(word完整版)数列求和的基本方法归纳,推荐文档

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、

等差数列求和公式：Snn(a1an)n(n1)na1d 22(q1)na12、等比数列求和公式：Sna1(1qn)a1anq

(q1)1q1q3、 5、

n11Snkn(n1) 4、Snk2n(n1)(2n1)

26k1k1n1Snk3[n(n1)]2

2k11，求xx2x3xn的前n项和. log23n[例1] 已知log3x解：由log3x11log3xlog32x log232 由等比数列求和公式得

Snxx2x3xn

（利用常用公式） 11(1n)x(1x)2＝1－1 ＝＝211x2n12n

[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)12Sn的最大值.

(n32)Sn1 解：由等差数列求和公式得 Snn(n1)， Sn(n1)(n2) （利12用常用公式）

∴ f(n)

Snn＝2

(n32)Sn1n34n1

＝

1n34n＝

(n18n)2501 50 ∴ 当 n

81，即n＝8时，f(n)max

508二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.（如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.） 在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“ 错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.

[例3] 求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1………………………①

解：由题可知，{(2n1)xn1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn1}的通项之积

设xSn1x3x25x37x4(2n1)xn………………………. ②

（设制错位）

①－②得 (1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn （错位相减）

1xn1(2n1)xn 再利用等比数列的求和公式得：(1x)Sn12x1x(2n1)xn1(2n1)xn(1x) ∴ Sn

(1x)2[例4] 求数列,2462n,,,,前n项的和. 222232n2n1解：由题可知，{n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n}的通项之

22积

2

设Sn2462n…………………………………① n22223212462nSn234n1………………………………② 22222（设制错位）

①

－

②

得

1222222n(1)Sn234nn1 2222222（错位相减）

212n1n2 ∴ Sn4n1

22n n12

三、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an)（.如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法）

12n5Cn(2n1)Cn[例5] 求证：Cn03Cn(n1)2n

12n5Cn(2n1)Cn证明： 设SnCn03Cn………………………….. ①

把①式右边倒转过来得

nn110Sn(2n1)Cn(2n1)Cn3CnCn

（反序） 又由CnmCnnm可得

1n1n3CnCn Sn(2n1)Cn0(2n1)Cn…………..…….. ② 1n1nCnCn)2(n1)2n （反序 ①+②得 2Sn(2n2)(Cn0Cn相加）

∴ Sn(n1)2n

[例6] 求sin21sin22sin23sin288sin2的值

3

解：设Ssin21sin22sin23sin288sin2…………. ①

将①式右边反序得

Ssin2sin288sin23sin22sin21…………..②

（反序）

又因为 sinxcos(90x),sin2xcos2x1 ①

+

②

得

（反序相加）

2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin2cos2)＝

∴ S＝44.5

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.（若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．） 分组求和常见类型及方法

(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解； (3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，

[例7] 求数列的前n项和：11,4,1117,,3n2，… 2n1aaa111解：设Sn(11)(4)(27)(n13n2)

aaa将其每一项拆开再重新组合得

Sn(11112n1)(1473n2)aaa

（分组） 当

a＝1时

4

，

Snn(3n1)n2＝

(3n1)n 2（分组求和）

11nnaa(3n1)n(3n1)n当a1时，Sna＝

1a1221a1[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

解：设akk(k1)(2k1)2k33k2k ∴ Snk(k1)(2k1)＝(2k33k2k)

k1k1nn将其每一项拆开再重新组合得

Sn

＝

n3n2n2k3kk

k1k1k1（分组）

＝2(1323n3)3(1222n2)(12n)

＝

n2(n1)2n(n1)(2n1)n(n1) 222（分组求和）

n(n1)2(n2) ＝

2

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

sin1tan(n1)tann （1）anf(n1)f(n) （2）cosncos(n1)(2n)21111111() （3）an （4）an(2n1)(2n1)22n12n1n(n1)nn1 5

（5）an(6) an1111[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)n212(n1)n1111nn,则S1 nn(n1)2n(n1)2n2n1(n1)2n(n1)2n[例9] 求数列

解

112,123,,1nn1,的前n项和.

1nn1：设

ann1n

（裂项）

则

Sn1121231nn1

（裂项求和）

＝(21)(32)(n1n) ＝n11

[例10] 在数列{an}中，ann项的和.

解： ∵ an

212n，又bn，求数列{bn}的前anan1n1n1n112nn n1n1n12 ∴

bn2118() nn1nn122（裂项）

∴ 数列{bn}的前n项和

Sn8[(1)()()(12121313141n1)] （裂n1项求和）

＝8(118n) ＝

n1n1111cos1[例11] 求证：

cos0cos1cos1cos2cos88cossin21

6

解：设S∵

111 cos0cos1cos1cos2cos88cossin1tan(n1)tann

cosncos(n1)（裂项）

∴S111 （裂cos0cos1cos1cos2cos88cos项求和）

＝

1{(tan1tan0)(tan2tan1)(tan3tan2)[tantan88]} sin1cos111 ＝(tantan0)＝cot1＝2 sin1sin1sin1 ∴ 原等式成立

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° ∵

cosncos(180n)

（找特殊性质项） ∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°

+ cos177°）+···

+（cos°+

cos91°）+

cos90°

（合并求和）

＝ 0

[例13] 数列{an}：a11,a23,a32,an2an1an，求S2002.

解：设S2002＝a1a2a3a2002

7

由a11,a23,a32,an2an1an可得

a41,a53,a62,

a71,a83,a92,a101,a113,a122,

……

a6k11,a6k23,a6k32,a6k41,a6k53,a6k62

∵ a6k1a6k2a6k3a6k4a6k5a6k60 （找特殊性质项）

∴

S2002

＝

a1a2a3a2002

（合并求和）

＝

(a1a2a3a6)(a7a8a12)(a6k1a6k2a6k6)

(a1993a1994a1998)a1999a2000a2001a2002

＝a1999a2000a2001a2002 ＝a6k1a6k2a6k3a6k4 ＝5

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若a5a6的值.

解：设Snlog3a1log3a2log3a10 由

等

比

数

列

的

性

质

9,求log3a1log3a2log3a10

mnpqamanapaq

（找特殊性质项）

和对数的运算性质 logaMlogaNlogaMN 得

Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)(log3a5log3a6) （合并求和）

8

＝(log3a1a10)(log3a2a9)(log3a5a6) ＝log39log39log39 ＝10

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例15] 求1111111111之和. n个19(10k1) （找解：由于111199999k个1k个111通项及特征） ∴ 1111111111 n个1＝(1011)(1021)(1031)(10n1) （分19191919组求和）

111) ＝(10110210310n)(199n个111110(10n1)n ＝91019＝

1(10n1109n) 818,求(n1)(anan1)的值. [例16] 已知数列{an}：an(n1)(n3)n1解：∵ (n1)(anan1)8(n1)[11] （找通项(n1)(n3)(n2)(n4)及特征）

＝

8[11]

(n2)(n4)(n3)(n4) 9

（设制分组） ＝

4(1111)8() n2n4n3n4（裂项）

1111)8() （分组、裂项∴ (n1)(anan1)4(n2n4n3n4n1n1n1求和）

4(11)81344

133 10

＝ ＝