：小题中的“压轴题”（如填空题中的12题，选择题中的16题）不一定比解答题的前两题容易，若一时找不到思路可先放一放，不要在此花过多时间.做容易的题要冷静、细心，适当慢一点，就会准一点.其实所谓考试就是把我们平时掌握的知识、培养的能力淋漓尽致地展现在考卷上，若能保证把会做的题做对，就是成功.遇到难题要做到镇定分析、大胆设想.高考中偏难的解答题一般会设置层次分明的“台阶”，也就是“难题”中也会有容易做的得分点，应争取拿到；即使是毫无思路，也尽量不要空在那儿，不妨想到什么写什

么，想到哪儿，写到哪儿；因为没有什么情况会比“空”在那儿更严重的了！总之，考试的全部诀窍就是：力争会做的题确保得满分，不会做的题争取多得分.做到我易人易我不大意，我难人难我不畏难.